2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）.pdf

绝密绝密启用前启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事注意事项项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.若 z=1+i，则|z22z|=（）A.0 B.1 C.D.2 2【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.22zz【详解】由题意可得：，则.2212zii2222 12zzii 故.2222zz 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合 A=x|x240，B=x|2x+a0，且 AB=x|2x1，则 a=（）A.4 B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a 的值.【详解】求解二次不等式可得：，240 x 2|2Axx求解一次不等式可得：.20 xa|2aBx x 由于，故：，解得：.|21ABxx 12a2a 故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.B.C.D.514512514512【答案】D【解析】【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.,CDa PEb212POCD PE,a b【详解】如图，设，则，,CDa PEb22224aPOPEOEb由题意，即，化简得，212POab22142abab24()210bbaa 解得（负值舍去）.154ba故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.4.已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知，即，解得.|122ApAFx1292p6p=故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：(,)(1,2,20)iix yi 由此散点图，在 10C 至 40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是（）A.B.yabx2yabxC.D.exyablnyabx【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.yxlnyabx故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数的图像在点处的切线方程为（）43()2f xxx(1(1)f，A.B.21yx 21yx C.D.23yx21yx【答案】B【解析】【分析】求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.yf x fx 1f 1f【详解】，432f xxx 3246fxxx 11f 12f 因此，所求切线的方程为，即.121yx 21yx 故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 7.设函数在的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为（）()cos()6f xx,A.B.10976C.D.4332【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与4,094cos0964,09 f x轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.x4962 32【详解】由图可得：函数图象过点，4,09将它代入函数可得：f x4cos096又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，4,09 f xx所以，解得：4962 32所以函数的最小正周期为 f x224332T故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.8.的展开式中 x3y3的系数为（）25()()xxyxyA.5 B.10 C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘5()xy515rrrrTC xyrN5r 2yxx5()xy积为或形式，对分别赋值为 3，1 即可求得的系数，问题得解.65rrrC xy425rrrC xyr33x y【详解】展开式的通项公式为（且）5()xy515rrrrTC xyrN5r 所以与展开式的乘积可表示为：2yxx5()xy或 56155rrrrrrrxTxC xyC xy22542155rrrrrrrTC xyxCyyyxx在中，令，可得：，该项中的系数为，615rrrrxTC xy3r 33345xTC x y33x y10在中，令，可得：，该项中的系数为 42152rrrrTC xxyy1r 521332TCyxxy33x y5所以的系数为 33x y10515故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知，且，则（）()0,3cos28cos5sinA.B.5323C.D.1359【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数coscos关系，即可得出结论.【详解】，得，3cos28cos526cos8cos80即，解得或（舍去），23cos4cos402cos3 cos2又.25(0,),sin1cos3故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，,A B CO1OABC1O4，则球的表面积为（）1ABBCACOOOA.B.C.D.64483632【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边的外接圆半径，进而求出其边长，得出的值，根据球截面性质，求出球的半径，ABC1OO即可得出结论.【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意，1OrR得，24,2rr 由正弦定理可得，2 sin602 3ABr，根据圆截面性质平面，12 3OOAB1OO ABC，222211111,4OOO A ROAOOO AOOr球的表面积.O2464SR故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.11.已知M：，直线：，为 上的动点，过点作M 的切线222220 xyxyl220 xyPlP，切点为，当最小时，直线的方程为（）,PA PB,A B|PMABABA.B.C.D.210 xy 210 xy 210 xy 210 xy【答案】D【解析】【分析】由 题 意 可 判 断 直 线 与 圆 相 离，根 据 圆 的 知 识 可 知，四 点共 圆，且，根 据,A P B MABMP可知，当直线时，最小，求出以为直径的圆的方程，根22PAMPMABSPAMPlPMABMP据圆系的知识即可求出直线的方程 AB【详解】圆的方程可化为，点到直线 的距离为，所以直22114xyMl222 1 125221d 线 与圆相离 l依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以,A P B MABMP，而，12222PAMPMABSPAAMPA24PAMP当直线时，此时最小 MPlmin5MPmin1PAPMAB即，由解得，1:112MP yx 1122yx1122220yxxy10 xy 所以以为直径的圆的方程为，即，MP1110 xxy y2210 xyy 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程 210 xy AB故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题 12.若，则（）242log42logababA.B.C.D.2ab2ab2ab2ab【答案】B【解析】【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.2()2logxf xx()f x【详解】设，则为增函数，因为 2()2logxf xx()f x22422log42log2logabbabb所以，()(2)f afb2222log(2log 2)abab22222log(2log 2)bbbb21log102 所以，所以.()(2)f afb2ab，2()()f af b22222log(2log)abab222222log(2log)bbbb22222logbbb当时，此时，有 1b 2()()20f af b2()()f af b2ab当时，此时，有，所以 C、D 错误.2b 2()()10f af b 2()()f af b2ab故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.若 x，y 满足约束条件则 z=x+7y 的最大值为_.220,10,10,xyxyy 【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，7zxy1177yxz 其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：，22010 xyxy()1,0A据此可知目标函数的最大值为：.max1 7 01z 故答案为：1【点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设为单位向量，且，则_.,a b|1ab|ab【答案】3【解析】【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：2abab,a b 21a b abrr，问题得解.222abaa bb 【详解】因为为单位向量，所以,a b 1abrr所以 2222221ababaa bba b 解得：21a b 所以 22223ababaa bb 故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.15.已知 F 为双曲线的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.2222:1(0,0)xyCabab若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的几何性质可知，即可根据斜率列出等式求解即可 2bBFaAFca【详解】依题可得，而，即，变形得，化简3BFAF2bBFaAFca23baca22233caaca可得，解得或（舍去）2320ee2e 1e 故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题 16.如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则3ABADcosFCB=_.【答案】14【解析】【分析】在中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然后在ACECECFBCBDBF中利用余弦定理可求得的值.BCFcosFCB【详解】，ABAC3AB 1AC 由勾股定理得，222BCABAC同理得，6BD 6BFBD在中，ACE1AC 3AEAD30CAE由余弦定理得，22232cos301 32 1312CEACAEAC AE ，1CFCE在中，BCF2BC 6BF 1CF 由余弦定理得.2221461cos22 1 24CFBCBFFCBCF BC 故答案为：.14【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分.17.设是公比不为 1 的等比数列，为，的等差中项 na1a2a3a（1）求的公比；na（2）若，求数列的前项和 11a nnan【答案】（1）；（2）.21(13)(2)9nnnS【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；q（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.nanna【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，naq1a23,a a，212312,0,20aaa aqq；1,2qq （2）设的前项和为，nnannS111,(2)nnaa，211 12(2)3(2)(2)nnSn ，23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)nnnSnn 得，2131(2)(2)(2)(2)nnnSn ，1(2)1(13)(2)(2)1(2)3nnnnn .1(13)(2)9nnnS【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.18.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角DOAEAEADABC形，为上一点，PDO66PODO（1）证明：平面；PA PBC（2）求二面角的余弦值 BPCE【答案】（1）证明见解析；（2）.2 55【解析】【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可；PA PBCPAPBPAPC（2）以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的法向量PCB为，平面的法向量为，利用公式计算即可得到答案.nPCEmcos,|n mm nn m 【详解】（1）由题设，知为等边三角形，设，DAE1AE 则，所以，32DO 1122COBOAE6264PODO 222266,44PCPOOCPBPOOB又为等边三角形，则，所以，ABC2sin60BAOA32BA，则，所以，22234PAPBAB90APBPAPB同理，又，所以平面；PAPCPCPBPPA PBC（2）过 O 作BC 交 AB 于点 N，因为平面，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，ON 为 y 轴建立如ONPO ABC图所示的空间直角坐标系，则，121313(,0,0),(0,0,),(,0),(,0)244444EPBC，132(,)444PC 132(,)444PB 12(,0,)24PE 设平面的一个法向量为，PCB111(,)nx y z由，得，令，得，00n PCn PB 111111320320 xyzxyz12x 111,0zy 所以，(2,0,1)n 设平面的一个法向量为 PCE222(,)mxyz由，得，令，得，00m PCm PE 22222320220 xyzxz21x 2232,3zy 所以 3(1,2)3m 故，2 22 5cos,5|1033n mm nnm 设二面角的大小为，则.BPCE2 5cos5【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，12（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.11634716【解析】【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；（2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；:M411216P M（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，ABC则四局内结束比赛的概率为，411424PP ABABP ACACP BCBCP BABA 所以，需要进行第五场比赛的概率为；314PP（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，ABC记事件甲赢，记事件丙赢，:M:N则甲赢的基本事件包括：、BCBCABCBCACBCB、，BABCCBACBCBCACBBCABCBCBAC所以，甲赢的概率为.4511972232P M 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为.971 23216P N 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.20.已知 A、B 分别为椭圆 E：（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，P 为直线 x=62221xya8AG GB 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D（1）求 E 的方程；（2）证明：直线 CD 过定点.【答案】（1）；（2）证明详见解析.2219xy【解析】【分析】（1）由已知可得：，即可求得，结合已知即可求得：,0Aa,0B a0,1G21AG GBa 29a，问题得解.（2）设，可得直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程即可求得点的06,PyAP039yyxAPC坐标为，同理可得点的坐标为，即可表示出直线的方程，整20022003276,99yyyyD2002200332,11yyyyCD理直线的方程可得：，命题得证.CD0204323 3yyxy【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程可得：，222:1(1)xEyaa,0Aa,0B a0,1G，,1AGa,1GBa，218AG GBa 29a 椭圆方程为：2219xy（2）证明：设，06,Py则直线的方程为：，即：AP00363yyx 039yyx联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：AP2201939xyyyx，解得：或 2222000969810yxy xy3x 20203279yxy将代入直线可得：20203279yxy039yyx02069yyy所以点的坐标为.C20022003276,99yyyy同理可得：点的坐标为 D2002200332,11yyyy直线的方程为：，CD0022200002222000022006291233327331191yyyyyyyxyyyyyy整理可得：2220000002224200000832338331116 96 3yyyyyyyxxyyyyy整理得：0002220004243323 33 3yyyyxxyyy故直线过定点 CD3,02【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.21.已知函数.2()exf xaxx（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）x3+1，求 a 的取值范围.12【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.,0 x 0,fxf x0,x 0,fxf x（2）27,4e【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当时，1a 2xxxefx 21xfxex由于，故单调递增，注意到，故：20 xfxe fx 00f当时，单调递减，,0 x 0,fxf x当时，单调递增.0,x 0,fxf x(2)由得，其中，3112fxx23112xeaxxx0 x.当 x=0 时，不等式为：，显然成立，符合题意；1 1.当时，分离参数 a 得，0 x 32112xexxax记，32112xexxg xx 231212xxexxgxx 令，21102xexxh xx则，1xhxex 10 xhxe 故单调递增，hx 00hxh故函数单调递增，h x 00h xh由可得：恒成立，0h x 211 02xexx 故当时，单调递增；0,2x 0gx g x当时，单调递减；2,x 0gx g x因此，,2max724eg xg综上可得，实数 a 的取值范围是.27,4e【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数 以坐标原点为极点，轴正半轴为极xOy1Ccos,sinkkxtyt(t)x轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 2C4 cos16 sin30（1）当时，是什么曲线？1k 1C（2）当时，求与的公共点的直角坐标 4k 1C2C【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；（2）.1C1 1(,)4 4【解析】【分析】（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；22sincos1ttt1C（2）当时，曲线的参数方程化为为参数），两式相加消去参数，得4k 0,0 xy1C22cos(sinxttytt1C普通方程，由，将曲线化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.cos,sinxy2C12,C C【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），1k 1Ccos(sinxttyt两式平方相加得，221xy所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；1C（2）当时，曲线的参数方程为为参数），4k 1C44cos(sinxttyt 所以，曲线的参数方程化为为参数），0,0 xy1C22cos(sinxttyt两式相加得曲线方程为，1C1xy得，平方得，1yx 21,01,01yxxxy曲线的极坐标方程为，2C4 cos16 sin30曲线直角坐标方程为，2C41630 xy联立方程，12,C C2141630yxxxy整理得，解得或（舍去），1232130 xx12x 136x，公共点的直角坐标为.11,44xy12,C C1 1(,)4 4【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数()|31|2|1|f xxx（1）画出的图像；()yf x（2）求不等式的解集()(1)f xf x【答案】（1）详解解析；（2）.7,6【解析】【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；f x（2）作出函数的图象，根据图象即可解出 1f x【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：3,1151,1313,3xxf xxxxx （2）将函数的图象向左平移 个单位，可得函数的图象，如图所示：f x11f x 由，解得 3511xx 76x 所以不等式的解集为 7,6【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题