平面直角坐标系知识点梳理.docx

本周我们所学的知识主要是平面直角坐标系，其中有以下主要知识点（需熟记）
图1
一、 点的坐标：⑴在坐标系中已知点标出它的坐标：过点分别作x轴与y轴的垂线，在x轴上的垂足所表示的数即是点的横坐标，在y轴上的垂足所表示的数即是纵坐标，坐标需写成（x,y)，（横坐标在前，纵坐标在后。⑵已知点的坐标在坐标系中描出点。分别在x轴与y轴上找到表示横坐标与纵坐标的点，过这两点分别作x轴y轴的垂线，两线的交点即是所求的点。
练习：如图1，请在坐标系中写出下点A、B的坐标，并描出点C（5，2），D（-4，-3）
二、 不同位置下点的坐标特征：（如图2）
a、象限点：第一象限点（+，+），第二象限点（第三象限点（-，-）第四象限点（+，-）
b、坐标轴上的点：x轴上点（x,0),y轴上点（0，y)
注：坐标轴上的点不属于任何象限
例、若A（a,b)为第二象限点，则M（-a,b+1)在第象限。
图2
分析：方法一：推理法,点A为第二象限的点，所以a为负数，b为正数，所以可推知M(-a,b+1)中，-a为正数，b+1为正数，即M（+，+）所以M在第一象限。方法二：取特殊值法：若A（a,b)为第二象限点则a为负数，b为正数，不妨设a=-1。，b=1,代入横、纵坐标得-a=-(-1)=1,b+1=1+1=2,即此时M坐标为（1，2）在第一象限，故可判定M（-a.b+1)在第一象限。
类似的，点P（-a2-1,|b|+2)一定在第 象限。
例、若A(x,y),x+y<0,xy>0,则点A在第 象限。
分析：xy>0说明x与y同号，（两数相乘，同号得正，异号得负），又x+y<0，所以x与y应同为负，（同号两数相加，取相同的符号）即A（-，-）在第三象限。
类似的，若A（x,y),xy=0,则A在，
分析：xy=0，说明x与y至少有一个是0，分为三种情况：1、x=0，y≠0（y轴上），2、x≠0，y=0(x轴上），3、x,y均为0（原点）。所以答案为：点A在坐标轴上。
三、 点到坐标轴的距离：点到x轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y轴的距离=横坐标的绝对值。即A(x,y),到x轴的距离=|y|,到y轴的距离=|x|
例、若点A到x轴的距离为5，到y轴的距离为4则A的坐标为
分析 ：到x轴的距离为5说明点A的|纵坐标|=5，则纵坐标为5或-5，到y轴的距离为4，说明|横坐标|=4，则横坐标为4或-4。综述，点A的坐标为（4，5）、（4，-5）、（-4，5）、（-4，-5）。
类似的，若点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，且在第二象限，则点M坐标为 （前两个条件的分析方法一样，可和四个分类，再加上点M在第二象限，可知点M坐标符号为（-，+），便可确定答案。）
四、 对称两点的坐标特征：1、关于x轴对称两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。2关于y轴对称两点：横坐标互为相反数，纵坐标相同。3、关于原点对称两点：横、纵坐标均互为相反数。即：若A（a,b) ,B(a,-b), 则A与B关于x轴对称，若A（a,b), B(-a,b),则A与B关于y轴对称。若A（a,b),B(-a,-b),则A与B关于原点对称。
例 点A（3，-4）关于x轴的对称点坐标为 关于y轴的对称点坐标为 ，关于原点的对称点坐标为。
例 点M关于x轴的对称点为N（-3，-5）则M坐标为 。
五、 同一水平线（平行于x轴的直线）、铅直线（平行于y轴的直线）上点的坐标特征：1、同一水平线（平行于x轴的直线）上的点：纵坐标相同，2、同一铅直线（平行于y轴的直线）上的点：横坐标相同。即若A（a,b), B(a,c)则点A、B在同一水平线（平行于x轴的直线）上，若M（a,b),N(c,b),则点M、N在同一铅直线（平行于y轴的直线）上。
例 如图3：矩形ABCD两组对边分别平行于坐标轴，若点A（3.2,1.9),点C(-4,-2)，则点B坐标为 ，点D坐标为
图3
分析：点B坐标的确定：左右看，同一水平线上有点A（3.2,1.9),所以点B纵坐标为1.9（同一水平线上的点：纵坐标相同），上下看，同一铅直线上有点C（-4,-2),所以，点B的横坐标为-4（同一铅直线上的点：横坐标相同），综述，点B坐标为（-4，1.9),另点D亦可同理得到坐标为（3.2,-2)。
类似的，如图若A（-5，3.4),B(-3,0),C(4,0),则点D坐标为
分析：原理与例1相同，不过还要加上平行四边形对边的长度相同一致这一性质。
六、水平线段（在水平线上的线段）与铅直线段（在铅直线上的线段）的长度：水平线段长度=两端点横坐标之差的绝对值，铅直线段长度=两端点纵坐标之差的绝对值，即如图
图5
图4
B（-3,1),C(-4,1),A(2,3),D(2,1)则BC=|(-3)-4|=7,
AD=|3-1|=2
例：如图5，若B（-3,1),C(-4,1),A(2,3),求S∆ABC
分析：作AD⊥BC于D，则S∆ABC =，BC×AD，BC为水平线段，所以BC=|(-3)-4|=7,AD是铅直线段，所以AD=|3-1|=2
故S∆ABC =，BC×AD = ×7×2=7
七、 用坐标表示平移：1、点的平移规则：平移a个单位长度：向左平移→横坐标减a,向右平移→横坐标+a,向上平移→纵坐标+a,向下平移→纵坐标-a,反之亦然。2、图形的整体平移：找到所有关键点（如多边形的顶点，线段的端点等）进行平移
例：如图6，若将点A平移至A1（-4，-2），请画出平移后的图形。
图6
分析：首先要从图形中的对应点的坐标分析出平移过程，然后确定各关键点的坐标及对应点的坐标，再画出平移后的图形。
解：由图可知A（4，3），B（3，1C（1，2）
∴当A移至A1(-4,-2)时(横坐标-8，纵坐标-5），B1(-5，-4）C1（-7,-3)则△A1B1C1如图所示（图形略）
以上为本章节中主要知识点，需理解记忆，灵活运用。本章节中另外有些常见题型的解法也应熟记，如下：

望春亭
湖心亭
牡丹园
中心广场
狮虎园
游乐园
100m
北
题型1：如图7，若湖心亭（-2，3）狮虎园（5，1）则其它地点的坐标分别是多少？
图8
图7
分析：首先应分析出坐标系的位置，两地的|横坐标之差|=7，又两地在图中的水平距离=7个单位长度，所以，可知本图中横轴上每个单位长度表示1，同理可知纵轴上每个单位长度表示1（这个分析很重要，并不是每个单位长度就一定表示1），以湖心亭为参照，画出示意图（如图8），由示意图可知，湖心亭向右2个单位长度为y轴，向下3个单位长度为x 轴。由此在图7中建立平面直角坐标系，从而标出其它地点的坐标。
题型2：如图9，若（3，1350）表示点A的位置，则点B的位置应用用序数对来表示。
图9
分析：用有序数对来表示某个位置，需首先分析出有序数对中约定好的每个数的实际意义，不难发现，A（3，1350）表示的意义是，点A在由内到外的第三个圆周上，在1350方向线上，因此，本题的约定就是：有序数对的第1个数表示点所在的圆（由内到外的数），第2个数表示点所在的方向线，因此，点B的位置应用有序数对（5，450）来表示。
题型3求网格中多边形的面积
例：如图10，若B（-3,1),C(-4,1),A(2,3),求S∆ABC
图10
过程见知识点六
图11
类似的，如图11根据图形条件求S四边形ABCD
分析：经过如图切割，S四边形ABCD=S△ABO+S△BMC+S△CND+S矩形MONC
分别用图10例的方法去求即可。
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