本科毕业设计--浅谈向量在几何中的应用.doc

学号:XXXXXXX

哈尔滨师范大学
学士学位论文

题 目 浅谈向量在几何中的应用
学 生 XX
指导教师 XXX 副教授
年 级 XXXX级
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院

哈 尔 滨 师 范 大 学
学士学位论文开题报告

论文题目 浅谈向量在几何中的应用

学生姓名 XX
指导教师 XXX 副教授
年 级 XXX级
专 业 数学与应用数学

XXXX年XX月XX日
课题来源：
题目自拟

课题研究的目的和意义：
作为新课程改革，高中数学教材的一个显著变化就是“向量”的引入。它的目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。我们发现向量在立体几何中有很大的用处：有关空间问题中的“三大角度”和“两大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途。

国内外同类课题研究现状及发展趋势：
向量进入中学数学教材，是近几十年来国内外教学改革的一个主要特征．向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一，它是一个具有几何和代数双重身份的概念，具有特别广泛的教育价值．它来解决部分立体几何问题，可以大大降低难度，激发学生的学习兴趣，有利于学生在学习中获得成功的体验．教师在这一部分的教学中的难点和焦点在于：向量在立体几何中如何运用？如何在立体几何的教学中，正确处理好向量和传统方法的关系?怎样设计这部分知识的教学才能帮助学生更好地理解本部分的内容?

课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：
向量具有代数和几何双重身份，在几何问题的研究中起了重大的作用。本文主要研究向量在解决几何问题中的应用，如何用向量的知识解决几何中的“面积问题”、“两大位置关系”、“三大角”、“四大距离”的相关问题。在研究过程中发现有一些计算公式以及具体的叙述上有一些问题。于是通过阅读中学教材，翻看大量的数学刊物，以及上网阅览向量在解决高中数学问题的论文，解决了在课题研究方面的困难。

课题研究起止时间和进度安排：
1.2012.11-2012.12 根据导师指导，查阅资料，确定研究题目。
2.2012.12-2013.01 查阅资料，构思论文框架，填写开题报告。
3.2013.01-2013.02 资料搜集及整理、归纳、分析.充分与导师进行沟通，完成论文初稿，并
完成论文中期报告。
4.2013.02-2013.03 对论文的二稿进行修改和完善，并完成论文的最终定稿。
5.2013.03-2013.04 打印论文；撰写论文答辩提纲，完成论文答辩。

指导教师审查意见：

同意开题

指导教师 （签字）
　　　　年 月
教研室（研究室）评审意见：

同意开题

____________教研室（研究室）主任 （签字）
　　　　年 月
院（系）审查意见：

同意开题

______院（系）主任 （签字）
　　　　年 月

学 士 学 位 论 文

题 目 浅谈向量在几何中的应用
学 生 XXXX
指导教师 XXXXXX 副教授
年 级 XXXX级
专 业 数学与应用数学
系 别 数学系
学 院 数学科学学院

哈尔滨师范大学
XXXX年X月

浅谈向量在几何中的应用
XX
摘 要:在新一代的课改中，向量作为现代数学标志之一，已经进入了高中数学教材中。向量是沟通几何与代数的重要工具，促进了几何的代数化。有些几何问题用常规的几何证明方法去解决往往会比较复杂，那么运用向量把“几何问题”转化为“代数运算”，会使解题过程大大的简化，同时也更容易理解，体现了数学中常提到的“数形结合”的思想。向量普遍用于处理平面几何中的“面积问题”，以及空间几何中“两大位置关系”、“三大角”、“四大距离”。
关键词：向量 平面几何 空间几何

一、 向量在研究几何方面的作用

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，在18世纪末期人们运用复数的运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量来进行表示，人们利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样进入了数学。但是复数的利用是受限制的，一个复数所能对应的点只能在平面上，而向量却有平面向量和空间向量之分。高中教材中引入向量的主要目的是为研究空间几何提供一种新的方法，它是一种非常强大的工具，它能将“几何形式”转化为“代数形式”，极大的促进了几何的代数化。但是要想用好向量只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想灵活运用又需要我们熟练的掌握它可以用来计算什么以及与向量有联系的知识内容，丰富知识网络，形成比较完善的“认知模块”、“知识体系”，在脑海中形成比较完善的知识链。
首先，它可以用于研究“平行”和“垂直”两大位置关系，主要包括“线线平行”、“线面平行”、“线线垂直”、“线面垂直”。
其次，它对于求“三大角”也有很好的应用，主要包括“线线角”、“线面角”“二面角”。这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数“正弦函数或余弦函数的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量的投影，我们可以利用直角三角函数的定义来掌握向量在求“空间角”方面的应用。
再次，它可以有效的计算“四大距离”，主要包括“点点距离”、“点线距离”、“点面距离异面直线的距离”。
最后，它还可以处理平面几何中图形的面积计算等。

二、 向量在平面几何中的应用

例1.四边形是正方形，是的中点，将正方形折起使点与重合，设折痕为（在上），若正方形面积为64，试用向量的方法求的面积。
解:如图，建立直角坐标系，
显然是的中垂线，
所以是的中点。
因为正方形的边长为8，
所以，。
设点，则，
，。
，
由，
得:。
即:。
解之:，即。
所以。
例2. 已知:，，其中， ，与的夹角为，求平行四边形的面积。
解:，
同理:，
设与的夹角为，
，
所以，
所以。

三、 向量在空间几何中的应用

(一） 两大位置关系

1.平行关系

1.1证明两条直线平行

设直线、的方向向量分别为、，，，若，则与平行或者共线。
例3:已知有两条直线分别为，，的方向向量，的方向向量，试判断两条直线是否平行？
解:因为，
所以两条直线与不平行。

1.2证明直线与平面平行

设直线的方向向量为，平面的法向量为，、是与平行的两个不共线向量，那么或存在两个实数、，使。
例4：在正方体中，、分别为、的中点，求证：平面。

证明：方法1：如上图所示，以为原点，、、所在的直线分别为
轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则可求得，，，
，于是，
设平面的法向量是，则,且，
所以 。
取，得，，所以。
又，所以。
又因为平面，

所以平面。
方法2：因为，
所以。
又因为平面，
所以平面。

1.3证明平面与平面平行

设平面、的法向量分别为、，那么或与重合存在实数，使。
例5：在三棱柱中，侧棱垂直于底面，在底面中，是上一点，且面，为的中点，求证面面。

证明：以为原点，如图建立坐标系，
设，，，
则，，，，
所以，设，
所以，
，，
设面的法向量为，则
且，
解得，
所以。
设面的法向量为，则
且。
取，则，，则，
所以，所以，
所以面面。

2.垂直关系

2.1证明两条直线垂直

设直线、的方向向量分别为和，那么，当，时，若，则。
例6：现有两条直线，，的方向向量为，的方向向量为，是判断两条直线是否垂直？
解：因为，
所以和不垂直。

2.2证明直线和平面垂直

设直线的方向向量为，平面的法向量为，则。若，，则，，。当，，时，。

例7：在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点，试在棱上找一点，使得平面。

证明：分别以、、所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系
，
则，，，，，。
所以，
又因为、分别为、的中点，
所以，
又因为，，
由于平面，
所以且。
即，。
所以，
所以。
故取的中点就能满足平面。

2.3证明平面与平面垂直

设平面、的法向量分别为、，那么。若、是与平行的两个不共线向量，是平面的法向量，则
例8：在如图所示的几何体中，四边形是正方形平面，,、、分别为、、的中点，且。求证：平面平面。

证明：以为原点，向量,,分别为轴、轴、轴的正方向，
如图建立坐标系，设，则，
则,，，，。
则，，，
所以，，，
设平面的法向量，则
且。
取，则，所以。
易证平面的法向量为,
因为,
所以，。
所以，平面平面。

（二） 三大角

1. 线线角

，是两异面直线，，，，，，所成的角为，则有，所以。
例9：在棱长为1的正方体中，，分别为和的中点，那么直线与所成的角是多少？

解：因为，,
所以。
又因为
同理可得：。
设与所成的角为，则,
所以。

2. 线面角

设直线的方向向量为，平面的法向量为，则。
例10：如图，正三棱柱的底边长为，侧棱长为，求与侧面所成的角。

解：根据正三棱柱的性质，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
，。
取的中点，则，
连,,则有，，。
由于，，
所以平面，
所以是与侧面所成的角。
因为，，
所以，
而，，
所以，
所以，即与侧面所成的角为。

3. 二面角

设平面，的法向量分别为，，则。
例11：已知平面，且，，，求二面角的大小。

解：过作于，过作于，
则二面角的大小等于向量与的夹角大小。
令,由平面，，
知为的中点，且。
由，，知。
由三垂线定理知：。
又因为，
所以，，
，从而为的中点。
如图建立空间直角坐标系，则，，,
,,
所以
则。
所以，
即二面角的大小为。

（三） 四大距离

1. 两点间的距离

例12：在的二面角中，，。已知、到的距离分别是和，且，求的长度。

解：如图所示，作，，
则，，且，。
又因为，
所以，。
因为，

所以，。
即：的长度为。

2. 点与线之间的距离

例13：设为矩形所在平面外的一点，直线垂直于平面外的一点，直线垂直平面，，，，求点到直线的距离。

解：因为，，
所以在上的射影长为，
又因为，
所以，点到直线的距离 。

3. 点与平面之间的距离

例14：如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，，分别为与的中点，点在平面上的射影是的重心，求点到平面的距离。

解：如图，以，，分别为轴，轴，轴建立坐标系，
设，则，，，，
，。
所以，。
因为，
所以，
解得：。
所以有，，。
因为，，
所以平面，平面平面，为交线，
到直线的距离，
即：到平面的距离为。

4. 两异面直线的距离

例15：已知正方体的棱长为1，求异面直线与的距离。

解：取的中点，的中点，连接，，
则，，
。
由，，
，
所以，。
又因为，
所以为与的公垂线。所以

即：。
所以，异面直线与的距离是。

四、 用向量法解决几何问题的一般步骤

用向量法解决几何问题有两种方法：一种是用向量的代数式运算；另外一种是通过建立空间坐标系，用向量的坐标来运算。一般来讲，用向量坐标运算，思维量更小，运算技巧更低，更容易掌握，因此这是我们经常用的方法。如果所给的图形不容易建立空间直角坐标系，我们可以用向量的代数运算来解决问题，但需要我们付出大量思维以及运算量，对学生的逻辑推理能力要求比较高。
用向量坐标运算解题步骤：
（1）建立空间直角坐标系。注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系。注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致。
（2）写出需要用到的相关点的坐标。注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错。
（3）写出所要用到的相关向量坐标。注意必须终点坐标减始点坐标。
（4）通过计算解决具体问题。注意运算公式要用对，计算要仔细，以免结果错误。

参考文献：
[1] 刘八芝：向量在中学数学教学中的应用[J]，镇江高专学报2003年第2期。
[2] 邹立佩：直线、平面位置关系证明题的教学[J]，密山县考试周刊2003年第1期。
[3] 刘晓瑜：用空间向量法求角的问题研究[J]，高中数学教与学2004年。
[4] 赵春祥：用空间向量法求距离的问题研究[J]，中学数学研究2004年。
[5] 张 萍：浅谈用向量法解立体几何题[J]，中学数学研究2004年。
[6] 周钟光：空间距离的向量求法[J]，中学数学研究2005年。
[7] 郭 健：解析几何方法与应用[M]，天津科学技术出版社1998年。

APPLICATION OF VECTOR IN GEOMETRY
XXX

Abstract:In the new curriculum reform of mathematics,as now one of the signs of vector has entered the high school mathematics textbooks.Vector algebra and geometry is an important tool of communication,promote the geometric algebra.Some geometric problems with conventional problem solving method to solve are often more complicated,so the use of vector the geometry problem is transformed into algebraic operations,will make the problem sovling process is greatly simplified,embodies the mathematics"the number shape union thought".Vector common of processing planar geometry in"aera",as well as in the geometry of space"two position","three large","four distance".
Key words:vector;plane geometry
论文评阅人意见
论文（设计）题目
浅谈向量在几何中的应用
作 者
XX
评阅人

评阅人职称

意 见
本论文选题有很强的应用价值，文献材料收集详实，运用了所学知识对高中数学中的几何问题进行了综合概括，并且总结出了一套系统的方法，所得的数据合理，结论正确。比较有条理性，层次鲜明。

评阅人
签字

评阅意见

论文评阅人意见
论文（设计）题目
浅谈向量在几何中的应用
作 者
XX
评阅人

评阅人职称

意 见
论文思路清晰，语句通顺。能很好的讲述向量在处理高中几何问题上的应用。作者对高中几何问题研究比较透彻，总结全面。本文思路清晰，层次清晰，逻辑结构合理。观点表达正确，在论证过程中能有效将专业原理与要研究的主题结合在一起，总体上达到了毕业论文要求。

评阅人
签字

评阅意见

指导教师评语页
论文（设计）题目
浅谈向量在几何中的应用
作 者
XX
指导教师
XX
职 称
副教授
评 语
该生阅读资料的能力较强，并且有较强的总结能力，本文通过大量的例题，表现了向量在解决几何问题的能力。文章结构合理，具有条理性、层次性、逻辑性。内容充实，参考了丰富的文献资料，总结全面，有时效性。

指导教师签字

论文等级

本科毕业论文（设计）答辩过程记录
院系 数学科学学院 数学系 专业 数学与应用数学 年级 XX
答辩人姓名 XX 学号 XX
毕业论文（设计）题目 浅谈向量在几何中的应用
毕业论文（设计）答辩过程记录：

答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）
记录员 答辩小组组长签字
年 月 日 年 月 日
本科毕业论文（设计）答辩登记表
院（系）：数学科学学院数学系 专业：数学与应用数学 年级：2009级
论文（设计）题目：浅谈向量在几何中的应用
答辩人：XX
学号：XX
评阅人：XX
指导教师：XXX 论文（设计）等级：
答辩小组成员：
答辩小组意见：

秘书签名：

年 月 日
论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）
论文（设计）最终等级：
答辩小组组长签名：
答辩委员会主席签名：

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所属院(系)： 填表日期： 年 月 日
论文作者
毕业论文（设计）总周数

姓名
性别
专业

指导教师
姓名
年龄
专业技术职务
所在单位

毕业论文（设计）
题目

毕业论文（设计）主要涉及研究方向

毕业论文（设计）选题依据及背景

院系中期
检查情况

毕业论文（设计）的水平与
特色

毕业论文（设计）有何实验、实践或
实习基础

毕业论文（设计）期间研读书目

指导教师
评语及推荐
意见

指导教师签字：
年 月 日
指导教师对申报材料真实性的意见

指导教师签字：
年 月 日
院系推荐
意见

（公章）
年 月 日
学校主管
部门意见

（公章）
年 月 日