1.3三角函数的诱导公式(一)知识点归纳与练习(含详细答案).doc

第一章　三角函数　　　
§1.3　三角函数的诱导公式(一)
课时目标　1.借助单位圆及三角函数定义理解三组公式的推导过程.2.运用所学四组公式进行求值、化简与证明．

1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系.
相关角
终边之间的对称关系
π＋α与α
关于________对称
－α与α
关于________对称
π－α与α
关于________对称
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.

知识点归纳：
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～求值
2.诱导公式的记忆
这组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．

一、选择题
1．sin 585°的值为(　　)
A．－ B. C．－ D.
2．若n为整数，则代数式的化简结果是(　　)
A．±tan α B．－tan α
C．tan α D.tan α
3．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于(　　)
A. B．± C. D．－
4．tan(5π＋α)＝m，则的值为(　　)
A. B. C．－1 D．1
5．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A. B．－ C. D．－
6．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为(　　)
A. B．－
C．± D．以上都不对

二、填空题
7．已知cos(＋θ)＝，则cos(－θ)＝________.
8．三角函数式的化简结果是______.
9．代数式的化简结果是．
10．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝____.

三、解答题
11．若cos(α－π)＝－，求的值．

12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.

能力提升
13．化简：(其中k∈Z)．

14．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

§1.3　三角函数的诱导公式(一)
答案

知识梳理
1．原点　x轴　y轴
2．(1)sin α　cos α　tan α　(2)－sin α　－cos α　tan α　(3)－sin α　cos α　－tan α　(4)sin α　－cos α　－tan α
作业设计
1．A　2.C
3．D　[由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，
∴sin(2π＋α)＝sin α＝－＝－ (α为第四象限角)．]
4．A　[原式＝＝＝.]
5．B　[∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝.∴tan 80°＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]
6．B　[∵sin(π－α)＝sin α＝log2 2－＝－，
∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]
7．－
8．tan α
解析　原式＝＝＝＝＝tan α.
9．－1
解析　原式＝
＝＝
＝＝＝－1.
10．3
解析　f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2

答：我们在水中可发现变形虫、鼓藻、草履虫、船形硅藻等。＝2－(asin α＋bcos β)＝1，
∴asin α＋bcos β＝1，

9、淡水是我们人类和其他生物生存的必需品，但是地球上的淡水资源十分有限，地球上的多数地区缺水。f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2

答：最有效的方法就是集焚烧、堆肥、热解、制砖、发电等一体的统合系统，但是焚烧垃圾对空气有污染。＝asin α＋bcos β＋2＝3.

10、日食：当月球运动到太阳和地球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。11．解　原式＝
＝

第三单元 宇 宙＝
＝－tan α.

21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝.∴α为第一象限角或第四象限角．
当α为第一象限角时，cos α＝，
sin α＝＝，∴tan α＝＝，∴原式＝－.

8、晶体的形状多种多样，但都很有规则。有的是立方体，有的像金字塔，有的像一簇簇的针……有的晶体较大，肉眼可见，有的较小，要在放大镜或显微镜下才能看见。当α为第四象限角时，cos α＝，
sin α＝－＝－，∴tan α＝＝－，∴原式＝.
综上，原式＝±.

7、月球的明亮部分，上半月朝西，下半月朝东。12．证明　∵sin(α＋β)＝1，

22、光的传播速度是每秒钟30万千米，光年就是光在一年中所走过的距离，它是用来计量恒星间距离的单位。∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，

7、我们每个人应该怎样保护身边的环境？∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．
tan(2α＋β)＋tan β＝tan＋tan β
＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β
＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β
＝tan(π－β)＋tan β
＝－tan β＋tan β＝0，
∴原式成立．
13．解　当k为偶数时，不妨设k＝2n，n∈Z，则
原式＝＝＝＝－1.
当k为奇数时，设k＝2n＋1，n∈Z，则
原式＝
＝
＝＝－1.
∴上式的值为－1.
14．解　由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.