2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）.pdf

第 1 页（共 15 页）2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分 1（5 分）已知集合 A=x|1x2，B=x|0 x3，则 AB=（）A（1，3）B（1，0）C（0，2）D（2，3）2（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A4 B3 C3 D4 3（5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4（5 分）=（1，1），=（1，2）则（2+）=（）A1 B0 C1 D2 5（5 分）已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（）A5 B7 C9 D11 6（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A B C D 7（5 分）已知三点 A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A B C D 8（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A0 B2 C4 D14 9（5 分）已知等比数列an满足 a1=，a3a5=4（a41），则 a2=（）A2 B1 C D 10（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（）第 2 页（共 15 页）A36 B64 C144 D256 11（5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA运动，记BOP=x将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）的图象大致为（）A B C D 12（5 分）设函数 f（x）=ln（1+|x|），则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围是（）A（，）（1，+）B（，1）C（）D（，）二、填空题二、填空题 13（3 分）已知函数 f（x）=ax32x 的图象过点（1，4）则 a=14（3 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为 15（3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为 y=x，则该双曲线的标准方程是 16（3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 相切，则a=三解答题三解答题 17ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC（）求（）若BAC=60，求B 第 3 页（共 15 页）18某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数 2 8 14 10 6（1）做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 19（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4过 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 20椭圆 C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 第 4 页（共 15 页）21设函数 f（x）=lnx+a（1x）（）讨论：f（x）的单调性；（）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 四、选修四、选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22（10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点（1）证明：EFBC；（2）若 AG 等于O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形 EBCF 的面积 五、选修五、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（t 为参数，t0），其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=2sin，C3：=2cos（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 六、选修六、选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 24（10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要条件 第 5 页（共 15 页）2015 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分 1（5 分）已知集合 A=x|1x2，B=x|0 x3，则 AB=（）A（1，3）B（1，0）C（0，2）D（2，3）【考点】1D：并集及其运算菁优网版权所有【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|1x2，B=x|0 x3，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2（5 分）若为 a 实数，且=3+i，则 a=（）A4 B3 C3 D4 【考点】A1：虚数单位 i、复数菁优网版权所有【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】根据复数相等的条件进行求解即可【解答】解：由，得 2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则 a=4，故选：D【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础 3（5 分）根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】B8：频率分布直方图菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故 D 错误【解答】解：A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确；B20042006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确；C 从图中看出，2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确；D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 故选：D 第 6 页（共 15 页）【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题 4（5 分）=（1，1），=（1，2）则（2+）=（）A1 B0 C1 D2 【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算菁优网版权所有【专题】5A：平面向量及应用【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题【解答】解：因为=（1，1），=（1，2）则（2+）=（1，0）（1，1）=1；故选：C【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目 5（5 分）已知 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a1+a3+a5=3，则 S5=（）A5 B7 C9 D11 【考点】85：等差数列的前 n 项和菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列【分析】由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3再利用等差数列的前 n 项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得 a3=1 则 S5=5a3=5 故选：A【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6（5 分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A B C D 【考点】L!：由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解：设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为111=，剩余部分体积为 1=，截去部分体积与剩余部分体积的比值为 故选：D 【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积 7（5 分）已知三点 A（1，0），B（0，），C（2，）则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（）A B C D 第 7 页（共 15 页）【考点】J1：圆的标准方程菁优网版权所有【专题】5B：直线与圆【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论【解答】解：因为ABC 外接圆的圆心在直线 BC 垂直平分线上，即直线 x=1 上，可设圆心 P（1，p），由 PA=PB 得|p|=，得 p=圆心坐标为 P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|=，故选：B【点评】本题主要考查圆性质及ABC 外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键 8（5 分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A0 B2 C4 D14 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当 a=b=2 时不满足条件 ab，输出 a 的值为 2【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=14，b=18 满足条件 ab，不满足条件 ab，b=4 满足条件 ab，满足条件 ab，a=10 满足条件 ab，满足条件 ab，a=6 满足条件 ab，满足条件 ab，a=2 满足条件 ab，不满足条件 ab，b=2 不满足条件 ab，输出 a 的值为 2 故选：B【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题 9（5 分）已知等比数列an满足 a1=，a3a5=4（a41），则 a2=（）A2 B1 C D 【考点】88：等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】54：等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为 q，a3a5=4（a41），=4，化为 q3=8，解得 q=2 则 a2=故选：C 第 8 页（共 15 页）【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题 10（5 分）已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB=90，C 为该球面上的动点，若三棱锥OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（）A36 B64 C144 D256 【考点】LG：球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离【分析】当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，利用三棱锥OABC 体积的最大值为 36，求出半径，即可求出球 O 的表面积【解答】解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R，此时 VOABC=VCAOB=36，故 R=6，则球 O 的表面积为4R2=144，故选：C 【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 OABC 的体积最大是关键 11（5 分）如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC，CD 与 DA运动，记BOP=x将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f（x），则 y=f（x）的图象大致为（）A B C D 【考点】HC：正切函数的图象菁优网版权所有【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可【解答】解：当 0 x时，BP=tanx，AP=，此时 f（x）=+tanx，0 x，此时单调递增，当 P 在 CD 边上运动时，x且 x时，如图所示，tanPOB=tan（POQ）=tanx=tanPOQ=，OQ=，PD=AOOQ=1+，PC=BO+OQ=1，PA+PB=，当 x=时，PA+PB=2，第 9 页（共 15 页）当 P 在 AD 边上运动时，x，PA+PB=tanx，由对称性可知函数 f（x）关于 x=对称，且 f（）f（），且轨迹为非线型，排除 A，C，D，故选：B 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出 0 x时的解析式是解决本题的关键 12（5 分）设函数 f（x）=ln（1+|x|），则使得 f（x）f（2x1）成立的 x 的取值范围是（）A（，）（1，+）B（，1）C（）D（，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：函数 f（x）=ln（1+|x|）为偶函数，且在 x0 时，f（x）=ln（1+x），导数为 f（x）=+0，即有函数 f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x1）等价为 f（|x|）f（|2x1|），即|x|2x1|，平方得 3x24x+10，解得：x1，所求 x 的取值范围是（，1）故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键 二、填空题二、填空题 13（3 分）已知函数 f（x）=ax32x 的图象过点（1，4）则 a=2 【考点】36：函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】f（x）是图象过点（1，4），从而该点坐标满足函数 f（x）解析式，从而将点（1，4）带入函数 f（x）解析式即可求出 a【解答】解：根据条件得：4=a+2；a=2 故答案为：2【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础 14（3 分）若 x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为8 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用 第 10 页（共 15 页）【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）由 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A 时，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大 由，解得，即 A（3，2）将 A（3，2）的坐标代入目标函数 z=2x+y，得 z=23+2=8即 z=2x+y 的最大值为 8 故答案为：8 【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 15（3 分）已知双曲线过点且渐近线方程为 y=x，则该双曲线的标准方程是x2y2=1 【考点】KB：双曲线的标准方程菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线方程为 y2x2=，代入点，求出，即可求出双曲线的标准方程【解答】解：设双曲线方程为 y2x2=，代入点，可得 3=，=1，双曲线的标准方程是x2y2=1 故答案为：x2y2=1【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键 16（3 分）已知曲线 y=x+lnx 在点（1，1）处的切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 相切，则 a=8 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】26：开放型；53：导数的综合应用【分析】求出 y=x+lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据=0 得到 a 的值【解答】解：y=x+lnx 的导数为 y=1+，曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=2，则曲线 y=x+lnx 在 x=1 处的切线方程为 y1=2x2，即 y=2x1 由于切线与曲线 y=ax2+（a+2）x+1 相切，故 y=ax2+（a+2）x+1 可联立 y=2x1，得 ax2+ax+2=0，又 a0，两线相切有一切点，所以有=a28a=0，解得 a=8 故答案为：8【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即第 11 页（共 15 页）为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键 三解答题三解答题 17ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD=2DC（）求（）若BAC=60，求B 【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【专题】58：解三角形【分析】（）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（）由C=180（BAC+B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（）中的结论得答案【解答】解：（）如图，由正弦定理得：，AD 平分BAC，BD=2DC，；（）C=180（BAC+B），BAC=60，由（）知 2sinB=sinC，tanB=，即B=30 【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题 18某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表 B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 50，60）60，70）70，80）80，90）90，100）频数 2 8 14 10 6（1）做出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由 【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可（II）计算得出 CA表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”，P（CA），P（CB），即可判断不满意的情况【解答】解：（）第 12 页（共 15 页）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而 A 地区的用户满意度评分的比较分散（）A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大 记 CA表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”，CB表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得 P（CA）=（0.01+0.02+0.03）10=0.6 得 P（CB）=（0.005+0.02）10=0.25 A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题 19（12 分）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4过 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论菁优网版权所有【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离【分析】（）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（）求出 MH=6，AH=10，HB=6，即可求平面 a 把该长方体分成的两部分体积的比值【解答】解：（）交线围成的正方形 EFGH 如图所示；（）作 EMAB，垂足为 M，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8 因为 EFGH 为正方形，所以 EH=EF=BC=10，于是 MH=6，AH=10，HB=6 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础 20椭圆 C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合菁优网版权所有【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程 第 13 页（共 15 页）（2）设直线 l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解 KOM，然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值【解答】解：（1）椭圆 C：=1，（ab0）的离心率，点（2，）在 C 上，可得，解得 a2=8，b2=4，所求椭圆 C 方程为：（2）设直线 l：y=kx+b，（k0，b0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直线 y=kx+b 代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b28=0，故 xM=，yM=kxM+b=，于是在 OM 的斜率为：KOM=，即 KOMk=直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力 21设函数 f（x）=lnx+a（1x）（）讨论：f（x）的单调性；（）当 f（x）有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有【专题】26：开放型；53：导数的综合应用【分析】（）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a1，根据函数的单调性即可求出 a 的范围【解答】解：（）f（x）=lnx+a（1x）的定义域为（0，+），f（x）=a=，若 a0，则 f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，若 a0，则当 x（0，）时，f（x）0，当 x（，+）时，f（x）0，所以 f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，（），由（）知，当 a0 时，f（x）在（0，+）上无最大值；当 a0 时，f（x）在 x=取得最大值，最大值为 f（）=lna+a1，f（）2a2，lna+a10，令 g（a）=lna+a1，g（a）在（0，+）单调递增，g（1）=0，当 0a1 时，g（a）0，当 a1 时，g（a）0，a 的取值范围为（0，1）【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题 四、选修四、选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 22（10 分）如图，O 为等腰三角形 ABC 内一点，O 与ABC 的底边 BC 交于 M，N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB，AC 分别相切于 E，F 两点（1）证明：EFBC；（2）若 AG 等于O 的半径，且 AE=MN=2，求四边形 EBCF 的面积 【考点】N4：相似三角形的判定菁优网版权所有【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离 第 14 页（共 15 页）【分析】（1）通过 AD 是CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知 AD 是 EF 的垂直平分线，连结 OE、OM，则 OEAE，利用 SABCSAEF计算即可【解答】（1）证明：ABC 为等腰三角形，ADBC，AD 是CAB 的角平分线，又圆 O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F，AE=AF，ADEF，EFBC；（2）解：由（1）知 AE=AF，ADEF，AD 是 EF 的垂直平分线，又EF 为圆 O 的弦，O 在 AD 上，连结 OE、OM，则 OEAE，由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE，OAE=30，ABC 与AEF 都是等边三角形，AE=2，AO=4，OE=2，OM=OE=2，DM=MN=，OD=1，AD=5，AB=，四边形 EBCF 的面积为=【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题 五、选修五、选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 23（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（t 为参数，t0），其中 0，在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=2sin，C3：=2cos（1）求 C2与 C3交点的直角坐标；（2）若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB|的最大值 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程菁优网版权所有【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】（I）由曲线 C2：=2sin，化为 2=2sin，把代入可得直角坐标方程同理由 C3：=2cos可得直角坐标方程，联立解出可得 C2与 C3交点的直角坐标（2）由曲线 C1的参数方程，消去参数 t，化为普通方程：y=xtan，其中 0，；=时，为 x=0（y 0）其 极 坐 标 方 程 为：=（R，0），利 用|AB|=即可得出【解答】解：（I）由曲线 C2：=2sin，化为 2=2sin，x2+y2=2y 同理由 C3：=2cos可得直角坐标方程：，联立，解得，C2与 C3交点的直角坐标为（0，0），（2）曲线 C1：（t 为参数，t0），化为普通方程：y=xtan，其中 0，；=时，为 x=0（y0）其极坐标方程为：=（R，0），A，B 都在 C1上，A（2sin，），B 第 15 页（共 15 页）|AB|=4，当时，|AB|取得最大值 4【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 六、选修六、选修 4-5 不等式选讲不等式选讲 24（10 分）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 abcd，则+；（2）+是|ab|cd|的充要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，abcd，即可得证；（2）从两方面证，若+，证得|ab|cd|，若|ab|cd|，证得+，注意运用不等式的性质，即可得证【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，abcd，则，即有（+）2（+）2，则+；（2）若+，则（+）2（+）2，即为 a+b+2c+d+2，由 a+b=c+d，则 abcd，于是（ab）2=（a+b）24ab，（cd）2=（c+d）24cd，即有（ab）2（cd）2，即为|ab|cd|；若|ab|cd|，则（ab）2（cd）2，即有（a+b）24ab（c+d）24cd，由 a+b=c+d，则 abcd，则有（+）2（+）2 综上可得，+是|ab|cd|的充要条件【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题