2004年重庆高考文科数学真题及答案.doc

2004年重庆高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数的定义域是：　　
A．， B． C． D．
2．（5分）函数，则　　
A．1 B． C． D．
3．（5分）圆的圆心到直线的距离为：　　
A．2 B． C．1 D．
4．（5分）不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（5分）等于　　
A． B． C． D．
6．（5分）若向量的夹角为，，则向量的模为　　
A．2 B．4 C．6 D．12
7．（5分）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，那么是成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）不同直线，和不同平面，，给出下列命题：
①，②，③，④
其中假命题有：　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（5分）若数列是等差数列，首项，，．，则使前项和成立的最大自然数是　　
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
10．（5分）已知双曲线，的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为　　
A． B． C．2 D．
11．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：　　
A． B． C． D．
12．（5分）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是　　

A．258 B．234 C．222 D．210
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若在的展开式中的系数为，则　 　．
14．（4分）已知，则的最小值是　 　．
15．（4分）已知曲线，则过点的切线方程是　 　．
16．（4分）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点、、、、都在同一个球面上，则该球的体积为　 　．
三解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在，上的单调递增区间．
18．（12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5．
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，
（1）证明是异面直线与的公垂线；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量（吨与每吨产品的价格（元吨）之间的关系为，且生产吨的成本为元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润收入成本）
21．（12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点、，以线段为直径作圆为圆心）．试证抛物线顶点在圆的圆周上；并求圆的面积最小时直线的方程．

22．（14分）设数列满足：，，，
（1）令，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．

2004年重庆市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数的定义域是：　　
A．， B． C． D．
【解答】解：要使函数有意义：，
即：
可得
解得
故选：．
2．（5分）函数，则　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意知，，
则（2），，
．
故选：．
3．（5分）圆的圆心到直线的距离为：　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：圆的圆心，
它到直线的距离：
故选：．
4．（5分）不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：法一： 得 即
可得 可得或．
法二：验证，、不满足不等式，排除、、．
故选：．
5．（5分）等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式

．
故选：．
6．（5分）若向量的夹角为，，则向量的模为　　
A．2 B．4 C．6 D．12
【解答】解：

，
．
．
．
故选：．
7．（5分）已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，那么是成立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：依题意有，
，
，
．
但由于推不出，
推不出．
故选：．
8．（5分）不同直线，和不同平面，，给出下列命题：
①，②，③，④
其中假命题有：　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①，与平面没有公共点，所以是正确的．
②，直线可能在内，所以不正确．
③，可能两条直线相交，所以不正确．
④，与平面可能平行，不正确．
故选：．
9．（5分）若数列是等差数列，首项，，．，则使前项和成立的最大自然数是　　
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
【解答】解：
解法1：由，，知和两项中有一正数一负数，又，则公差为负数，否则各项总为正数，故，即，．
，
，
故4006为的最大自然数．
故选．

解法2：由，，，同解法1的分析得，，
为中的最大值．
是关于的二次函数，如草图所示，
到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小，
在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点的左侧，
4007，4008都在其右侧，的最大自然数是4006．

故选：．
10．（5分）已知双曲线，的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设，由焦半径得，，
，化简得，
在双曲线的右支上，
，
，即双曲线的离心率的最大值为
故选：．
11．（5分）已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯泡的概率为：　　
A． B． C． D．
【解答】解：盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，
从中取一只螺口的概率是，
再次从中取一只螺口的概率是，
有8只灯泡，有一只螺口和7只卡口灯泡，
从中取一只卡口灯泡的概率是，
到第3次才取得卡口灯泡的概率为，
故选：．
12．（5分）如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是　　

A．258 B．234 C．222 D．210
【解答】解：正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，
正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，
加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的6个小正方体的表面积．
则．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）若在的展开式中的系数为，则　　．
【解答】解：展开式的通项为
令的展开式中的系数为
展开式中的系数为

故答案为
14．（4分）已知，则的最小值是　15　．
【解答】解：，
，
．
答案：15．
15．（4分）已知曲线，则过点的切线方程是　或　．
【解答】解：在上，又，
斜率．
所求直线方程为，．
当切点不是点时，设切点为，，根据切线过点，可得：
又，可解出，（舍去，
所以切线方程为
即切线方程为
故答案为：或
16．（4分）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点、、、、都在同一个球面上，则该球的体积为　　．
【解答解：正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，
点、、、、都在同一个球面上，
则该球的球心恰好是底面的中心，球的半径是1，体积为．
故答案为：
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在，上的单调递增区间．
【解答】解：

．
故该函数的最小正周期是；最小值是；单调递增区间是，，，．
18．（12分）设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5．
（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；
（2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率．
【解答】解：（1）设表示“第人命中目标”， ，2，3．
这里，，独立，且，，．
从而，至少有一人命中目标的概率为

恰有两人命中目标的概率为

则至少有一人命中目标的概率为0.94，恰好有两人命中目标的概率为0.44．
（2）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验．由已知在每次试验中事件“命中目标发生的概率为0.7．
故所求概率为（2）
故他恰好命中两次的概率为0.441．
19．（12分）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，
（1）证明是异面直线与的公垂线；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【解答】证明：因底面，有，又知，
故面，推得，
又，且，
证得是矩形，故．
又因，，故面，
而，得面，
故，
因此是与的公垂线．
解：连接交于，连接，过作的垂线，
垂足在上．
易知面，故，
又，故，
因此面．
连接，则是所要求的线与面所成的角
设，则，．
因，故
，
．
从而在中
．

20．（12分）某工厂生产某种产品，已知该产品的产量（吨与每吨产品的价格（元吨）之间的关系为，且生产吨的成本为元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润收入成本）
【解答】解：设生产吨产品，利润为元，
则

，
由，得
时，当时
当时，（元
答：该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润是3150000（元
21．（12分）设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点、，以线段为直径作圆为圆心）．试证抛物线顶点在圆的圆周上；并求圆的面积最小时直线的方程．

【解答】解：由题意，设直线的方程为，
设，，，，则其坐标满足
消去的，
则
因此
，故必在圆的圆周上，
又由题意圆心是的中点，故
，
由前已证应是圆的半径，且；
从而当时，圆的半径最小，也使圆的面积最小．

22．（14分）设数列满足：，，，
（1）令，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】解：（1）

是以公比为的等比数列，且

（2）由得

注意到，可得
记数列的前项和为
，

两式相减得

故
从而

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