2003年北京高考理科数学真题及答案.doc

2003年北京高考理科数学真题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）设集合，，则等于　　
A． B． C． D．或
2．（5分）设，，，则　　
A． B． C． D．
3．（5分）“”是“”的　　
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
4．（5分）已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．（5分）极坐标方程表示的曲线是　　
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线

6．（5分）若，且，则的最小值是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（5分）如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为　　
A． B． C． D．
8．（5分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有　　
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
9．（5分）若数列的通项公式是，，2，，则等于　　
A． B． C． D．
10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中，2，，，且，2，，，则同时同意第1，2号同学当选的人数为　　
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．（4分）函数，，中，　 　是偶函数．
12．（4分）已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为　 　．
13．（4分）如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是　 　．

14．（4分）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为　 　．
三解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
16．（13分）已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列前项和的公式．
17．（15分）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且．
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积．

18．（15分）如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，，直线与椭圆次于，，，．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：
（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）

19．（14分）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）．
（Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？
（Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？

20．（14分）设是定义在区间，上的函数，且满足条件，①（1），②对任意的、，，都有
（Ⅰ）证明：对任意，，都有
（Ⅱ）证明：对任意的，，都有
（Ⅲ）在区间，上是否存在满足题设条件的奇函数且使得；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．（5分）设集合，，则等于　　
A． B． C． D．或
【解答】解：根据题意：集合或，集合
．
故选：．
2．（5分）设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，．
因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．
故选：．
3．（5分）“”是“”的　　
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：由，得，即，
所以，是“”的必要不充分条件．
故“是“”的必要不充分条件．
故选：．
4．（5分）已知，是平面，，是直线，下列命题中不正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解答】解：对于，若，，，则
但条件中缺少“”，故不一定有成立，故不正确；
对于，根据两条平行线与同一个平面所成角相等，可得
若，，则，故正确；
对于，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可得
若，，则，故正确；
对于，若直线与平面垂直，则直线与平面内所有直线都垂直
故若，，则，故正确
因此，不正确的命题只有
故选：．
5．（5分）极坐标方程表示的曲线是　　
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
解答】解：极坐标方程可化为：，
，即，它表示中心在的双曲线．
极坐标方程表示的曲线是双曲线．
故选：．
6．（5分）若，且，则的最小值是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意知，表示：复平面上的点到的距离为1的圆，
即以为圆心，以1为半径的圆，
表示：圆上的点到的距离的最小值，
即圆心到的距离减去半径1，
则
故选：．
7．（5分）如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆台的母线与底面成角，
设上底圆半径为，下底面圆半径为，母线为，可得
因此，圆台的侧面积为
又圆台的高
圆台的轴截面面积为
由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为

故选：．

8．（5分）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有　　
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
【解答】解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是种，
在不同土质的三块土地上种植的方法是，
种法共有种，
故选：．
9．（5分）若数列的通项公式是，，2，，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：
即
．
．，
故选：．
10．（5分）某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，，，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中，2，，，且，2，，，则同时同意第1，2号同学当选的人数为　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：第1，2，，名学生是否同意第1号同学当选依次由，，，，来确定表示同意，表示不同意或弃权），是否同意第2号同学当选依次由，，，确定，
而是否同时同意1，2号同学当选依次由，，，确定，
故同时同意1，2号同学当选的人数为，
故选：．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
11．（4分）函数，，中，　、　是偶函数．
【解答】解：，
为偶函数．
又当时，，

．
又，．
当时，，
．
又，．
当时，，
．
又，．
综上，对任意都有．
为偶函数．
，
为奇函数．
12．（4分）已知双曲线方程为，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为　　．
【解答】解：根据双曲线方程可知，
，
左顶点坐标为，右焦点坐标为，
抛物线顶点为双曲线的左顶点，焦点为右焦点，
，焦点在顶点的右侧，在轴上
抛物线方程．
故答案为：．
13．（4分）如图，已知底面半径为的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为，最小值为，那么圆柱被截后剩下部分的体积是　　．

【解答】解：取两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．
所求几何体的体积：
故答案为：
14．（4分）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为　　．
【解答】解析：设正方形周长为，则圆的周长为，半径．
，．
．
当时有最小值．
答案：
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，

的最小正周期．
（Ⅱ），
当时，取最大值为，
当时，取最小值为
的最大值为1，最小值为
16．（13分）已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列前项和的公式．
【解答】解：（1）设数列的公差为，
则．
又，得．
．
（2）当时，，，
当时，令，
则由，得
，①
．②
当时，①式减去②式，得

．
．
当时，．
综上可得，当时，；
当时，．
17．（15分）如图，三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，，是延长线上一点，且．
（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求三棱锥的体积．

【解答】解：（1），且，
四边形是平行四边形，可得．
又平面，平面，
直线平面
（2）过作于，连接
平面，是在平面内的射影
结合，可得，
是二面角的平面角．
，
是的中点，得是三角形的中位线，所以．
在△中，
，即二面角的大小为
（3）过作于，
平面，平面
平面平面
，平面平面
平面，即为点到平面的距离．
正三角形中，，
三棱锥的体积．

18．（15分）如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，
（Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，，，，直线与椭圆次于，，，．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在，，，，设交轴于点，交轴于点，求证：
（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）

【解答】（Ⅰ）解：椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心，
椭圆方程为
焦点坐标为，
离心率
（Ⅱ）证明：将直线的方程代入椭圆方程，得
整理得
根据韦达定理，得，，
所以 ①
将直线的方程代入椭圆方程，同理可得②
由 ①、②得
所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点，点
由、、共线，得
解得
由、、共线，同理可得

由变形得
所以
即

19．（14分）有三个新兴城镇分别位于、、三点处，且，，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在的垂直平分线上的点处（建立坐标系如图）．
（Ⅰ）若希望点到三镇距离的平方和最小，则应位于何处？
（Ⅱ）若希望点到三镇的最远距离为最小，则应位于何处？

【解答】解：（Ⅰ）由题设条件，设的坐标为，则至三镇距离的平方和为
所以，当时，函数取得最小值．
答：点的坐标是
（Ⅱ）记
至三镇的最远距离为
由解得，记，
于是
当，即时，
因为在，上是增函数，而在，上是减函数．
所以时，函数取得最小值．点的坐标是
当，即时，因为在，上当函数取得最小值，而在，上是减函数，且，所以时，函数取得最小值．
答：当时，点的坐标是；当时，点的坐标是，其中

20．（14分）设是定义在区间，上的函数，且满足条件，①（1），②对任意的、，，都有
（Ⅰ）证明：对任意，，都有
（Ⅱ）证明：对任意的，，都有
（Ⅲ）在区间，上是否存在满足题设条件的奇函数且使得；若存在请举一例，若不存在，请说明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：由题设条件可知，
当，时，有（1），即．
（Ⅱ）证明：对任意的，，，
当时，有
当时，，不妨设，，，，则
从而有（1）
综上可知，对任意的，，，都有
（Ⅲ）解：这样满足所述条件的函数不存在．理由如下：
假设存在函数满足条件，则由．
得
又（1），所以①
又因为为奇函数，所以，
由条件．
得
所以②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．
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