2016年高考真题数学【文】(山东卷)（含解析版）.pdf

2016 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学 第卷 一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1(2016山东，1)设集合 U1,2,3,4,5,6，A1,3,5，B3,4,5，则U(AB)等于()A2,6 B3,6 C1,3,4,5 D1,2,4,6 2(2016山东，2)若复数 z，其中 i 为虚数单位，则()21izA1i B1i C1i D1i 3(2016山东，3)某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其 中 自 习 时 间 的 范 围 是 17.5,30，样 本 数 据 分 组 为 17.5,20)，20,22.5)，22.5,25)，25,27.5)，27.5,30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是()A56 B60 C120 D140 4(2016山东，4)若变量 x，y 满足Error!则 x2y2的最大值是()A4 B9 C10 D12 5(2016山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A.B.13231323C.D1 1326266(2016山东，6)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ，内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7(2016山东，7)已知圆 M：x2y22ay0(a0)截直线 xy0 所得线段的长度是 2，则圆 M 与圆 N：(x21)2(y1)21 的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离 8(2016山东，8)ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 bc，a22b2(1sin A)，则 A 等于()A.B.C.D.343469(2016山东，9)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)x31；当1x1 时，f(x)f(x)；当 x时，f f.则 f(6)等于()12(x12)(x12)A2 B1 C0 D2 10(2016山东，10)若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是()Aysin x Byln x Cyex Dyx3 第卷 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)11(2016山东，11)执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为_ 12(2016山东，12)观察下列等式：22 12；(sin 3)(sin 23)432222 23；(sin 5)(sin 25)(sin 35)(sin 45)432222 34；(sin 7)(sin 27)(sin 37)(sin 67)432222 45；(sin 9)(sin 29)(sin 39)(sin 89)43 照此规律，2222_.(sin 2n1)(sin 22n1)(sin 32n1)(sin 2n2n1)13(2016山东，13)已知向量 a(1，1)，b(6，4)若 a(tab)，则实数 t 的值为_ 14(2016山东，14)已知双曲线 E：1(a0，b0)矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点x2a2y2b2为 E 的两个焦点，且 2|AB|3|BC|，则 E 的离心率是_ 15(2016山东，15)已知函数 f(x)Error!其中 m0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_ 三、解答题本大题共 6 小题，共 75 分 16(2016山东，16)(本小题满分 12 分)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 17(2016山东，17)(本小题满分 12 分)设 f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.3(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移 个单位，得到3函数 yg(x)的图象，求 g的值(6)18(2016山东，18)(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.(1)已知 ABBC，AEEC.求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面 ABC.19(2016山东，19)(本小题满分 12 分)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cn.求数列cn的前 n 项和 Tn.an1n1bn2n20(2016山东，20)(本小题满分 13 分)设 f(x)xln xax2(2a1)x，aR.(1)令 g(x)f(x)，求 g(x)的单调区间；(2)已知 f(x)在 x1 处取得极大值求实数 a 的取值范围 21(2016山东，21)(本小题满分 14 分)已知椭圆 C：1(ab0)的长轴长为 4，焦距为 2.x2a2y2b22(1)求椭圆 C 的方程；(2)过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点过点P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长 QM 交 C 于点 B.设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k，证明为定值 kk求直线 AB 的斜率的最小值 答案解析答案解析 1.解析AB1,3,4,5，U(AB)2,6，故选 A.答案A 2.解析z1i，1i，故选 B.21i1i1iz答案B 3.解析由题图知，组距为 2.5，故每周的自习时间不少于 22.5 小时的频率为：(0.160.080.04)2.50.7，人数是 2000.7140，故选 D.答案D 4.解析满足条件Error!的可行域如下图阴影部分(包括边界)x2y2是可行域上动点(x，y)到原点(0,0)距离的平方，显然当 x3，y1 时，x2y2取最大值，最大值为 10.故选 C.答案C 5.解析由三视图知，半球的半径 R，四棱锥为底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，V 111 2213123，故选 C.43(22)1326答案C 6.解析若直线 a 和直线 b 相交，则平面 和平面 相交；若平面 和平面 相交，那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交，故选 A.答案A 7.解析圆 M：x2(ya)2a2，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1为 a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d，由几何知识得2()2a2，解得 a2.|a|2(|a|2)2M(0,2)，r12.又圆 N 的圆心坐标 N(1,1)，半径 r21，|MN|，r1r23，r1r21.1021222r1r2|MN|r1r2，两圆相交，故选 B.答案B 8.解析在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A，bc，a22b2(1cos A)，又a22b2(1sin A)，cos Asin A，tan A1，A(0，)，A，故选 C.4答案C 9.解析当 x 时，ff，12(x12)(x12)即 f(x)f(x1)，T1，f(6)f(1)当 x0 时，f(x)x31 且1x1，f(x)f(x)，f(6)f(1)f(1)(1)312，故选 D.答案D 10.解析对于函数 ysin x，得 ycos x，当 x0 时，该点处切线 l1的斜率 k11；当 x 时，该点处切线l2的斜率 k21，k1k21，l1l2；对于 yln x，y 恒大于 0，斜率之积不可能为1；1x 对于 yex，yex恒大于 0，斜率之积不可能为1；对于 yx3，y2x2恒大于等于 0，斜率之积不可能为1.故选 A.答案A 11.解析输入 n 的值为 3，第 1 次循环：i1，S1，in；2第 2 次循环：i2，S1，in；3第 3 次循环：i3，S1，in.输出 S 的值为 1.答案1 12.解析观察等式右边的规律：第 1 个数都是，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n1.43答案 n(n1)4313.解析a(tab)，ta2ab0，又a22，ab10，2t100，t5.答案5 14.解析由已知得|AB|，|BC|2c，2b2a232c.2b2a又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以 a2得 223 20，即 2e23e20，解得 e2.(ca)ca答案2 15.解析如图，当 xm 时，f(x)|x|.当 xm 时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数 若存在实数 b，使方程 f(x)b 有三个不同的根，则 m22mm4m|m|.m0，m23m0，解得 m3.答案(3，)16.解(1)用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应 因为 S 中元素的个数是 4416.所以基本事件总数 n16.记“xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以 P(A)，即小亮获得玩具的概率为.516516(2)记“xy8”为事件 B，“3xy8”为事件 C.则事件 B 包含的基本事件数共 6 个 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所以 P(B).61638事件 C 包含的基本事件数共 5 个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)所以 P(C).因为，51638516所以小亮获得的水杯的概率大于获得饮料的概率 17.解(1)由 f(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2 32sin2x(12sin xcos x)3(1cos 2x)sin 2x1 3sin 2xcos 2x1 332sin1.(2x3)3由 2k 2x 2k(kZ)，232得 kxk(kZ)12512所以 f(x)的单调递增区间是(kZ).k12，k512(或(k12，k512)k Z)(2)由(1)知 f(x)2sin1，(2x3)3把 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)得到 y2sin1 的图象(x3)3再把得到的图象向左平移 个单位，3得到 y2sin x1 的图象，3即 g(x)2sin x1.3所以 g2sin 1.(6)63318.证明(1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF，如图，连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF.因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.(2)设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HIGII，所以平面 GHI平面 ABC，因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.19.解(1)由题意知，当 n2 时，anSnSn16n5.当 n1 时，a1S111，符合上式 所以 an6n5.设数列bn的公差为 d，由Error!即Error!可解得 b14，d3.所以 bn3n1.(2)由(1)知 cn3(n1)2n1.6n6n13n3n又 Tnc1c2cn.得 Tn3222323(n1)2n1 2Tn3223324(n1)2n2 两式作差，得 Tn322223242n1(n1)2n2 33n2n2.4412n12n1 2n2所以 Tn3n2n2.20.解(1)由 f(x)ln x2ax2a.可得 g(x)ln x2ax2a，x(0，)，则 g(x)2a.1x12axx当 a0 时，x(0，)时，g(x)0，函数 g(x)单调递增；当 a0 时，x时，g(x)0 时，函数 g(x)单调递增，x时，g(x)0，函数 g(x)单调递减(0，12a)(12a，)所以当 a0 时，g(x)的单调递增区间为(0，)；当 a0 时，g(x)的单调增区间为，单调减区间为.(0，12a)(12a，)(2)由(1)知，f(1)0.当 a0 时，f(x)单调递增，所以当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意 当 0a 时，1，由(1)知 f(x)在内单调递增 1212a(0，12a)可得当 x(0,1)时，f(x)0，x时，f(x)0.(1，12a)所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增(1，12a)所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意 当 a 时，1，f(x)在(0,1)内单调递增，1212a在(1，)内单调递减 所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意 当 a 时，01，当 x时，f(x)0，f(x)单调递增，1212a(12a，1)当 x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递减 所以 f(x)在 x1 处取极大值，符合题意.综上可知，实数 a 的取值范围为 a.1221.(1)解设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2a4,2c2.2 所以 a2，b.a2c22所以椭圆 C 的方程为 1.x24y22(2)证明设 P(x0，y0)(x00，y00)由 M(0，m)，可得 P(x0，2m)，Q(x0，2m)所以直线 PM 的斜率 k.2mmx0mx0直线 QM 的斜率 k.2mmx03mx0此时3.所以为定值3.kkkk解设 A(x1，y1)，B(x2，y2)直线 PA 的方程为 ykxm.直线 QB 的方程为 y3kxm.联立Error!整理得(2k21)x24mkx2m240，由 x0 x1，可得 x1，2m242k212m222k21x0所以 y1kx1mm.2km222k21x0同理 x2，y2m.2m2218k21x06km2218k21x0所以 x2x1 2m2218k21x02m222k21x0，32k2m2218k212k21x0y2y1mm 6km2218k21x02km222k21x0，8k6k21m2218k212k21x0所以 kAB，y2y1x2x16k214k14(6k1k)由 m0，x00，可知 k0，所以 6k 2，当且仅当 k时取“”1k666因为 P(x0，2m)在椭圆 1 上，x24y22所以 x0，故此时，48m22mm48m2066即 m，符合题意 147所以直线 AB 的斜率的最小值为.62