高三数学复习---球的切、接、截面问题(有答案).doc

2015年高三数学复习---球的切、接、截面问题

一．选择题（共16小题）
1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）

A．

B．
16π
C．
9π
D．

2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（　　）

A．
4π
B．
8π
C．

D．

3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．
29π
B．
30π
C．

D．
216π

4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（　　）

A．

B．

C．
16π
D．
64π

5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（　　）

A．
16π
B．
32π
C．
48π
D．
64π

6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（　　）

A．
6
B．
12
C．
6
D．
6

7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）

A．

B．

C．

D．

8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（　　）

A．
25π
B．
50π
C．
5π
D．
10π

9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（　　）

A．

B．

C．

D．

10．（2013•郑州一模）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．
2π
B．
4π
C．
6π
D．
24π

11．（2013•河池模拟）一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（　　）

A．
50π
B．
25π
C．

D．

12．（2012•南宁模拟）已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（　　）

A．

B．

C．

D．

13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（　　）

A．
5
B．

C．
10
D．

14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB的高为（　　）

A．

B．

C．

D．
1

15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

A．

B．
3π
C．

D．
2π

16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共8小题）
17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA12，∠BAC=120°，则此球的表面积等于
　_________　．

18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为　_________　．

19．（2014•呼伦贝尔二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是　_________　．

20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于　_________　．

21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　_________　．

22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为　_________　；
（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为　_________　．

23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是
　_________　．

24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=　_________　．
　 截面问题
一．填空题（共8小题）
1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是　__　．

2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为　_________　（只填写序号）．

3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是　_________　．

4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为　_________　．

5．（2012•桂林模拟）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为　_________　．

6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是　_________　．

7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为　__　．

8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为　_________　．

9．（2014•上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少？

2015年高三数学复习---球的切接问题组
参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题）
1．（2014•广西）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（　　）

A．

B．
16π
C．
9π
D．

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
解答：
解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）2=．
故选：A．

点评：
本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．

2．（2014•宝鸡三模）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（　　）

A．
4π
B．
8π
C．

D．

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．
解答：
解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
r==，球的表面积4πr2=．
故选C．
点评
本题是中档题，考查三棱柱的外接球的表面积的求法，外接球的半径是解题的关键，考查计算能力．

3．（2014•锦州一模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A．
29π
B．
30π
C．

D．
216π

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．
解答：
解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，
一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，
它的对角线的长为球的直径：，球的半径为：．
该三棱锥的外接球的表面积为：，
故选A．
点评：
本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

4．（2014•西藏一模）三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（　　）

A．

B．

C．
16π
D．
64π

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
通过已知条件，判断SC为球的直径，求出球的半径，即可求解球的体积．
解答：
解：由题意，
所以AC2+SA2=SC2，BC2+SB2=SC2，SC是两个截面圆SAC与SCB的直径，
所以SC是球的直径，球的半径为：2．
所以球的体积为：=．
故选B．
点评：
本题考查球与球的内接多面体关系，球的体积的求法，推出球的直径是解题的关键，考查计算能力．

5．（2014•临汾模拟）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（　　）

A．
16π
B．
32π
C．
48π
D．
64π

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
球．
分析：
由题意把A、B、C、P扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，然后求出球的体积．
解答：
解：由题意画出几何体的图形如图，
把A、B、C、P扩展为三棱柱，
上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，
PA=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，∴AB=3，
∴AE==．
AO==2．
所求球的体积为：（2）3=32π．
故选：B．

点评：
本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．

6．（2014•沈阳模拟）四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（　　）

A．
6
B．
12
C．
6
D．
6

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
综合题；空间位置关系与距离．
分析：
把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，可得正四面体的外接球的半径，求出球心到EF的距离，即可求出球O截直线EF所得弦长．
解答：
解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是6，正方体的对角线长为：6，
正四面体的外接球的半径为：3．
设球心为O，O到EF的距离为d，则d==3．
∴O截直线EF所得弦长为2=6．
故选：A．

点评：

4、举例说明微生物对人类有益的方面是什么？本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．

3、你知道哪些化学变化的事例呢？举出几个例子。　
7．（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（　　）

19、阳光、空气、水、土壤、岩石、植物、动物……构成了我们周围的环境。我们人类也是环境中的一部分，我们都生活在一不定的环境之中。人与自然和谐相处，共同发展，是我们共同的责任。　

14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。A．

B．

10、生物学家列文虎克于1632年出生在荷兰，他制成了世界上最早的可放大300倍的金属结构的显微镜。他用自制的显微镜发现了微生物。

7、月球的明亮部分，上半月朝西，下半月朝东。C．

二、问答：

2、物质变化有快有慢，有些变化只改变了物质的形态、形状、大小，没有产生新的不同于原来的物质，我们把这类变化称为物理变化；有些变化产生了新的物质，我们把有新物质生成的变化称为化学变化。D．

9淡水是我们人类和其他生物生存的必需品，但是地球上的淡水资源十分有限，地球上的多数地区缺水。

考点：

1、月相的变化有什么规律？（P49）球内接多面体；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．
解答：
解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，
所以球的半径为：．
故选C．
点评：
本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．

8．（2013•河池模拟）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（　　）

A．
25π
B．
50π
C．
5π
D．
10π

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．
解答：
解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=
所求球的表面积为：4×=25π
故选A
点评：
本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．

9．（2013•黄梅县模拟）已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
解答：
解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，
于是对角线O1O2=OE==，
∵圆O1的半径为4，∴O1E===2
∴O2E═=3
∴圆O2的半径为
故选D．

点评：
本题主要考查球的有关概念以及两平面垂直的性质，是对基础知识的考查．解决本题的关键在于得到OO1EO2为矩形．

10．（2013•郑州一模）在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

A．
2π
B．
4π
C．
6π
D．
24π

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求三棱锥外接球的表面积．
解答：
解：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，
∵侧棱AC、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，
∴AB•AC=，AD•AC=，AB•AD=
∴AB=，AC=1，AD=
∴球的直径为：
∴半径为
∴三棱锥外接球的表面积为=6π
故选C．
点评：
本题考查三棱锥外接球的表面积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在．

11．（2013•河池模拟）一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（　　）

A．
50π
B．
25π
C．

D．

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
由四面体A﹣BCD相对的棱长度相等，将其放置于长方体中，如图所示．由题意得该长方体的外接球就是四面体A﹣BCD的外接球，因此算出长方体的对角线长得到外接球的直径，利用球的表面积公式加以计算，可得四面体A﹣BCD的外接球的表面积．
解答：
解：将四面体A﹣BCD放置于长方体中，如图所示．
∵四面体A﹣BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，
∴长方体的外接球就是四面体A﹣BCD的外接球，
∵AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，
∴长方体的对角线长为=5，
可得外接球的直径2R=5，所以R=
因此，外接球的表面积为S=4πR2=25π．
故选：B

点评：
本题给出相对棱长相等的四面体，求它的外接球的表面积．着重考查了长方体的性质、长方体的对角线长公式和球的表面积公式等知识，属于中档题．

12．（2012•南宁模拟）已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
先求AC的值，利用△ABC外接圆是球O的截面圆，球心O在平面ABC的射影点为AC的中点O′，求出OO′，即可求得棱锥O﹣ABC的体积．
解答：
解：∵AB=3，BC=2，∠ABC=，∴AC
△ABC外接圆是球O的截面圆，球心O在平面ABC的射影点为AC的中点O′，此时OO′==
∴棱锥O﹣ABC的体积为=
故选A．
点评：
本题考查棱锥体积的计算，考查球的截面圆，属于基础题．

13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（　　）

A．
5
B．

C．
10
D．

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由题意通过侧面与底面所成角为，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与正四棱锥底面边长的关系；利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线，结合勾股定理求出，外接球的半径与底面边长的关系，即可得到比值．
解答：
解：由于侧面与底面所成角为，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a，则斜高也为a，进而可得侧棱长为
，高为
四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为，
其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为R，球心为O，顶点为P，底面中心为O1，底面一个顶点为B，则OB=OP，

于是就有：（﹣R）2+（）2=R2
解得R=．
所以两者的比为：．
故选D
点评：
本题是中档题，考查学生的空间想象能力，计算能力推理能力．求出球的半径与正三棱柱的底面边长的关系，是本题的关键．

14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB的高为（　　）

A．

B．

C．

D．
1

考点：
球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；空间位置关系与距离．
分析：
将三棱锥S﹣AOB的高，转化为C到平面AOB的距离，利用等体积法，即可求得结论．
解答：
解：∵球O的表面积为20π，∴球O的半径为，
∵SC是球O的直径，∴三棱锥S﹣AOB的高等于C到平面AOB的距离，设为h
∵AB=BC=2，，∴cosA==
∴sinA=
∴△ABC外接圆半径为=2
∴O到平面ABC的距离为1
∵，
∴
∴h=
故选C．
点评：
本题考查三棱锥的高，考查三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力，属于中档题．

15．（2014•安阳一模）如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

A．

B．
3π
C．

D．
2π

考点：
球内接多面体；球的体积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．
解答：
解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．
故选A
点评：
本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．

16．（2011•琼海一模）已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（　　

A．

B．

C．

D．

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．
解答：
解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则O是O1，O2的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a2+h2=9．正六棱柱的体积为，即，则，得极值点，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为．
故选B

点评：
本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式．考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数的条件可以使用三个正数的均值不等式进行．

二．填空题（共8小题）
17．（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于
　20π　．

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．
解答：
解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，
可得，
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，
易得球半径，
故此球的表面积为4πR2=20π
故答案为：20π
点评：
本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．

18．（2014•江西模拟）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为　4π　．

考点：
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专题：
计算题；空间位置关系与距离；球．
分析：
根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．
解答：
解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，
∵正四面体ABCD的棱长为4，
∴正方体的棱长为，
可得外接球半径R满足，解得R=
E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，
截面圆的面积达最小值，
此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，
可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．
故答案为：4π

点评：
本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．

19．（2014•呼伦贝尔二模）设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是　8　．

考点：
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分析：
根据题意，以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥D﹣ABC有相同的外接球．从而算出长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16．再利用基本不等式求最值即可算出S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值．
解答：
解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，
∴以AB、AC、AD为长、宽、高，作长方体如图所示
可得长方体的外接球就是三棱锥D﹣ABC的外接球
∵球的半径为2，可得直径为4
∴长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16
∵S△ABC=AB•AC，S△ABD=AB•AD，S△ACD=AC•AD
∴S△ABC+S△ABD+S△ACD=（AB•AC+AB•AD+AC•AD）
∵AB•AC+AB•AD+AC•AD≤AB2+AC2+AD2=16
当且仅当AB=AC=AD时，等号成立
∴当且仅当AB=AC=AD时，S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为8
故答案为：8

点评：
本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．

20．（2014•河南模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于　　．

考点：
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专题：
空间位置关系与距离．
分析：
画出图形，求出外接球的半径即可求出结果．
解答：
解：底面ABCD外接圆的半径是，即AO=．
则PO===，
∴四棱锥的外接球的半径为：，即R=，
∴=．
故答案为：．

点评：
本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

21．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为　　．

考点：
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专题：
计算题；压轴题．
分析：
先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算
解答：
解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，
∵圆O的半径为，
∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=2
△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×
∴h==
∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=
故答案为
点评：
本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题

22．（2009•湖南）在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则
（1）球心到平面ABC的距离为　12　；
（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为　3　．

考点：
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专题：
计算题；压轴题．
分析：
（1）由题意说明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离．
（2）如图作出过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．
解答：
解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，
AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，
即：OD=12
（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则∠OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角．
易得DE=4
所以tan∠OED==3
故答案为：（1）12；（2）3．

点评：
本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现．

23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是
　3　．

考点：
球内接多面体；棱锥的结构特征．菁优网版权所有
专题：
计算题；作图题；压轴题．
分析：
画出正三棱锥的图形，设出底面边长，利用三角形相似求出AE，求出底面三角形的高，设出底面边长，然后求出正三棱锥的底面边长．
解答：
解：由题意画出正三棱锥的图形如图，
三角形ABC的中心为E，连接PE，球的球心O，在PE上，连接OA，
取PA的中点F连接OF，则PO=2=OA，PF=，OF=1
△PFO∽△PAE
所以，
AE=，底面三角形的高为：
底面三角形的边长为：a

a=3
故答案为：3

点评：
本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，考查作图能力，计算能力，是基础题．

24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r=　　．

考点：
球内接多面体．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题；新定义．
分析：
先根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体ABCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABC中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出关于R的方程即可求出答案．
解答：
解：根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体A﹣BCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AE是侧面上的中线，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，
在三角形ABC中，AE==ED，
在直角三角形AEF中，EF=ED=×=，
∴AF==，
在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，
∴△AOG∽△AEF，
∴即，
∴R=．
故答案为：．

点评：
本小题主要考查球内接多面体、棱锥的几何特征、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．

参考答案与试题解析

一．填空题（共8小题）
1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是　　．

考点：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
底面正三角形在球的大圆上，且圆心是正三角形的中心，从而求出底和高．
解答：
解：由图可知，底面正三角形在球的大圆上，
则正三角形的高为，边长为=R．
正三棱锥的高为R．
则侧面三角形的底边长为R，
高为=；
则S=•R•R=．
点评：
考查了学生的空间想象力，及组合体中面积，体积的求法．

2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为　①②③　（只填写序号）．

考点：
简单空间图形的三视图．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑．
解答：
解：当截面与正方体的一面平行时，截面图形如③，
当截面不与正方体的一面平行，截面图形如①②．
故答案为：①②③．
点评：
截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．

3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是　　．

考点：
球内接多面体；棱锥的结构特征．菁优网版权所有
专题：
作图题；证明题．
分析：
将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．
解答：
解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，
已知正四面体棱长为2
所以AD=，AC=1
所以CD=
截面面积是：
故答案为：

点评：
本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题．

4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为　　．

考点：
球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．菁优网版权所有
专题：