建筑力学概要.pptx

第九章第九章 静定结构的静定结构的位移计算位移计算 91 91 概述概述 92 92 虚功原理和单位荷载法虚功原理和单位荷载法 93 93 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算 94 94 图乘法图乘法 95 95 静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座位移所引起的位移 96 96 互等定理互等定理 第九章第九章 静定结构的位移计算静定结构的位移计算 9.1 9.1 概概 述述一、结构位移的定义一、结构位移的定义一、结构位移的定义一、结构位移的定义 结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横截面会转动，这些移动和转动称为结构的位移这些移动和转动称为结构的位移（Displacement Displacement）。二、位移的分类二、位移的分类二、位移的分类二、位移的分类位位移移线位移：截面形心的直线移动距离线位移：截面形心的直线移动距离 角位移：截面的转角角位移：截面的转角（angle of rotation angle of rotation）移位绝对位移相对位移广义位移三、刚架的位移举例三、刚架的位移举例三、刚架的位移举例三、刚架的位移举例 A 点的线位移 水平线位移 竖向线位移 截面A 的角位移 C、D 两点的水平相对线位移 A、B两个截面的相对转角 四、引起位移的原因四、引起位移的原因四、引起位移的原因四、引起位移的原因 一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变一般有：荷载（如前两刚架）、温度改变（如图（如图a a）、支座移动（如图）、支座移动（如图b b）材料收缩、制）材料收缩、制造误差等造误差等 五、五、五、五、计算位移的目的计算位移的目的计算位移的目的计算位移的目的 有以下三个方面：1 1、验验算算结结构构刚刚度度。即即验验算算结结构构的的位位移移是是否否超超过过允允许许的位移限制值的位移限制值 2 2、为为超超静静定定结结构构的的计计算算打打基基础础。在在计计算算超超静静定定结结构构内内力力时时，除除利利用用静静力力平平衡衡条条件件外外，还还需需要要考考虑虑变变形形协协调调条件，因此需计算结构的位移。条件，因此需计算结构的位移。3 3、在在结结构构的的制制作作、架架设设、养养护护过过程程中中，有有时时需需预预先先知知道道结结构构的的变变形形情情况况,以以便便采采取取一一定定的的施施工工措措施施，因因而而也需要进行位移计算。也需要进行位移计算。9.2 9.2 虚功原理和单位荷载法虚功原理和单位荷载法 一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原理一、变形体的虚功原理（The Principle of Virtual Work for Deformable Bodies The Principle of Virtual Work for Deformable Bodies）功：功：力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是力对物体在一段路程上累积效应的量度，也是传递和转换能量的量度传递和转换能量的量度 实功实功 ：力在自身引起的位移上所作的功力在自身引起的位移上所作的功 当静力加载时，即：当静力加载时，即：F FP1P1由由0 0增加至增加至F FP1P1 1111 由由0 0增加至增加至 1111力力F Fp1p1在位移在位移 1111上作的上作的实功实功 WW1111=F FP1P11111 虚虚功功：力力在在其其他他因因素素引引起起的的位位移移上上作作的的功功其其特特点点是是位位移移与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变与作功的力无关，在作功的过程中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点梁弯曲后，再在点2 2处加静力荷载处加静力荷载F FP2P2，梁产生新的弯曲。，梁产生新的弯曲。位移位移 1212为力为力FP2引起的引起的FP1的作用点沿方向的位移。力的作用点沿方向的位移。力 FP1在在位移位移 1212上作了功，为虚功，大小为上作了功，为虚功，大小为 在小变形条件下，在小变形条件下，由图示的原始形状、尺寸计算，由图示的原始形状、尺寸计算，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，并称此状态为虚功计算的位移状态。与之相应，F FP1P1单独作单独作用的状态为虚功计算的力状态。用的状态为虚功计算的力状态。当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状当力状态的外力在位移状态的位移上作外力虚功时，力状态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。态的内力也在位移状态各微段的变形上作内力虚功。根据功和能的原理可得变形体的根据功和能的原理可得变形体的虚功原理虚功原理：虚功虚功原理原理也可以简述为：也可以简述为：外力的虚功等于内力的虚变形功。外力的虚功等于内力的虚变形功。任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变移时，变形体所受外力在虚位移上所作虚功的总和，等于变形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。形体的内力在虚位移的相应变形上所作虚功的总和。二、二、二、二、单位荷载法单位荷载法单位荷载法单位荷载法 2 2、计算结构位移的一般公式、计算结构位移的一般公式1、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实、定义：应用虚功原理，通过加单位荷载求实际位移的方法。际位移的方法。经进一步推导，可得经进一步推导，可得式中：式中：E E -弹性模量；弹性模量；GG-剪切模量；剪切模量；A A-横截面积；横截面积；I I-截面惯性矩；截面惯性矩；K-K-截面形状系数。截面形状系数。一、静定结构在荷载作用下的位移公式一、静定结构在荷载作用下的位移公式一、静定结构在荷载作用下的位移公式一、静定结构在荷载作用下的位移公式 如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体如果结构只有荷载作用，因支座移动引起的刚体位移位移CCii0 0，位移公式则为，位移公式则为 9.3 9.3 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算弯矩的弯矩的影响影响剪力的剪力的影响影响轴力的轴力的影响影响二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式二、各类杆件结构在荷载作用下的位移公式1.1.1.1.梁和刚架梁和刚架梁和刚架梁和刚架 梁式杆的位移中梁式杆的位移中弯矩弯矩的影响是主要的的影响是主要的 ，位移计算公式中，位移计算公式中取第一项便具有足够的工程精度取第一项便具有足够的工程精度 2.2.2.2.桁架桁架桁架桁架 各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且各杆为链杆，而且是同材料的等直杆。杆内只有轴力，且处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式处处相等。因而只取公式中的第二项并简化为实用的形式3.3.3.3.组合结构组合结构组合结构组合结构 既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项既有梁式杆，又有链杆，取用公式中的前两项 :4.4.4.4.拱（拱（拱（拱（Arch Arch Arch Arch）一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计一般计轴力、弯矩的影响，剪切变形的影响忽略不计 三、虚拟状态的选取三、虚拟状态的选取三、虚拟状态的选取三、虚拟状态的选取 欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的欲求结构在荷载作用下的指定位移，须取相应的虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿虚拟状态。即取同一结构，在要求位移的地方，沿着要求位移的方位虚加单位荷载：着要求位移的方位虚加单位荷载：1.1.1.1.欲求一点的线位移，加一个单位集中力欲求一点的线位移，加一个单位集中力欲求一点的线位移，加一个单位集中力欲求一点的线位移，加一个单位集中力2.2.2.2.欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶欲求一处的角位移，加一个单位集中力偶 3.3.3.3.欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指欲求两点的相对线位移，在两点的连线上加一对指向相反的单位集中力向相反的单位集中力向相反的单位集中力向相反的单位集中力 4.4.4.4.欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中欲求两处的相对角位移，加一对指向相反的单位集中力偶力偶力偶力偶 5.5.5.5.欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反欲求桁架某杆的角位移在杆的两端加一对平行、反向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为向的集中力，两力形成单位力偶。力偶臂为d d d d，每一力的，每一力的，每一力的，每一力的大小为大小为大小为大小为1/d1/d1/d1/d力和力偶统称为广义力，力和力偶统称为广义力，单位广义力单位广义力用用 表示表示 线位移和角位移统称广义位移，用线位移和角位移统称广义位移，用表示表示 单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的广义位移则有正负之分：移则有正负之分：正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同；正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同；负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反。负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反。四、静定桁架的位移计算四、静定桁架的位移计算四、静定桁架的位移计算四、静定桁架的位移计算计算步骤为计算步骤为 1.1.1.1.设虚拟状态；设虚拟状态；设虚拟状态；设虚拟状态；2.2.2.2.计算计算计算计算3.3.3.3.用桁架的位移计算公式计算位移。用桁架的位移计算公式计算位移。用桁架的位移计算公式计算位移。用桁架的位移计算公式计算位移。例例例例9.19.1 图示桁架各杆的图示桁架各杆的EAEA相等，求相等，求CC结点的竖向位移结点的竖向位移解：解：解：解：（1 1）设虚拟状态（如上图）设虚拟状态（如上图b b所示）所示）（2 2）计算）计算（标于图（标于图 b.ab.a ）（3 3）代公式求）代公式求CC点的竖向位移点的竖向位移例例例例9.29.2 图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单图示钢桁架，图中括号内数值为杆件横截面面积（单位位cmcm2 2 ）。许可挠度与跨长的比值）。许可挠度与跨长的比值，试校核桁架的刚度。，试校核桁架的刚度。解：解：解：解：对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在对称简支桁架在对称荷载作用下，最大挠度发生在桁架的对称面处。须计算结点桁架的对称面处。须计算结点3 3的竖向位移，然后进行刚度的竖向位移，然后进行刚度校核。校核。1 1）建立虚拟状态（如图）建立虚拟状态（如图b b 所示）所示）2 2）计算）计算N N 和和F FNPNP，并标于图，并标于图b b、a a 上上 3 3）求）求3 3点的竖向位移，进行刚度校核点的竖向位移，进行刚度校核 计算半个桁架的计算半个桁架的 ，列表如下，列表如下:杆件杆件编号编号 /mm/mmA/mA/mmm2 2 /(1/(1/mmmm)F FNPNP/N/N N N上弦上弦6-76-76000600010000100000.606-750000-750000-0.75-0.75337500337500下弦下弦1-31-3120001200010000100001.21.2+600000+600000+0.375+0.375270000270000斜杆斜杆1-61-6100001000012500125000.80.8-10000001000000-0.625-0.625500000500000斜杆斜杆3-63-61000010000500050002 2250000250000+0.625+0.625312500312500竖杆竖杆2-62-60 00 0 竖杆竖杆3-73-70 00 014200001420000根据上表，得根据上表，得 所以，桁架满足刚度条件所以，桁架满足刚度条件 五、梁的位移及刚度校核五、梁的位移及刚度校核五、梁的位移及刚度校核五、梁的位移及刚度校核 1 1 1 1、梁的位移梁的位移梁的位移梁的位移 挠度挠度（DeflectionDeflection）：横截面形心在垂直于轴线方向的线位移横截面形心在垂直于轴线方向的线位移 用用w w 表示，表示，规定规定w w 向下为正。向下为正。转角转角：横截面的角位移横截面的角位移 ，规定顺时针转为正，规定顺时针转为正 在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表在工程设计手册中列有常见梁的位移的计算结果（如表9.19.1所示），可供计算时查用。所示），可供计算时查用。表表9.1 9.1 梁的挠度与转角公式梁的挠度与转角公式 荷载类型荷载类型转角转角最大挠度最大挠度1.1.悬臂梁悬臂梁 集中荷载作用在自由端集中荷载作用在自由端2.2.悬臂梁悬臂梁 弯曲力偶作用在自由端弯曲力偶作用在自由端续表续表3.3.悬臂梁悬臂梁 均匀分布荷载作用在梁上均匀分布荷载作用在梁上4.4.简支梁简支梁 集中荷载作用跨中位置上集中荷载作用跨中位置上5.5.简支梁简支梁 均匀分布荷载作用在梁上均匀分布荷载作用在梁上6.6.简支梁简支梁 弯曲力偶作用在梁的一端弯曲力偶作用在梁的一端续表续表2 2 2 2梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核梁的刚度校核梁的位移过大，则不能正常工作梁的位移过大，则不能正常工作 对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与对于梁的挠度，其许可值以许可的挠度与梁跨长之比梁跨长之比 为标准为标准 在工程上，吊车梁的在工程上，吊车梁的 1/600 1/600 铁路钢桁梁的铁路钢桁梁的 1/9001/900梁的刚度条件为梁的刚度条件为:例例例例9.39.3 图示简支梁由工字钢制成，图示简支梁由工字钢制成，跨度中点处承受集中载荷跨度中点处承受集中载荷 F Fp p。已知已知F Fp p=40KN=40KN，跨度，跨度3m 3m，许用应力，许用应力 =160MPa=160MPa，许用挠度许用挠度 ，弹性模量，弹性模量E=210E=2105 5MPa MPa，试选，试选择工字钢的型号择工字钢的型号 解：解：解：解：（1 1）按强度条件选择工字钢型号）按强度条件选择工字钢型号梁的最大弯矩为：梁的最大弯矩为：按弯曲正应力强度条件选截面按弯曲正应力强度条件选截面 查型钢表选用查型钢表选用20a20a工字钢工字钢,其弯曲截面系数为其弯曲截面系数为237cm237cm3 3，惯性矩，惯性矩I=2370cmI=2370cm4 4（2 2）校核梁的刚度）校核梁的刚度梁的刚度足够梁的刚度足够 因此，可选用因此，可选用20a20a工字钢工字钢 3.3.3.3.提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施 梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度梁的挠度和转角与梁的抗弯刚度EI EI、梁的跨度、梁的跨度L L、荷载作、荷载作用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：用情况有关，那么，要提高梁的抗弯刚度可以采取以下措施：(1)(1)增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI EI 增大梁的增大梁的EI EI值主要是设法增大梁截面的惯性矩值主要是设法增大梁截面的惯性矩I I 值，一般值，一般不采用增大不采用增大E E 值的方法。值的方法。在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提在截面面积不变的情况下，采用合理的截面形状，可提高惯性矩高惯性矩I I。（2 2）减小梁的跨度）减小梁的跨度L L 梁的变形与其跨度的梁的变形与其跨度的n n次幂成正比。设法减小梁的跨度次幂成正比。设法减小梁的跨度L L，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。，将有效地减小梁的变形，从而提高其刚度。在结构构在结构构造允许的情况下，可采用两种办法减小造允许的情况下，可采用两种办法减小L L 值：值：增加中间支座增加中间支座 而而 两端支座内移两端支座内移 如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁，一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的挠度（图（图c c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。(3)(3)改善荷载的作用情况改善荷载的作用情况 在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情在结构允许的情况下，合理地调整荷载的位置及分布情况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所况，以降低弯矩，从而减小梁的变形，提高其刚度。如图所示，将集中力分散作用，甚至示，将集中力分散作用，甚至 改为分布荷载，则弯矩降低，改为分布荷载，则弯矩降低，从而梁的变形减小，刚度提高。从而梁的变形减小，刚度提高。一、图乘法原理一、图乘法原理一、图乘法原理一、图乘法原理1 1 1 1、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：（1 1）杆段的轴线为直线）杆段的轴线为直线 （2 2）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度EI EI为常数为常数 直梁和刚架的位直梁和刚架的位移公式则为移公式则为（3 3）图和图和 图中至少有一个直线图形图中至少有一个直线图形 9.4 9.4 图乘法图乘法2 2 2 2图乘法原理图乘法原理图乘法原理图乘法原理图乘法求位移的一般表达式为图乘法求位移的一般表达式为注意：注意：1 1 应取自直线图中应取自直线图中2 2 若若A A与与 在杆件的同侧在杆件的同侧,取正值，取正值，反之反之,取负值取负值3 3 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形3.3.3.3.图乘法的步骤图乘法的步骤图乘法的步骤图乘法的步骤1 1 设虚拟状态；设虚拟状态；2 2 画画 图；图；图；图；3 3 图乘求位移。图乘求位移。下面介绍几个规则图形的面积和形心位置下面介绍几个规则图形的面积和形心位置 4.4.4.4.图形的分解图形的分解图形的分解图形的分解 当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。梯梯-梯同侧组合：梯同侧组合：梯梯-梯同侧组合：梯同侧组合：曲曲-折组合折组合阶梯形截面杆阶梯形截面杆二、二、二、二、图乘法计算直梁和刚架的位移图乘法计算直梁和刚架的位移图乘法计算直梁和刚架的位移图乘法计算直梁和刚架的位移 下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移下面举例应用图乘法求直梁和刚架的位移 例例例例9.49.4 试求图试求图a a所示外伸梁所示外伸梁CC点的竖向位移点的竖向位移 cvcv。梁的梁的EI=EI=常数。常数。解：解：解：解：MMP P、图分别如图图分别如图 (b).(c)(b).(c)所示所示。BC BC 段段的的MMP P图图是是标标准准二二次次抛抛物物线线；ABAB段段的的MMP P图图较较复复杂杂，但但可可将将其其分分解解为为一一个个三三角角形形和和一一个个标标准准二二次次抛抛物物线线图形图形 。由图乘法得由图乘法得 代入以上数据代入以上数据,于是于是例例例例9.59.5 试求图试求图a a所示伸臂梁所示伸臂梁CC点的竖向位移点的竖向位移 cvcv解：解：解：解：荷载弯矩图和单位弯矩图如图荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b cb c所示。所示。在在ABAB段段,M,MP P和和图均是三角形；图均是三角形；在在BCBC段段，MMP P图图可可看看作作是是由由B.C B.C 两两端端的的弯弯矩矩竖竖标标所所连连成成的的三三角角形形与与相相应应简简支支梁梁在在均均布布荷荷载载作作用用下下的的标标准准抛抛物物线线图（即图图（即图b b中虚线与曲线之间包含的面积）叠加而成。中虚线与曲线之间包含的面积）叠加而成。将上述各部分分别图乘再叠加，即得将上述各部分分别图乘再叠加，即得例例例例11.611.6 试求图试求图 (a)(a)所示刚架结点所示刚架结点B B的水平位移的水平位移 BHBH，设各设各杆为矩形截面，截面尺寸为杆为矩形截面，截面尺寸为bxh bxh，惯性矩，惯性矩 ，E E为常数，只考虑弯矩变形的影响。为常数，只考虑弯矩变形的影响。解：解：解：解：先作出先作出MMP P图和图和图图,分别如图分别如图 (b)(c)(b)(c)所示。所示。应用图乘法求得结点应用图乘法求得结点B B的水平位移为：的水平位移为：静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生静定结构由于支座移动并不产生内力也无变形，只发生刚体位移。刚体位移。如图如图 a a所示静定结构所示静定结构,其支座发生水平位移其支座发生水平位移CC1 1 、竖向位、竖向位移移CC2 2 和转角和转角CC3 3，现要求由此引起的任现要求由此引起的任一点沿任一方向的位移，一点沿任一方向的位移，例如求例如求k k点竖向位移点竖向位移.K K。9.5 9.5 静定结构由于支座位移所引起的位移静定结构由于支座位移所引起的位移这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式这种位移仍用虚功原理来计算。由位移计算的一般公式 因为从实际状态中取出的微段因为从实际状态中取出的微段dsds的变形为的变形为d d=du=du=于是上式可简化为于是上式可简化为K K=-CCi i 这就是静定结构在支座位移时的位移计算这就是静定结构在支座位移时的位移计算公式。式中公式。式中 为虚拟状态图为虚拟状态图b b的支座反力的支座反力，CiCi为实际状态的支座位移，为实际状态的支座位移，CCi i为反为反力虚功。当力虚功。当与实际支座位移与实际支座位移CCii 的方向一致时其的方向一致时其乘积取正，相反时取负。乘积取正，相反时取负。此外，上式右边前面还有一此外，上式右边前面还有一个负号，不可漏掉。个负号，不可漏掉。例例例例9.79.7 图图 (a)(a)所示静定刚架，若支架所示静定刚架，若支架A A发生图示的位移发生图示的位移:a=1.0cm,b=1.5cm.:a=1.0cm,b=1.5cm.cHcH、竖向位移、竖向位移CvCv。试求试求CC点的水平位移点的水平位移解：解：解：解：在在C C 点处分别加一水平和竖向的单位力，求出其支座点处分别加一水平和竖向的单位力，求出其支座反力如图反力如图 (b)(c)(b)(c)所示。所示。由公式由公式K=-Ci 得：得：cH=-(11.0-11.5)=0.5cmcv=-1.51=-1.5cm一、功的互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理一、功的互等定理图示结构的两种状态，分别作用图示结构的两种状态，分别作用F FP1P1和和F FP2P2，称之为第一状态和第二状态。称之为第一状态和第二状态。9.6 9.6 互等定理互等定理虚功虚功 W12W12为为虚功虚功 W21W21为为比较，得比较，得WW1212=W=W2121即即 功的互等定理：功的互等定理：第一状态的外力在第二状态的相应位移第一状态的外力在第二状态的相应位移上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应上所作的外力虚功，等于第二状态的外力在第一状态的相应位移上所作的外力虚功。位移上所作的外力虚功。二、位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理二、位移互等定理 条件：在结构的两种状态中都只作用一个荷载，条件：在结构的两种状态中都只作用一个荷载，且为且为单位荷载。单位荷载。单位荷载所引起的位移称为位移系数，用单位荷载所引起的位移称为位移系数，用表示（图表示（图a.ba.b）根据功的互等定理根据功的互等定理即即 位位移移互互等等定定理理：第第二二个个单单位位力力所所引引起起的的第第一一个个单单位位力力作作用用点点沿沿其其方方向向的的位位移移，等等于于第第一一个个单单位位力力所所引引起起的的第第二二个个单单位位力作用点沿其方向的位移。力作用点沿其方向的位移。上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系上述定理中，单位力可以是广义单位力，相应的位移系数亦为广义位移。数亦为广义位移。可能含义不同，但数值相等可能含义不同，但数值相等即三、反力互等定理三、反力互等定理三、反力互等定理三、反力互等定理 反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映反力互等定理也是功的互等定理的一种应用，它反映在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两在超静定结构中如果两个支座分别发生单位位移时，两个状态中相应支座反力的互等关系。个状态中相应支座反力的互等关系。单位位移引起的支座反力称为反力系数，用单位位移引起的支座反力称为反力系数，用r ri j i j表示表示 根据功的互等定理，有根据功的互等定理，有即即 这就是反力互等定理，它表明支座这就是反力互等定理，它表明支座1 1发生单位发生单位位移所引起的支座位移所引起的支座2 2的反力，等于支座的反力，等于支座2 2发生与上发生与上述反力相应的单位位移所引起的支座述反力相应的单位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应注意支座的位移与该支座的反力在作功关系上的对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应关系，即线位移与集中力相对应，角位移与集中力偶相对应。应。可能可能r r1212与与r r2121 一个是反力偶，一个是反力，但二者的一个是反力偶，一个是反力，但二者的数值相等（图数值相等（图 c c、d d）。）。即即本章内容结束