2010年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版ⅱ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 12 页）2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）复数（）2=（）A34i B3+4i C34i D3+4i 2（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）3（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 4（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 5（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|x2，或 x3 Bx|x2，或 1x3 Cx|2x1，或 x3 Dx|2x1，或 1x3 6（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 7（5 分）为了得到函数 y=sin（2x）的图象，只需把函数 y=sin（2x+）的图象（）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 8（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上CD 平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+9（5 分）已知正四棱锥 SABCD 中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1 B C2 D3 10（5 分）若曲线 y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a=（）A64 B32 C16 D8 11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 12（5 分）已知椭圆 T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若=3，则 k=（）A1 B C D2 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）已知 a 是第二象限的角，tan（+2）=，则 tan=14（5 分）若（x）9的展开式中 x3的系数是84，则 a=15（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=16（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求 AD 第 2 页（共 12 页）18（12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=（n2+n）3n（）求；（）证明：+3n 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1的大小 20（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 21（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且BD 的中点为 M（1，3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 22（12 分）设函数 f（x）=1ex（）证明：当 x1 时，f（x）；（）设当 x0 时，f（x），求 a 的取值范围 第 3 页（共 12 页）2010 年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分）1（5 分）复数（）2=（）A34i B3+4i C34i D3+4i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果【解答】解：（）2=2=（12i）2=34i 故选：A【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算，是一个基础题，解题时没有规律和技巧可寻，只要认真完成，则一定会得分 2（5 分）函数的反函数是（）Ay=e2x11（x0）By=e2x1+1（x0）Cy=e2x11（xR）Dy=e2x1+1（xR）【考点】4H：对数的运算性质；4R：反函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】从条件中中反解出 x，再将 x，y 互换即得解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y 换位，2、解：解出 y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数【解答】解：由原函数解得 x=e 2y1+1，f1（x）=e 2x1+1，又 x1，x10；ln（x1）R在反函数中 xR，故选：D【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=（y）；（2）交换 x=（y）中 x、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）3（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为（）A1 B2 C3 D4 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】先根据约束条件画出可行域，设 z=2x+y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过可行域内的点 B 时，从而得到 m 值即可【解答】解：作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 y=x 与 3x+2y=5 的交点为最优解点，即为 B（1，1），当 x=1，y=1 时 zmax=3 故选：C 第 4 页（共 12 页）【点评】本题考查了线性规划的知识，以及利用几何意义求最值，属于基础题 4（5 分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么 a1+a2+a7=（）A14 B21 C28 D35 【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28 故选：C【点评】本题主要考查等差数列的性质 5（5 分）不等式0 的解集为（）Ax|x2，或 x3 Bx|x2，或 1x3 Cx|2x1，或 x3 Dx|2x1，或 1x3 【考点】73：一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】解，可转化成 f（x）g（x）0，再利用根轴法进行求解【解答】解：（x3）（x+2）（x1）0 利用数轴穿根法解得2x1 或 x3，故选：C【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法，属于不等式的基础题 6（5 分）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A12 种 B18 种 C36 种 D54 种 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】本题是一个分步计数问题，首先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 C42，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理得到结果【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，先从 3 个信封中选一个放 1，2，有=3 种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入两个信封，每个信封两个有=6 种放法，共有 361=18 故选：B【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到第二步从剩下的 4 个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列 7（5 分）为了得到函数 y=sin（2x）的图象，只需把函数 y=sin（2x+）的图象（）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位 C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位 【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】1：常规题型【分析】先将 2 提出来，再由左加右减的原则进行平移即可【解答】解：y=sin（2x+）=sin2（x+），y=sin（2x）=sin2（x），所以将 y=sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到 y=sin（2x）的图象，故选：B【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移平移都是对单个的 x 来说的 第 5 页（共 12 页）8（5 分）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若=，=，|=1，|=2，则=（）A+B+C+D+【考点】9B：向量加减混合运算菁优网版权所有【分析】由ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到答案【解答】解：CD 为角平分线，故选：B【点评】本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若 AD 为三角形 ABC 的内角 A 的角平分线，则 AB：AC=BD：CD 9（5 分）已知正四棱锥 SABCD 中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A1 B C2 D3 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值【解 答】解：设 底 面 边 长 为 a，则 高 h=，所 以 体 积 V=a2h=，设 y=12a4a6，则 y=48a33a5，当 y 取最值时，y=48a33a5=0，解得 a=0 或 a=4 时，当 a=4 时，体积最大，此时 h=2，故选：C【点评】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法是中档题 10（5 分）若曲线 y=在点（a，）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18，则a=（）A64 B32 C16 D8 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】31：数形结合【分析】欲求参数 a 值，必须求出在点（a，）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=a 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程，最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式从而问题解决【解答】解：y=，k=，切线方程是 y=（xa），令 x=0，y=，令 y=0，x=3a，三角形的面积是 s=3a=18，解得 a=64 故选：A 第 6 页（共 12 页）【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力 11（5 分）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C有且只有 3 个 D有无数个 【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】16：压轴题【分析】由于点 D、B1显然满足要求，猜想 B1D 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系，并设该正方体的棱长为 1，连接 B1D，并在 B1D 上任取一点 P，因为=（1，1，1），所以设 P（a，a，a），其中 0a1 作 PE平面 A1D，垂足为 E，再作 EFA1D1，垂足为 F，则 PF 是点 P 到直线 A1D1的距离 所以 PF=；同理点 P 到直线 AB、CC1的距离也是 所以 B1D 上任一点与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等，所以与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个 故选：D 【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法 12（5 分）已知椭圆 T：+=1（ab0）的离心率为，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若=3，则 k=（）A1 B C D2 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得 y1和 y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x，根据韦达定理表示出 y1+y2和 y1y2，进而根据y1和 y2关系求得 k【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），y1=3y2，设，b=t，x2+4y24t2=0，设直线 AB 方程为，代入中消去 x，可得，解得，故选：B【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分）13（5 分）已知 a 是第二象限的角，tan（+2）=，则 tan=第 7 页（共 12 页）【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】根据诱导公式 tan（+）=tan 得到 tan2，然后利用公式 tan（+）=求出 tan，因为 为第二象限的角，判断取值即可【解答】解：由 tan（+2a）=得 tan2a=，又 tan2a=，解得 tana=或 tana=2，又 a 是第二象限的角，所以 tana=故答案为：【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力 14（5 分）若（x）9的展开式中 x3的系数是84，则 a=1 【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 3 得展开式中 x3的系数，列出方程解得【解答】解：展开式的通项为=（a）rC9rx92r 令 92r=3 得 r=3 展开式中 x3的系数是 C93（a）3=84a3=84，a=1 故答案为 1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法 15（5 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1，0且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=2 【考点】K8：抛物线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】设直线 AB 的方程与抛物线方程联立消去 y 得 3x2+（62p）x+3=0，进而根据，可知 M 为 A、B 的中点，可得 p 的关系式，解方程即可求得 p【解答】解：设直线 AB：，代入 y2=2px 得 3x2+（62p）x+3=0，又，即 M 为 A、B 的中点，xB+（）=2，即 xB=2+，得 p2+4P12=0，解得 p=2，p=6（舍去）故答案为：2【点评】本题考查了抛物线的几何性质属基础题 16（5 分）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆 M 与圆 N 的公共弦，AB=4，若 OM=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=3 【考点】JE：直线和圆的方程的应用；ND：球的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据题意画出图形，欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形 MNO 中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【解答】解法一：ON=3，球半径为 4，小圆 N 的半径为，小圆 N 中弦长 AB=4，作 NE 垂直于 AB，NE=，同理可得，在直角三角形 ONE 中，NE=，ON=3，第 8 页（共 12 页），MN=3 故填：3 解法二：如下图：设 AB 的中点为 C，则 OC 与 MN 必相交于 MN 中点为 E，因为 OM=ON=3，故小圆半径 NB 为 C 为 AB 中点，故 CB=2；所以 NC=，ONC 为直角三角形，NE 为ONC 斜边上的高，OC=MN=2EN=2CN=2=3 故填：3【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算，还考查球、直线与圆的基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分）17（10 分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33，sinB=，cosADC=，求 AD 【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】先由 cosADC=确定角 ADC 的范围，因为BAD=ADCB 所以可求其正弦值，最后由正弦定理可得答案【解答】解：由 cosADC=0，则ADC，又由知 BADC 可得 B，由 sinB=，可得 cosB=，又由 cosADC=，可得 sinADC=从而 sinBAD=sin（ADCB）=sinADCcosBcosADCsinB=由正弦定理得，所以 AD=【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现这类题型难度比较低，一般出现在 17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化 18（12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=（n2+n）3n（）求；（）证明：+3n 第 9 页（共 12 页）【考点】6F：极限及其运算；R6：不等式的证明菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）由题意知，由此可知答案（2）由题意知，=，由此可知，当 n1时，【解答】解：（1），所以=；（2）当 n=1 时，；当 n1 时，=所以，n1 时，【点评】本题考查数列的极限问题，解题时要注意公式的灵活运用 19（12 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45，求二面角 A1AC1B1的大小 【考点】LM：异面直线及其所成的角；LQ：平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题【分析】（1）欲证 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线，即证 DE 与异面直线 AB1与 CD 垂直相交即可；（2）将 AB1平移到 DG，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，作 HKAC1，K 为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得 B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1AC1B1的平面角，在三角形 B1KH中求出此角即可【解答】解：（1）连接 A1B，记 A1B 与 AB1的交点为 F 因为面 AA1BB1为正方形，故 A1BAB1，且 AF=FB1，又 AE=3EB1，所以 FE=EB1，又 D 为 BB1的中点，故 DEBF，DEAB1 作 CGAB，G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点 又由底面 ABC面 AA1B1B连接 DG，则 DGAB1，故 DEDG，由三垂线定理，得 DECD 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线（2）因为 DGAB1，故CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角，CDG=45 设 AB=2，则 AB1DG=，CG=，AC=作 B1HA1C1，H 为垂足，因为底面 A1B1C1面 AA1CC1，故 B1H面 AA1C1C又作 HKAC1，K 为垂足，连接 B1K，由三垂线定理，得 B1KAC1，因此B1KH 为二面角 A1AC1B1的平面角 B1H=，C1H=，AC1=，HK=第 10 页（共 12 页）tanB1KH=，二面角 A1AC1B1的大小为 arctan 【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段通过引入空间向量用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处 20（12 分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999（）求 P；（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式菁优网版权所有【专题】11：计算题【分析】1）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1，T2，T3 至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得 p（）根据题意，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，根据电路图，可得 B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，由互斥事件的概率公式，代入数据计算可得答案【解答】解：（）根据题意，记电流能通过 Ti为事件 Ai，i=1、2、3、4，A 表示事件：T1，T2，T3，中至少有一个能通过电流，易得 A1，A2，A3相互独立，且，P（）=（1p）3=10.999=0.001，计算可得，p=0.9；（）根据题意，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，有 B=A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3，则 P（B）=P（A4+（1A4）A1A3+（1A4）（1A1）A2A3）=0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9=0.9891【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，注意先明确事件之间的关系，进而选择对应的公式来计算 21（12 分）已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C：相交于 B、D 两点，且BD 的中点为 M（1，3）（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17，证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 【考点】J9：直线与圆的位置关系KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题【分析】（）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BD 两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 a，b 的关系式即求得离心率（）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含 a 的代数式表示，即可求得 a，则 A 点坐标可得（1，0），由于 A 在 x 轴上所以，只要证明 2AM=BD 即证得【解答】解：（）由题设知，l 的方程为：y=x+2，代入 C 的方程，并化简，第 11 页（共 12 页）得（b2a2）x24a2xa2b24a2=0，设 B（x1，y1），D（x2，y2），则，由 M（1，3）为 BD 的中点知 故，即 b2=3a2，故，C 的离心率（）由知，C 的方程为：3x2y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），故不妨设 x1a，x2a，|BF|FD|=（a2x1）（2x2a）=4x1x2+2a（x1+x2）a2=5a2+4a+8 又|BF|FD|=17，故 5a2+4a+8=17 解得 a=1，或（舍去），故=6，连接 MA，则由 A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD，且 MAx 轴，因此以 M 为圆心，MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点，且在点 A 处与 x 轴相切，所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切 【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力 22（12 分）设函数 f（x）=1ex（）证明：当 x1 时，f（x）；（）设当 x0 时，f（x），求 a 的取值范围 【考点】6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】（1）将函数 f（x）的解析式代入 f（x）整理成 ex1+x，组成新函数 g（x）=exx1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数 g（x）的最小值 g（0），进而 g（x）g（0）可得证（2）先确定函数 f（x）的取值范围，然后对 a 分 a0 和 a0 两种情况进行讨论当 a0 时根据 x 的范围可直接得到 f（x）不成立；当 a0 时，令 h（x）=axf（x）+f（x）x，然后对函数 h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求 a 的范围【解答】解：（1）当 x1 时，f（x）当且仅当 ex1+x 令 g（x）=exx1，则 g（x）=ex1 当 x0 时 g（x）0，g（x）在0，+）是增函数 当 x0 时 g（x）0，g（x）在（，0是减函数 于是 g（x）在 x=0 处达到最小值，因而当 xR 时，g（x）g（0）时，即 ex1+x 第 12 页（共 12 页）所以当 x1 时，f（x）（2）由题意 x0，此时 f（x）0 当 a0 时，若 x，则0，f（x）不成立；当 a0 时，令 h（x）=axf（x）+f（x）x，则 f（x）当且仅当 h（x）0 因为 f（x）=1ex，所以 h（x）=af（x）+axf（x）+f（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）当 0a时，由（1）知 x（x+1）f（x）h（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）f（x）0，h（x）在0，+）是减函数，h（x）h（0）=0，即 f（x）；（ii）当 a时，由 y=xf（x）=x1+ex，y=1ex，x0 时，函数 y 递增；x0，函数 y 递减 可得 x=0 处函数 y 取得最小值 0，即有 xf（x）h（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）当 0 x时，h（x）0，所以 h（x）0，所以 h（x）h（0）=0，即 f（x）综上，a 的取值范围是0，【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在