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1998年河北高考理科数学真题及答案.doc

1、1998年河北高考理科数学真题及答案一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1(4分)sin330等于()ABCD2(4分)函数ya|x|(a1)的图象是()ABCD3(4分)曲线的极坐标方程4cos化为直角坐标方程为()A(x+2)2+y24B(x2)2+y24C(x+4)2+y216D(x4)2+y2164(4分)两条直线A1x+B1y+C10,A2x+B2y+C20垂直的充要条件是()AA1A2+B1B20BA1A2B1B20CD5(4分)函数f(x)( x0)的反函数f1(x)()Ax(x0)B(x0)Cx(x0)D(x0)6(4分)若点P(sincos,tan)在第一象限,则

2、在0,2)内的取值范围是()A*BCD7(4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A120B150C180D2408(4分)复数i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是()AiBiCiDi9(4分)如果棱台的两底面积分别是S,S,中截面的面积是S0,那么()A2BS0C2S0S+SDS022SS10(4分)向高为H的水瓶中注水,注满为止如果注水量V与水深h的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的()ABCD11(4分)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有()A90种B180种C270种D540种12(4分

3、)椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的()A7倍B5倍C4倍D3倍13(4分)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4,那么这个球的半径为()A4B2C2D14(4分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是()AarccosBarcsinCarccosDarcsin15(4分)在等比数列an中,a11,且前n项和Sn满足Sn,那么a1的取值范围是()A(1,+)B(1,4)C(1,2)D(1,)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)16(5分)已知圆C过双曲线1的一个

4、顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是 17(5分)(x+2)10(x21)的展开式中x10的系数为 (用数字作答)18(5分)如图,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件 时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)19(5分)关于函数f(x)4sin(xR),有下列命题:由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍;yf(x)的表达式可改写为y4cos;yf(x)的图象关于点对称;yf(x)的图象关于直线x对称其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题(共6小题,满分70分)

5、20(10分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c2b,AC求sinB的值以下公式供解题时参考:sin+sin2sincos,sinsin2cossin,cos+cos2coscos,coscos2sinsin21(12分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形,|AM|,|AN|3,且|BN|6建立适当的坐标系,求曲线段C的方程22(12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米,高度为b米已知

6、流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)23(12分)已知如图,斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,ABC90,BC2,AC2,且AA1A1C,AA1A1C(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离24(12分)设曲线C的方程是yx3x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1(1)写出曲线C1的方程;(2)证明曲线C与C1关于点A(,)对

7、称;(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明st且t025(12分)已知数列bn是等差数列,b11,b1+b2+b10145(1)求数列bn的通项bn;(2)设数列an的通项anloga(1)(其中a0,且a1),记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论1998年全国统一高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共15小题,每小题4分,满分60分)1(4分)sin330等于()ABCD【解答】解:故选:B2(4分)函数ya|x|(a1)的图象是()ABCD【解答】解:法一:由题设知 y,又a1由指数函数图象易知答案为B法二:因ya|x|是偶函数

8、,又a1所以a|x|1,排除AC当x0,yax,由指数函数图象知选B故选:B3(4分)曲线的极坐标方程4cos化为直角坐标方程为()A(x+2)2+y24B(x2)2+y24C(x+4)2+y216D(x4)2+y216【解答】解:将原极坐标方程4cos,化为:24cos,化成直角坐标方程为:x2+y24x0,即y2+(x2)24故选:B4(4分)两条直线A1x+B1y+C10,A2x+B2y+C20垂直的充要条件是()AA1A2+B1B20BA1A2B1B20CD【解答】解:直线A1x+B1y+C10的方向向量为(B1,A1),直线A2x+B2y+C20的方向向量为(B2,A2),两条直线A

9、1x+B1y+C10,A2x+B2y+C20垂直,就是两条直线的方向向量的数量积为0,即:(B1,A1)(B2,A2)0 可得A1A2+B1B20故选:A5(4分)函数f(x)( x0)的反函数f1(x)()Ax(x0)B(x0)Cx(x0)D(x0)【解答】由y得x且y0,所以反函数f1(x)且x0 故选则B6(4分)若点P(sincos,tan)在第一象限,则在0,2)内的取值范围是()A*BCD【解答】解:故选:B7(4分)已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A120B150C180D240【解答】解:圆锥的全面积是底面积的3倍,那么母线和底面半径的比

10、为2,设圆锥底面半径为1,则圆锥母线长为2,圆锥的侧面展开图扇形的弧长是圆锥底面周长为2,该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角:,即180故选:C8(4分)复数i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是()AiBiCiDi【解答】解:icosisin,其立方根是 cosisin ,k0,1,2,即 i,i,i,故选:D9(4分)如果棱台的两底面积分别是S,S,中截面的面积是S0,那么()A2BS0C2S0S+SDS022SS【解答】解:不妨设棱台为三棱台,设棱台的高为2r,上部三棱锥的高为a,根据相似比的性质可得:,可得:消去r,可得2故选:A10(4分)向高为H的水瓶中注水,注满为止如果注水量V与水

11、深h的函数关系如图,那么水瓶的形状是图中的()ABCD【解答】解:如果水瓶形状是圆柱,Vr2h,r不变,V是h的正比例函数,其图象应该是过原点的直线,与已知图象不符故D错;由已知函数图可以看出,随着高度h的增加V也增加,但随h变大,每单位高度的增加,体积V的增加量变小,图象上升趋势变缓,其原因只能是瓶子平行底的截面的半径由底到顶逐渐变小故A、C错故选:B11(4分)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士不同的分配方法共有()A90种B180种C270种D540种【解答】解:三所学校依次选医生、护士,不同的分配方法共有:C31C62C21C42540种故选:D1

12、2(4分)椭圆1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的()A7倍B5倍C4倍D3倍【解答】解:由题设知F1(3,0),F2(3,0),如图,设P点的坐标是(x,y),线段PF1 的中点坐标为(,)线段PF1的中点M在y轴上,0x3将P(3,y)代入椭圆1,得到y2|PF1|,|PF2|故选:A13(4分)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4,那么这个球的半径为()A4B2C2D【解答】解法一:过O作OO平面ABC,O是垂足,则O是ABC的中心,则OAr2,又因为AOC,OAOC知OAAC2OA

13、其次,OA是RtOOA的斜边,故OAOA所以OAOA2OA因为OAR,所以2R4因此,排除A、C、D,得B解法二:在正三角形ABC中,应用正弦定理,得AB2rsin602因为AOB,所以侧面AOB是正三角形,得球半径ROAAB2解法三:因为正三角形ABC的外径r2,故高ADr3,D是BC的中点在OBC中,BOCOR,BOC,所以BCBOR,BDBCR在RtABD中,ABBCR,所以由AB2BD2+AD2,得R2R2+9,所以R2故选:B14(4分)一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列,其最小内角是()AarccosBarcsinCarccosDarcsin【解答】解:设RtABC中,C,则A

14、与B互余且A为最小内角又由已知得sin2BsinA,即cos2AsinA,1sin2AsinA,解得sinA或sinA(舍)故选:B15(4分)在等比数列an中,a11,且前n项和Sn满足Sn,那么a1的取值范围是()A(1,+)B(1,4)C(1,2)D(1,)【解答】解:由题意知Sn,a121q,a11,|q|1,1a122,故选:D二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)16(5分)已知圆C过双曲线1的一个顶点和一个焦点,且圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是【解答】解:由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4故圆心坐标为(4,)它

15、到中心(0,0)的距离为d故答案为:17(5分)(x+2)10(x21)的展开式中x10的系数为179(用数字作答)【解答】解:(x+2)10(x21)x2(x+2)10(x+2)10(x+2)10(x21)的展开式中x10的系数是(x+2)10展开式的x8的系数x10的系数(x+2)10展开式的通项为Tr+1C10rx10r2r2rC10rx10r令r0,2分别得x10,x8的系数为1,180故展开式中x10的系数为1801179,故答案为17918(5分)如图,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件ACBD时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,

16、不必考虑所有可能的情形)【解答】解:四棱柱A1B1C1D1ABCD是直棱柱,B1D1A1A,若A1CB1D1则B1D1平面A1AC1CB1D1AC,又由B1D1BD,则有BDAC,反之,由BDAC亦可得到A1CB1D1故答案为:BDAC19(5分)关于函数f(x)4sin(xR),有下列命题:由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍;yf(x)的表达式可改写为y4cos;yf(x)的图象关于点对称;yf(x)的图象关于直线x对称其中正确的命题的序号是(把你认为正确的命题序号都填上)【解答】解:函数f(x)4sin的最小正周期T,由相邻两个零点的横坐标间的距离是知错利用诱导公式得f(x)

17、4cos4cos4cos,知正确由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心,将x代入得f(x)4sin0,因此点(,0)不是f(x)图象的一个对称中心,故命题错误曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点,且与y轴平行,而x时y0,点(,0)不是最高点也不是最低点,故直线x不是图象的对称轴,因此命题不正确故答案为:三、解答题(共6小题,满分70分)20(10分)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,设a+c2b,AC求sinB的值以下公式供解题时参考:sin+sin2sincos,sinsin2cossin,cos+cos2coscos,coscos2sinsin【解答】解

18、:由正弦定理和已知条件a+c2b得sinA+sinC2sinB由和差化积公式得2sincos2sinB由A+B+C得sincos,又AC得cossinB,所以cos2sincos因为0,cos0,所以sin,从而cos所以sinB21(12分)如图,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形,|AM|,|AN|3,且|BN|6建立适当的坐标系,求曲线段C的方程【解答】解:法一:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中

19、A,B分别为C的端点设曲线段C的方程为y22px(p0),(xAxxB,y0),其中xA,xB分别为A,B的横坐标,p|MN|所以M(,0),N(,0)由|AM|,|AN|3得(xA)2+2pxA17,(xA)2+2pxA9由,两式联立解得xA再将其代入式并由p0解得因为AMN是锐角三角形,所以xA,故舍去所以p4,xA1由点B在曲线段C上,得xB|BN|4综上得曲线段C的方程为y28x(1x4,y0)解法二:如图建立坐标系,分别以l1、l2为x、y轴,M为坐标原点作AEl1,ADl2,BFl2,垂足分别为E、D、F设A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)依题意有xA|ME|DA|

20、AN|3,yA|DM|,由于AMN为锐角三角形,故有xN|ME|+|EN|ME|4xB|BF|BN|6设点P(x,y)是曲线段C上任一点,则由题意知P属于集合(x,y)|(xxN)2+y2x2,xAxxB,y0故曲线段C的方程为y28(x2)(3x6,y0)22(12分)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米,高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)【解答】解法一:设y为流出的水

21、中杂质的质量分数,则y,其中k0为比例系数依题意,即所求的a,b值使y值最小根据题设,有4b+2ab+2a60(a0,b0),得b(0a30)于是y ,当a+2时取等号,y达到最小值这时a6,a10(舍去)将a6代入式得b3故当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小解法二:依题意,即所求的a,b的值使ab最大由题设知4b+2ab+2a60(a0,b0),即a+2b+ab30(a0,b0)因为a+2b2,所以ab30,当且仅当a2b时,上式取等号由a0,b0,解得0ab18即当a2b时,ab取得最大值,其最大值为18所以2b218解得b3,a6故当a为6米,b为3米时,经沉

22、淀后流出的水中该杂质的质量分数最小23(12分)已知如图,斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,ABC90,BC2,AC2,且AA1A1C,AA1A1C(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离【解答】(1)解:如图作A1DAC,垂足为D,由面A1ACC1面ABC,得A1D面ABC,所以A1AD为A1A与面ABC所成的角因为AA1A1C,AA1A1C,所以A1AD45为所求(2)解:作DEAB,垂足为E,连A1E,则由A1D面ABC,得A1EAB所以A1ED是面A1ABB1与面

23、ABC所成二面角的平面角由已知,ABBC,得EDBC又D是AC的中点,BC2,AC2,所以DE1,ADA1D,tanA1ED故A1ED60为所求(3)解法一:由点C作平面A1ABB1的垂线,垂足为H,则CH的长是C到平面A1ABB1的距离连接HB,由于ABBC,得ABHB又A1EAB,知HBA1E,且BCED,所以HBCA1ED60所以CHBCsin60为所求解法二:连接A1B根据定义,点C到面A1ABB1的距离,即为三棱锥CA1AB的高h由得,即所以为所求24(12分)设曲线C的方程是yx3x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1(1)写出曲线C1的方程;(2)证明曲线

24、C与C1关于点A(,)对称;(3)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,证明st且t0【解答】(1)解:曲线C1的方程为 y(xt)3(xt)+s(2)证明:在曲线C上任取一点B1(x1,y1)设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,则有,所以x1tx2,y1sy2代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程:sy2(tx2)3(tx2),即y2(x2t)3(x2t)+s,可知点B2(x2,y2)在曲线C1上反过来,同样可以证明,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上因此,曲线C与C1关于点A对称(3)证明:因为曲线C与C1有且仅有一个公共点,所以,方程组有且仅有一组解消去y,整理得 3tx2

25、3t2x+(t3ts)0,这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根所以t0并且其根的判别式9t412t(t3ts)0,即所以且t025(12分)已知数列bn是等差数列,b11,b1+b2+b10145(1)求数列bn的通项bn;(2)设数列an的通项anloga(1)(其中a0,且a1),记Sn是数列an的前n项和试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论【解答】解:(1)设数列bn的公差为d,由题意得解得所以bn3n2(2)由bn3n2,知Snloga(1+1)+loga(1)+loga(1)loga(1+1)(1)(1),logabn+1loga因此要比较Sn与logabn+1的大小

26、,可先比较(1+1)(1)(1)与的大小取n1有(1+1),取n2有(1+1)(1),由此推测(1+1)(1)(1)若式成立,则由对数函数性质可断定:当a1时,Snlogabn+1当0a1时,Snlogabn+1下面用数学归纳法证明式()当n1时已验证式成立()假设当nk(k1)时,式成立,即(1+1)(1)(1)那么,当nk+1时,(1+1)(1)(1)(1)(1)(3k+2)因为,所以(3k+2)因而(1+1)(1)(1)(1)这就是说式当nk+1时也成立由(),()知式对任何正整数n都成立由此证得:当a1时,Snlogabn+1当0a1时,Snlogabn+1声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2019/8/12 0:35:12;用户:黄熠;邮箱:huangyi12388;学号:716378

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