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2004年福建高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知全集，2，3，4，，，2，，，，则　　
A． B． C．，2，4， D．，2，3，
2．（5分）等于　　
A．2 B． C．4 D．
3．（5分）命题：若、，则是的充分而不必要条件；命题：函数的定义域是，，，则　　
A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真
4．（5分）已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
5．（5分）设是等差数列的前项和，若　　
A．1 B． C．2 D．
6．（5分）已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则且；
④若，，则．
其中真命题的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（5分）已知函数的反函数是，则函数的图象是　　
A． B．
C． D．
8．（5分）已知是非零向量且满足，则的夹角是　　
A． B． C． D．
9．（5分）已知展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是　　
A． B． C．1或 D．1或
10．（5分）如图，、、是表面积为的球面上三点，，，，为球心，则直线与截面所成的角是　　

A． B． C． D．
11．（5分）定义在上的偶函数满足，当，时，，则　　
A． B．
C． D．
12．（5分）把标有号码1，2，3，，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是　　
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）直线被曲线所截得的弦长等于　 　．
14．（4分）设函数若（a），则实数的取值范围是　 　．
15．（4分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第小组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同．若，则在第7组中抽取的号码是　　．
16．（4分）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为　 　时，其容积最大．

三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）设函数，其中向量，，．
（1）若，且，，求；
（2）若函数的图象按向量，平移后得到函数的图象，求实数、的值．
18．（12分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．
求甲答对试题数的分布列及数学期望；
求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
19．（12分）在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

20．（12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
21．（12分）如图，是抛物线上一点，直线过点并与抛物线在点的切线垂直，与抛物线相交于另一点．
（Ⅰ）当点的横坐标为2时，求直线的方程；
（Ⅱ）当点在抛物线上移动时，求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离．

22．（14分）已知在区间，上是增函数．
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

2004年福建省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知全集，2，3，4，，，2，，，，则　　
A． B． C．，2，4， D．，2，3，
【解答】解：全集，2，3，4，，，2，，，，
，2，3，，
，
故选：．
2．（5分）等于　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：解法．
解法2：由．
原式．
故选：．
3．（5分）命题：若、，则是的充分而不必要条件；命题：函数的定义域是，，，则　　
A．“或”为假 B．“且”为真 C．真假 D．假真
【解答】解：，
若，不能推出，而，一定有，故命题为假．
又由函数的定义域为，即，即或．
故有，，．
为真命题．
故选：．
4．（5分）已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于，两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题，即
，
，
解之得：（负值舍去）．
故选：．
5．（5分）设是等差数列的前项和，若　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：设等差数列的首项为，由等差数列的性质可得
，，
，
故选：．
6．（5分）已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：
①若则；
②若，，则；
③若，，则且；
④若，，则．
其中真命题的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①若，，则与平行或异面，故不正确；
②若，，则与可能相交或平行，故不正确；
③若，，则且，也可能在平面内，故不正确；
④若，，则，垂直与同一直线的两平面平行，故正确
故选：．
7．（5分）已知函数的反函数是，则函数的图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：．函数的图象是．
故选：．
8．（5分）已知是非零向量且满足，则的夹角是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设的夹角是

故选：．
9．（5分）已知展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是　　
A． B． C．1或 D．1或
【解答】解：．
令，
．
，
．
当时，令，则．
当时，令，则．
故选：．
10．（5分）如图，、、是表面积为的球面上三点，，，，为球心，则直线与截面所成的角是　　

A． B． C． D．
【解答】解：表面积为的球面，它的半径是，则，，
因为，，，所以，为小圆的直径，
则平面平面，为小圆的圆心，
所以平面，就是直线与截面所成的角，
，
，，
故选：．

11．（5分）定义在上的偶函数满足，当，时，，则　　
A． B．
C． D．
【解答解：，时，，故偶函数在，上是增函数，
又定义在上的偶函数满足，故函数的周期是2
所以偶函数在上是增函数，
所以在上是减函数，
观察四个选项中，故不对；
选项中，故不对；
选项中，故对；
亦不对．
综上，选项是正确的．
故选：．
12．（5分）把标有号码1，2，3，，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为所有机会均等的可能共有10种，而号码小于7的奇数有1，3，5共3种，
所以抽到号码为小于7的奇数的概率是．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）直线被曲线所截得的弦长等于　　．
【解答】
解：过点作弦，垂足为，连接，可得为的中点．
由，得．
知圆心为，．
由点到直线的距离．
在直角三角形中，，，
根据勾股定理可得，
则弦长．
故答案为：

14．（4分）设函数若（a），则实数的取值范围是　　．
【解答】解：当时，，解得，
矛盾，无解
当时，，．
综上：
实数的取值范围是．
故答案为：
15．（4分）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第小组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同．若，则在第7组中抽取的号码是　63　．
【解答】解：，，，
在第7小组中抽取的号码是63．
故答案为：63．
16．（4分）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为　　时，其容积最大．

【解答】解：如图，设底面六边形的边长为，高为，则
； 又底面六边形的面积为：
；所以，这个正六棱柱容器的容积为：
，则对求导，则
，令，得或，
当时，，是增函数；当时，，是减函数；时，有最大值．
故答案为：

三、解答题（共6小题，满分74分
17．（12分）设函数，其中向量，，．
（1）若，且，，求；
（2）若函数的图象按向量，平移后得到函数的图象，求实数、的值．
【解答】解：（1）依题设，
由，
得．
，
，
，即．

（2）函数的图象按向量平移后得到函数的图象，
即函数的图象．
由（1）得，
，
，．
18．（12分）甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．
求甲答对试题数的分布列及数学期望；
求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
【解答】解：依题意，甲答对试题数的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
．．
的分布列为

0
1
2
3

甲答对试题数的数学期望为．
设甲、乙两人考试合格的事件分别为、，则，．
因为事件、相互独立，
甲、乙两人考试均不合格的概率为．
甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为．
故甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为．．
19．（12分）在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

【解答】证明：（Ⅰ）取中点，连接、．
，，
且，
平面，又平面，
．
Ⅱ）解：，平面平面，
平面．
过作于，连接，则，
为二面角的平面角．
由已知有，所以，又，，．
在中，，
二面角的大小为，
二面角的大小为．
（Ⅲ）解：在中，，是边长为4正的中线，．
，
设点到平面的距离为，
由，平面，得，
．即点到平面的距离为．

20．（12分）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求、的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
【解答】解：（Ⅰ）依题设，；
．
（Ⅱ）
．
因为函数在，上为增函数，
当时，；
当时，．
仅当时，．
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．
21．（12分）如图，是抛物线上一点，直线过点并与抛物线在点的切线垂直，与抛物线相交于另一点．
（Ⅰ）当点的横坐标为2时，求直线的方程；
（Ⅱ）当点在抛物线上移动时求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离．

【解答】解：（Ⅰ）把代入，得，
点坐标为．
由，①
得，
过点的切线的斜率，
直线的斜率，
直线的方程为，
即．

（Ⅱ）设．
过点的切线斜率，
当时不合题意，．
直线的斜率，
直线的方程为．②
方法一：联立①②消去，得．设，，．
是的中点，

消去，得就是所求的轨迹方程．
由知，．
上式等号仅当时成立，所以点到轴的最短距离是．
方法二：
设，，．则
由，，，
，
，，
将上式代入②并整理，得就是所求的轨迹方程．
由知，．
上式等号仅当时成立，所以点到轴的最短距离是．
22．（14分）已知在区间，上是增函数．
（Ⅰ）求实数的值组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ），在，上是增函数，
对，恒成立，
即对，恒成立．①
设，
①，
对，，只有当时，以及当时，（1）
．

（Ⅱ）由，得，或，
△
，是方程的两非零实根，，，
从而．
，．
要使不等式对任意及，恒成立，
当且仅当对任意，恒成立，
即对任意，恒成立．②
设，
②且（1），
或．
所以，存在实数，使不等式对任意及，恒成立，
其取值范围是，或．
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