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2004年天津市高考文科数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合，2，3，4，5，，，那么下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
2．（5分）不等式的解集为　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）对任意实数、、，在下列命题中，真命题是　　
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
4．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　
A． B． C． D．
5．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　
A．2 B．18 C．2或18 D．16
6．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　
A． B． C． D．
7．（5分）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（5分）如图，定点和都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且．那么，动点在平面内的轨迹是　　

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
9．（5分）函数的反函数是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）函数，，为增函数的区间是　　
A． B．， C．， D．，
11．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　

A． B． C． D．16
12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　 　．
14．（4分）已知向量，，若与垂直，则实数等于　 　．
15．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　 　．
16．（4分）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 　 　个．（用数字作答）
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
（1）求所选3人都是男生的概率；
（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（3）求所选3人中至少有1名女生的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
（1）证明平面；
（2）求与底面所成的角的正切值．

20．（12分）设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列．
（1）证明；
（2）求公差的值和数列的通项公式．
21．（12分）已知函数是上的奇函数，当时取得极值．
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，，不等式恒成立．
22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．

2004年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合，2，3，4，5，，，那么下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，3，4，5，，

故、错误，
故正确．
故选：．
2．（5分）不等式的解集为　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：
故选：．
3．（5分）对任意实数、、，在下列命题中，真命题是　　
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【解答】解：、当时，“”即不是“”的必要条件也不是充分条件，故，不成立；
、当时
一定有．
但时，且时，，可以不相等．
即“是“”的必要条件．
、当时，“”是“”的充分条件不成立；
故选：．
4．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解向量与向量的夹角是，
向量与向量反向，
令（则，
又，

解得
故
故选：．
5．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　
A．2 B．18 C．2或18 D．16
【解答】解：整理准线方程得，
，，
或
或18，
故选：．
6．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
是减函数．
．
．
．
．
．
故选：．
7．（5分）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆的方程可变形为，圆心，半径等于3，令，则．
设，．
又直线过第一象限且过点，．又直线与圆在第一象限内有相交点，
，，故选．
8．（5分）如图，定点和都在平面内，定点，，是内异于和的动点，且．那么，动点在平面内的轨迹是　　

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
【解答】解：

又
面

动点在平面内的轨迹是以为直径的一个圆，但要去掉、两个点
故选：．
9．（5分）函数的反函数是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由解得：
，
函数的反函数是
故选：．
10．（5分）函数，，为增函数的区间是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由其增区间可由的减区间得到，
即，
，．
令，，
故选：．
11．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　

A． B． C． D．16
【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面，
截面是一个矩形，并且长方体的体积，
，，
则，解得，
在直角中，，
故截面的面积是，
故选：．
12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：的最小正周期是

函数是偶函数
．
故选：．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　80　．
【解答】解：

故答案是80
14．（4分）已知向量，，若与垂直，则实数等于　　．
【解答】解：向量，，若与垂直，
，即：，，，
，．
15．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　　．
【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：．
因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．
即△，
解之得．
故答案为：
16．（4分）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 　36　个．（用数字作答）
【解答】解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．
①末位为0的三位数其首次两位从的5个数中任取2个排列而成方法数为，
②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有种挑法，再挑十位，还有种挑法，
合要求的数有种．
共有个合要求的数．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）解：，
由，有，解得；
（Ⅱ）解法一：
．
解法二：由（1），，得
，
于是，

代入得．
18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．
（1）求所选3人都是男生的概率；
（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（3）求所选3人中至少有1名女生的概率．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有种结果，
而满足条件的事件是所选3人都是男生有种结果，
根据古典概型公式得到
所选3人都是男生的概率为

（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有种结果，
而满足条件的事件是所选3人中恰有1名女生有种结果，
根据古典概型公式得到
所选3人中恰有1名女生的概率为
（3）由题意知本题是一个古典概型，
试验所包含的所有事件是从6人中选3人共有种结果，
而满足条件的事件是所选3人中至少1名女生有种结果，
根据古典概型公式得到
所选3人中至少有1名女生的概率为
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．
（1）证明平面；
（2）求与底面所成的角的正切值．

【解答】（1）证明：连接、交于．连接
底面是正方形点是的中点．
在中，是中位线
而平面且平面，所以，平面．
（2）解：作交于．连接，设正方形的边长为．
底面，为的中点
底面，为在底面内的射影，故为直线与底面所成的角．
在中，
在中
所以与底面所成的角的正切值为

20．（12分）设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且，，成等比数列．
（1）证明；
（2）求公差的值和数列的通项公式．
【解答】（1）证明：因，，成等比数列，故
而是等差数列，有，
于是
即
化简得
（2）解：由条件和，得到
由（1），，代入上式得
故，
因此，数列的通项公式为
21．（12分）已知函数是上的奇函数，当时取得极值．
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意，，不等式恒成立．
【解答】解：（1）由奇函数的定义，应有，
即
因此，
由条件（1）为的极值，必有（1），故
解得，
因此，，（1）
当时，，故在单调区间上是增函数
当时，，故在单调区间上是减函数
当时，，故在单调区间上是增函数
所以，在处取得极大值，极大值为
（2）由（1）知，是减函数，
且在，上的最大值，在，上的最小值（1）
所以，对任意的，，恒有
22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）若，求直线的方程；
（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．
【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为．
由已知得
解得
所以椭圆的方程为，离心率．
（2）解：由（1）可得．
设直线的方程为．由方程组
得
依题意△，得．
设，，，，则，①
．②
由直线的方程得，．于是．③
，．④
由①②③④得，从而．
所以直线的方程为或
（3）证明：．
由已知得方程组
注意，解得
因，，，故．
而，所以．
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