单摆运动相图.pptx

由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：非线性方程非线性方程非线性方程非线性方程式中角频率：式中角频率：单摆单摆数学表达式数学表达式第1页/共30页 线性化处理线性化处理线性化处理线性化处理忽略忽略3 3次以上的高次项次以上的高次项得线性方程得线性方程数学表达式数学表达式单摆单摆第2页/共30页 n降阶数学表达式数学表达式单摆单摆第3页/共30页 差分化差分化数学表达式数学表达式单摆单摆第4页/共30页 数学表达式数学表达式单摆单摆第5页/共30页差别很大！差别很大！第6页/共30页差别很大！差别很大！第7页/共30页这就是这就是相图相图同时显示坐标和动量（速度）同时显示坐标和动量（速度）第8页/共30页 差分化差分化数学表达式数学表达式 改进算法改进算法单摆单摆第9页/共30页第10页/共30页第11页/共30页第12页/共30页误差误差第13页/共30页初始值：第14页/共30页四阶RungeKutta方法第15页/共30页RungeKutta method第16页/共30页一、单摆运动非线性方程一、单摆运动非线性方程第17页/共30页初始值：第18页/共30页第19页/共30页二、扰动的单摆二、扰动的单摆第20页/共30页第21页/共30页庞加莱截面与庞加莱映射庞加莱截面与庞加莱映射 相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。庞庞加加莱莱在在相相空空间间里里取取一一常常数数坐坐标标截截面面，称称为为庞庞庞庞加加加加莱莱莱莱截截截截面面面面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。在在n n 维维相相空空间间里里取取一一个个n n-1-1维维面面。相相轨轨线线通通过过截截面面时时留留下下点点的的一幅图象反映了轨线运行情况。一幅图象反映了轨线运行情况。人们将时间上的连续运动转变为人们将时间上的连续运动转变为离散的图象处理方法称为离散的图象处理方法称为庞加莱庞加莱庞加莱庞加莱映射映射映射映射。三.庞加莱映射第22页/共30页 单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四四周期运动周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到留下四个点；推广到留下四个点；推广到留下四个点；推广到无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。三.庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动第23页/共30页三.庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点;无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。第24页/共30页单摆的三维相空间单摆的三维相空间三.庞加莱映射阻尼单摆的运动方程可化成三个方程：用三个变量q,j,w 组成三维相空间相角j有周期性，把2 np p 和2(n+1)p p 平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来园形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。第25页/共30页它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不仃地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。受驱转子运动受驱转子运动三.庞加莱映射第26页/共30页四、扰动的单摆四、扰动的单摆庞加莱截面庞加莱截面第27页/共30页第28页/共30页龙格库塔算法龙格库塔算法第29页/共30页小论文题目小论文题目n n台球问题n n三体问题第30页/共30页