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第二章 函数函数与方程.pdf

1、 2.8 函数与方程基础知识自主学习要点梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义把函数卜=)的图像与横轴的交点的横坐标称为这 个函数的零点.(2)几个等价关系方程小)=0有实数根o函数的图像与横轴有交点。函数了=00有 零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)若函数y=/(x)在闭区间口,口上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即至皿52,则 在区间5,b)内,函数y=A2至少有一个零点,即 相应的方程加0=0在区间伍)内至少有一个实数解.2.二次函数了=2+析+。(0)的图像与零点的关系A0A=0A1 解析 设函数y=,30,且和函数 y=x+a,则函数/(X)=,-伍0,且

2、 LzW1 有两个零点,就是函数y=必(心0,且W1 与函数y=x+有两个交点,由 图像可知当OVqVl时两函数只有一个交点,不符合;如 图所示,当al时,因为函数了=1 1 的图像过点 0,1,而直线=*+所过的点一定在点 0,1 的上方,所以一定有两个交点,所以实数的取值范围是心L3.函数於)=,+2、一6(e-2.718)的零点属于区间(“n+1)(/1EZ),贝 1解析 可以估算两个相邻自然数的函数值,/(I)=e-40,从而可知函数应0的零点位于区间(1,2)内,故=1.4.若函数/(x)=ax+A有一个零点为2,则g(x)=bf 一火的零点是(C)A.0,2 B.0,1C.0,一;

3、D.2,一;解析由A2)=2+=0,得=-2d,g(x)=-2ax2-ax=ax(2x+1).令g(x)=。,#x=0,x=-1,g(x)的零点为o,-I.5.已知三个函数於)=2%+心g(x)=x2,住)=log2X+x的零点依次为m b,c,贝Ij(B)A.abc B.acbC.bac D.cab角星析 由于其-1)=1-1=-1o,故&)=2、+x的零点 (-1,0).m.=_1+12g(2)=0,g(x)的零点=2;=一;0,1)故(x)的零点予1,因此acb.点评 本题的易错点是,学生误以为需求出4、C其 实4和C只需限定区间即可.题型分类深度剖析题型一 判断函数在给定区间上零点的存

4、在性例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1次0=3x18,xel98;(2)/(x)=log2(x+2)x,xl,3.思维启迪 第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出 零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图像的交 点来求解.解(1)方法一 1)=12-3X1-18=-200,1)次8)log22-1=0,3)=log25-3log28-3=0 一加)况3)=y=在同一平面直角坐标系中,作 出它们的图像,从图中可以看出当00的零点个数为A.3 B.2C.1(B)D.0解析 当 xWO 时,由 fix)=x2+2x-3=0,得=1(舍去),x2=_ 3;当 x0 时,由/(x)=

5、-2+lnx=0,得x=e2,所以函数凡0的零点个数为2题型三二次函数的零点分布问题例3 已知关于x的二次方程f+2/nx+2/w+l=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(一1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求阳的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求阳的范围.思维启迪 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示 意图,然后用函数性质加以限制.解(1 由条件,抛物线/(X)=f+2/WX+2M+1与x轴的交点分别在区间(-1,0 和 1,2 内,如图(1)所示,得7(0)=2m+10,/(l)=4/n+20.加 5 1即7/w0,列不等式组加)0,A三0,0 一 mr i 今J m

6、-加三1+也或mWl-啦,-lm0.即 一 0,若存在实数满足条件,则只需八一1):/(3)0即可.A-1)哄3)=(1-3+2+-1)-(9+9a-6+a-1)=4(l-a)(5a+l)0.所以-g或三1.检验:当/(-1)=0时,a=l.所以/(*)=/+*.令/(*)=0,即 Y+*=0.得*=0或=-1.方程在-1,3 上有两根,不合题意,故当 3)=0时,a=此时/(x)=X2-f,令y(x)=o,即 x2-f=o,解之得x=或x=3.方程在-1,3 上有两根,不合题意,故工-*.综上所述,al.易错警示4.分类讨论不周全致误试题:(12分)已知函数本)=曷,如果关于x的方程大0 有

7、四个不同的实数解,求实数4的取值范围.学生解答展示角单:=/(%)=I 原方程 3=kx x+2 x+2X 0(1)当x 0且x w-2时5-=kx,x+22kx+2kx+1=0当A=4左2 一 4左0,左 0或左 1时kx2+2kx+1=0有两个解(2)当 x 0时,-=kx2x+2/.kx2+2kx-1=0当八二4/+4左 0.左 1或左0时左、2+2底一1 二 0有两个解,当左 e(-oo,-l)U、,,审题视角 JX)=kx2的解Oa=kx2的解.方程有X十/四个不同的解,可考虑分为有正解、负解和零解.在 有正解、负解、零解的情况下,分别考虑九的取值情况.规范解答解.)=*1,原方程即

8、?=小.(*)x=0恒为方程(*)的一个解.1分一 X当WO且xW-2时,若方程(*)有解,则二=小,底+2h+1=0.X 当4=0时,方程Af+2h+1=0无解;2分当左W0时,人=4炉-440,即AvO或AN1时,方程Ax?+2Ax+1=0有解.设方程区2+2Ax+1=0的两个根分别是不、必,nl 1贝1J巧+勺=-2,XiX2=,3分当Q1时,方程Af+2h+1=0有两个不等的负根;4分当左=1时,方程任2+2Ax+l=0有两个相等的负根;5分当时,方程2+2Ax+l=0有一个负根.6分当x0时,若方程(*)有解,则不加+221=0当4=0时,方程+2h-1=0无解;7分当4W0时,人=

9、4左+4420,即AW-1或左0时,方程京+22 1=0有解.8分设方程kx1+2kx-1=0的两个根分别是与、Mnl 1贝 占+%4=-2 X3X4=一斤当Q0时,方程Af+2Ax-l=0有一个正根;9分当kW T 叱 方程kf+2kx-1=0没有正柢 10分 综上可得,当九(1,+8)时,方程代r)=Ax2有四个不同 的实数解.12分 批阅笔记(1 解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数 的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结 合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.本题的易错点主要是分类讨论不周全,导致解析不完整 或解答错误.表现在两个方面:不对X分类讨论或漏掉X=0的情况

10、.由于方程中含有绝对值,一般从去绝对值的角 度要对x进行分类讨论,若直接平方去绝对值,则解题将 无法进行下去.在方程转化成关于茶的一元二次方程后,需对4进行分类讨论.在讨论时易忽略1=0的情况.对分类讨论要遵循不重、不漏和最简的原则.思想方法感悟提高方法与技巧1.函数零点的判定常用的方法有:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程心)=0.2.研究方程/(x)=gG)的解,实质就是研究G(x)=fx-g(x)的零点.3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质 是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的任一点就是这 个函数零点的近似值.失误与防范1.对于函数y=/(M)(XO),我们把使/(*)=0的实数*叫作函 数的零点,注意以下几点:(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零;(2)函数的零点也就是函数了=凡0的图像与工轴的交点的横 坐标;(3)一般我们只讨论函数的实数零点;(4)函数的零点不是点,是方程/)=0的根.2.对函数零点存在的判断中,必须强调:(1次0在句上连续;(2加4朋)0;(3)在(小)内存在零点.这是零点存在的一个充分条件,但不必要.返回

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