2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅲ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=（）A0 B1 C1，2 D0，1，2 2（5 分）（1+i）（2i）=（）A3i B3+i C3i D3+i 3（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D 4（5 分）若 sin=，则 cos2=（）A B C D 5（5 分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（）A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 6（5 分）函数 f（x）=的最小正周期为（）A B C D2 7（5 分）下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是（）Ay=ln（1x）By=ln（2x）Cy=ln（1+x）Dy=ln（2+x）8（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6 B4，8 C，3 D2，3 9（5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（）A B C D 10（5 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为，则点（4，0）到 C 的渐近线的距离为（）A B2 C D2 11（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则C=（）A B C D 12（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（）第 2 页（共 15 页）A12 B18 C24 D54 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=14（5 分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 15（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值是 16（5 分）已知函数 f（x）=ln（x）+1，f（a）=4，则 f（a）=三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。分。17（12 分）等比数列an中，a1=1，a5=4a3（1）求an的通项公式；（2）记 Sn为an的前 n 项和若 Sm=63，求 m 18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 第 3 页（共 15 页）19（12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由 20（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且+=，证明：2|=|+|21（12 分）已知函数 f（x）=（1）求曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当 a1 时，f（x）+e0 第 4 页（共 15 页）（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23设函数 f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b，求 a+b 的最小值 第 5 页（共 15 页）2018 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。符合题目要求的。1（5 分）已知集合 A=x|x10，B=0，1，2，则 AB=（）A0 B1 C1，2 D0，1，2 【考点】1E：交集及其运算菁优网版权所有【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合【分析】求解不等式化简集合 A，再由交集的运算性质得答案【解答】解：A=x|x10=x|x1，B=0，1，2，AB=x|x10，1，2=1，2 故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题 2（5 分）（1+i）（2i）=（）A3i B3+i C3i D3+i 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：（1+i）（2i）=3+i 故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题 3（5 分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D 【考点】L7：简单空间图形的三视图菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外 3 边是虚线，所以木构件的俯视图是 A 故选：A【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查 4（5 分）若 sin=，则 cos2=（）A B C D 第 6 页（共 15 页）【考点】GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值【分析】cos2=12sin2，由此能求出结果【解答】解：sin=，cos2=12sin2=12=故选：B【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 5（5 分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（）A0.3 B0.4 C0.6 D0.7 【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：10.450.15=0.4 故选：B【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查 6（5 分）函数 f（x）=的最小正周期为（）A B C D2 【考点】H1：三角函数的周期性菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数 f（x）=sin2x 的最小正周期为=，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题 7（5 分）下列函数中，其图象与函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称的是（）Ay=ln（1x）By=ln（2x）Cy=ln（1+x）Dy=ln（2+x）【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果【解答】解：首先根据函数 y=lnx 的图象，则：函数 y=lnx 的图象与 y=ln（x）的图象关于 y 轴对称 由于函数 y=lnx 的图象关于直线 x=1 对称 则：把函数 y=ln（x）的图象向右平移 2 个单位即可得到：y=ln（2x）即所求得解析式为：y=ln（2x）故选：B【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换 8（5 分）直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，则ABP面积的取值范围是（）A2，6 B4，8 C，3 D2，3 【考点】J9：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆 第 7 页（共 15 页）【分析】求出 A（2，0），B（0，2），|AB|=2，设 P（2+，），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d=，由此能求出ABP 面积的取值范围【解答】解：直线 x+y+2=0 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，令 x=0，得 y=2，令 y=0，得 x=2，A（2，0），B（0，2），|AB|=2，点 P 在圆（x2）2+y2=2 上，设 P（2+，），点 P 到直线 x+y+2=0 的距离：d=，sin（）1，1，d=，ABP 面积的取值范围是：，=2，6 故选：A【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 9（5 分）函数 y=x4+x2+2 的图象大致为（）A B C D 【考点】3A：函数的图象与图象的变换菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可【解答】解：函数过定点（0，2），排除 A，B 函数的导数 f（x）=4x3+2x=2x（2x21），由 f（x）0 得 2x（2x21）0，得 x或 0 x，此时函数单调递增，由 f（x）0 得 2x（2x21）0，得 x或x0，此时函数单调递减，排除 C，也可以利用 f（1）=1+1+2=20，排除 A，B，第 8 页（共 15 页）故选：D【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键 10（5 分）已知双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为，则点（4，0）到 C 的渐近线的距离为（）A B2 C D2 【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的离心率求出 a，b 的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可【解答】解：双曲线 C：=1（a0，b0）的离心率为，可得=，即：，解得 a=b，双曲线 C：=1（ab0）的渐近线方程玩：y=x，点（4，0）到 C 的渐近线的距离为：=2 故选：D【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 11（5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若ABC 的面积为，则C=（）A B C D 【考点】HR：余弦定理菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形【分析】推导出 SABC=，从而 sinC=cosC，由此能求出结果【解答】解：ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ABC 的面积为，SABC=，sinC=cosC，0C，C=故选：C【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 12（5 分）设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（）A12 B18 C24 D54 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】求出，ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断 D 的位置，然后求解即可【解答】解：ABC 为等边三角形且面积为 9，可得，解得 AB=6，球心为 O，三角形 ABC 的外心为 O，显然 D 在 OO 的延长线与球的交点如图：OC=，OO=2，则三棱锥 DABC 高的最大值为：6，则三棱锥 DABC 体积的最大值为：=18 第 9 页（共 15 页）故选：B 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13（5 分）已知向量=（1，2），=（2，2），=（1，）若（2+），则=【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用【分析】利用向量坐标运算法则求出=（4，2），再由向量平行的性质能求出 的值【解答】解：向量=（1，2），=（2，2），=（4，2），=（1，），（2+），解得=故答案为：【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 14（5 分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样 【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是分层抽样 故答案为：分层抽样【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 15（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=x+y 的最大值是3 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，3）时，z 最大【解答】解：画出变量 x，y 满足约束条件表示的平面区域如图：由解得 A（2，3）z=x+y 变形为 y=3x+3z，作出目标函数对应的直线，当直线过 A（2，3）时，直线的纵截距最小，z 最大，最大值为 2+3=3，故答案为：3 第 10 页（共 15 页）【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值 16（5 分）已知函数 f（x）=ln（x）+1，f（a）=4，则 f（a）=2 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可【解答】解：函数 g（x）=ln（x）满足 g（x）=ln（+x）=ln（x）=g（x），所以 g（x）是奇函数 函数 f（x）=ln（x）+1，f（a）=4，可得 f（a）=4=ln（a）+1，可得 ln（a）=3，则 f（a）=ln（a）+1=3+1=2 故答案为：2【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每题为必考题，每个试题考生都必须作答。第个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。分。17（12 分）等比数列an中，a1=1，a5=4a3（1）求an的通项公式；（2）记 Sn为an的前 n 项和若 Sm=63，求 m 【考点】89：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比 q=2，由此能求出an的通项公式（2）当 a1=1，q=2 时，Sn=，由 Sm=63，得 Sm=63，mN，无解；当 a1=1，q=2 时，Sn=2n1，由此能求出 m【解答】解：（1）等比数列an中，a1=1，a5=4a3 1q4=4（1q2），解得 q=2，当 q=2 时，an=2n1，当 q=2 时，an=（2）n1，an的通项公式为，an=2n1，或 an=（2）n1（2）记 Sn为an的前 n 项和 当 a1=1，q=2 时，Sn=，由 Sm=63，得 Sm=63，mN，无解；当 a1=1，q=2 时，Sn=2n1，由 Sm=63，得 Sm=2m1=63，mN，解得 m=6【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解第 11 页（共 15 页）能力，考查函数与方程思想，是基础题 18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20人第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=，P（K2k）0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【考点】BL：独立性检验菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在 7292 之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在 6585 之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这 40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是 79 和 81，计算它们的中位数为 m=80；由此填写列联表如下；超过 m 不超过 m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40（3）根据（2）中的列联表，计算 K2=106.635，能有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题 19（12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C，D 的点（1）证明：平面 AMD平面 BMC；（2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由 【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离【分析】（1）通过证明 CDAD，CDDM，证明 CM平面 AMD，然后证明平面 AMD平面第 12 页（共 15 页）BMC；（2）存在 P 是 AM 的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可【解答】（1）证明：矩形 ABCD 所在平面与半圆弦所在平面垂直，所以 AD半圆弦所在平面，CM半圆弦所在平面，CMAD，M 是上异于 C，D 的点CMDM，DMAD=D，CM平面 AMD，CM平面 CMB，平面 AMD平面 BMC；（2）解：存在 P 是 AM 的中点，理由：连接 BD 交 AC 于 O，取 AM 的中点 P，连接 OP，可得 MCOP，MC平面 BDP，OP平面 BDP，所以 MC平面 PBD 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力 20（12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：+=1 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M（1，m）（m0）（1）证明：k；（2）设 F 为 C 的右焦点，P 为 C 上一点，且+=，证明：2|=|+|【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法得 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=又点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 m 的取值范围，即可得 k，（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得 x1+x2=2 由+=，可得 x31=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=即可证明|FA|+|FB|=2|FP|【解答】解：（1）设 A（x1，y1），B（x2，y2），线段 AB 的中点为 M（1，m），x1+x2=2，y1+y2=2m 将 A，B 代入椭圆 C：+=1 中，可得，两式相减可得，3（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即 6（x1x2）+8m（y1y2）=0，k=点 M（1，m）在椭圆内，即，解得 0m k=（2）证明：设 A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得 x1+x2=2+=，F（1，0），x11+x21+x31=0，x3=1 由椭圆的焦半径公式得则|FA|=aex1=2x1，|FB|=2x2，|FP|=2x3=第 13 页（共 15 页）则|FA|+|FB|=4，|FA|+|FB|=2|FP|，【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查属于中档题 21（12 分）已知函数 f（x）=（1）求曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当 a1 时，f（x）+e0 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（1）由 f（0）=2，可得切线斜率 k=2，即可得到切线方程（2）可得=可得 f（x）在（），（2，+）递减，在（，2）递增，注意到 a1 时，函数 g（x）=ax2+x1 在（2，+）单调递增，且 g（2）=4a+10 只需（x）e，即可【解答】解：（1）=f（0）=2，即曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线斜率 k=2，曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线方程方程为 y（1）=2x 即 2xy1=0 为所求（2）证明：函数 f（x）的定义域为：R，可得=令 f（x）=0，可得，当 x时，f（x）0，x时，f（x）0，x（2，+）时，f（x）0 f（x）在（），（2，+）递减，在（，2）递增，注意到 a1 时，函数 g（x）=ax2+x1 在（2，+）单调递增，且 g（2）=4a+10 函数 f（x）的图象如下：a1，则e，f（x）e，当 a1 时，f（x）+e0【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。计分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分）22（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点（1）求 的取值范围；（2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 第 14 页（共 15 页）【考点】QK：圆的参数方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程【分析】（1）O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当=时，直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx+，从而圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d=1，进而求出或，由此能求出 的取值范围（2）设直线 l 的方程为 x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB 中点 P 的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O 的参数方程为（为参数），O 的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当=时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 x=0，成立；当 时，过点（0，）且倾斜角为 的直线 l 的方程为 y=tanx，倾斜角为 的直线 l 与O 交于 A，B 两点，圆心 O（0，0）到直线 l 的距离 d=1，tan21，tan1 或 tan1，或，综上 的取值范围是（，）（2）由（1）知直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为 x=m（y+），设 A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），联立，得（m2+1）y2+2+2m21=0，=+2，=，=，AB 中点 P 的轨迹的参数方程为，（m 为参数），（1m1）【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分）23设函数 f（x）=|2x+1|+|x1|（1）画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b，求 a+b 的最小值 第 15 页（共 15 页）【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可【解答】解：（1）当 x时，f（x）=（2x+1）（x1）=3x，当x1，f（x）=（2x+1）（x1）=x+2，当 x1 时，f（x）=（2x+1）+（x1）=3x，则 f（x）=对应的图象为：画出 y=f（x）的图象；（2）当 x0，+）时，f（x）ax+b，当 x=0 时，f（0）=20a+b，b2，当 x0 时，要使 f（x）ax+b 恒成立，则函数 f（x）的图象都在直线 y=ax+b 的下方或在直线上，f（x）的图象与 y 轴的交点的纵坐标为 2，且各部分直线的斜率的最大值为 3，故当且仅当 a3 且 b2 时，不等式 f（x）ax+b 在0，+）上成立，即 a+b 的最小值为 5 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数形结合是解决本题的关键