44矩阵的秩.pptx

第四章第四章 向量组的线性相关性、向量组的线性相关性、矩阵的秩矩阵的秩 第四节第四节 矩阵的秩矩阵的秩 要找出任意一个向量组的极大无关组，进而求出向要找出任意一个向量组的极大无关组，进而求出向量组的秩，并不容易。为此，本节通过引入矩阵的秩量组的秩，并不容易。为此，本节通过引入矩阵的秩的概念，可以给出一个求向量组的极大无关组、秩的的概念，可以给出一个求向量组的极大无关组、秩的简单方法简单方法一、矩阵的秩一、矩阵的秩定义定义1 在在 矩阵矩阵 中任取中任取 行行 列列 位于这些行列交叉处的位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得到的中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阶行列式，称为矩阵阵 的的 阶子式阶子式.（1）矩阵秩的概念矩阵秩的概念例如例如 对于对于每个元素都每个元素都为一阶子式；为一阶子式；为二阶子式；为二阶子式；为其唯一的三阶子式为其唯一的三阶子式.定义定义2 若在矩阵若在矩阵 中有不等于中有不等于0的的 阶子式，而所阶子式，而所有有 阶子式（如果存在的话）全等于阶子式（如果存在的话）全等于0，那么数，那么数 称为称为矩阵矩阵 的秩的秩，记作，记作 ，简记为，简记为 .即矩阵即矩阵 的秩就是的秩就是 中非零子式的最高阶数中非零子式的最高阶数.规定：零矩阵的秩为零规定：零矩阵的秩为零.注注 1、若、若 为一个为一个 矩阵，则有矩阵，则有 .2、对、对 的矩阵的矩阵 ，若若 ，则称，则称 为满秩矩阵为满秩矩阵.3、特别地，若、特别地，若 为为 阶方阵，且阶方阵，且 ，则则 为满秩矩阵，此时显然有为满秩矩阵，此时显然有 非奇异非奇异.即有：方阵即有：方阵 满秩满秩 可逆可逆 非奇异非奇异例例1 求矩阵求矩阵 的秩的秩.解解，即，即 为满秩矩阵为满秩矩阵.例例2解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，例例3 求矩阵求矩阵 的秩的秩.解解注注 行阶梯形矩阵的秩等于其非零行行数行阶梯形矩阵的秩等于其非零行行数.例例4解解是一个行阶梯形矩阵，其非零行有是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，行，思考：直接由定义求思考：直接由定义求 ，计算量很大！，计算量很大！是否可以寻求其他简单方法？是否可以寻求其他简单方法？（2）矩阵秩的求法矩阵秩的求法问题：问题：可否利用行阶梯形矩阵来求一般矩阵的秩可否利用行阶梯形矩阵来求一般矩阵的秩？由前面学习可知，任何矩阵由前面学习可知，任何矩阵 总可以经过总可以经过有限次初等行变换变为行阶梯形矩阵，而行阶梯有限次初等行变换变为行阶梯形矩阵，而行阶梯形矩阵的秩容易求到形矩阵的秩容易求到.定理定理1 初等行变换与初等列变换均不会改变一个矩初等行变换与初等列变换均不会改变一个矩阵的秩阵的秩.注注 由此定理知，可以由此定理知，可以利用初等变换来求矩阵利用初等变换来求矩阵 的秩：的秩：即可以通过初等行变换将矩阵即可以通过初等行变换将矩阵 化为行阶梯形矩阵，化为行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵 的秩的秩 .例例5由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知解解 对对 进行初等行变换，变成行阶梯形矩阵进行初等行变换，变成行阶梯形矩阵二、矩阵的秩与向量组秩的关系二、矩阵的秩与向量组秩的关系定理定理2 矩阵的列秩等于矩阵的行秩，都等于矩阵的秩矩阵的列秩等于矩阵的行秩，都等于矩阵的秩.定义定义3 矩阵列向量组（行向量组）的秩称为矩阵矩阵列向量组（行向量组）的秩称为矩阵的的列秩（行秩）列秩（行秩）.矩阵秩与向量组秩的关系体现为：矩阵秩与向量组秩的关系体现为：定理定理3 对矩阵对矩阵 作有限次初等行（列）变换将其变作有限次初等行（列）变换将其变为矩阵为矩阵 ，则，则 与与 的列（行）向量组具有相同的的列（行）向量组具有相同的线性关系线性关系.例如例如则则 的列向量组之间与的列向量组之间与 的列向量组之间有相同的列向量组之间有相同的线性关系的线性关系.例例6 求向量组求向量组的秩和它的一个极大线性无关组，并将其余向量用的秩和它的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大无关组来线性表示此极大无关组来线性表示.解解 将将 按列排成一个矩阵按列排成一个矩阵是原向量组的一个极大无关组；是原向量组的一个极大无关组；且且1、将、将 按列按列排成矩阵排成矩阵 ，即，即 2、将矩阵、将矩阵 经过经过初等行变换初等行变换化为行阶梯形，进而化为化为行阶梯形，进而化为行最简形；行最简形；3、则行最简形（行阶梯形）矩阵的非零行行数即为向、则行最简形（行阶梯形）矩阵的非零行行数即为向量组量组 的秩，而其每行首个非零元所在列对应的秩，而其每行首个非零元所在列对应的原矩阵的原矩阵 的列向量，就构成向量组的列向量，就构成向量组 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组.4、而根据行最简形矩阵，则可方便地将其余向量表示为、而根据行最简形矩阵，则可方便地将其余向量表示为所求到的极大线性无关组的线性组合所求到的极大线性无关组的线性组合.注注 求一个向量组求一个向量组 的秩、极大线性无关组的秩、极大线性无关组及把及把其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合的方法其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合的方法：例例7 设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵 的列向量组的秩和极大无关组，并把不属的列向量组的秩和极大无关组，并把不属于该极大无关组的列向量用此极大无关组线性表示于该极大无关组的列向量用此极大无关组线性表示.且有且有解解 对对 施行初等行变换变为行最简形矩阵施行初等行变换变为行最简形矩阵且且 为列向量组的一个极大无关组为列向量组的一个极大无关组.三、矩阵的秩的性质三、矩阵的秩的性质对任意矩阵对任意矩阵 ，有：，有：1、两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即、两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即推广：推广：2、两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩，即、两个矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩，即推广：推广：3、矩阵左乘或右乘可逆方阵，其秩不变，矩阵左乘或右乘可逆方阵，其秩不变，即若即若 分别是分别是 阶、阶、阶可逆方阵，则有阶可逆方阵，则有定理定理4 对对 矩阵矩阵 ，若，若 ，则一定存在，则一定存在 阶阶可逆方阵可逆方阵 和和 阶可逆方阵阶可逆方阵 ，使得，使得 其中其中 是是 阶单位阵阶单位阵.推论推论 对同型矩阵对同型矩阵 ，的充分必要条件的充分必要条件是是 和和 等价等价.