细菌增长模型数学建模一等奖毕业论文.doc

2012年交通学院第二届数学建模竞赛承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 武汉理工大学 参赛队员 (打印并签名) : 1. 江 泽 武 2. 徐 佳 恒 3. 陈 影 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 11月 29 日评阅编号：2012年交通学院第二届数学建模竞赛编 号 专 用 页评阅编号：评阅记录：评阅人评分备注细菌增长模型摘要 针对题目所提要求，我们建立了两个细菌增长模型，分别用于对细菌的增长情况做短期和中长期的模拟及预测。为了对细菌增长发展做短期的预测，根据题目所表述的意思，在短期内，细菌处于自然理想的条件下，每20min左右会通过分裂生长繁殖一代，暂且短期内不考虑细菌的死亡，我们建立离散Malthus细菌增长模型，主要的参数变量即为其单位时间内的增长量，在理想条件下，由于增长率为一确定的常数，以此来建立简单的细菌增长模型，来模拟此状态下种群的数量形式，其变化形式将呈现指数增长，由于其简单可行，在初始阶段预测种群的数量变化有着合理的数学理论基础。为了对细菌的生长做中长期的模拟，由Malthus细菌增长模型，模拟酵母菌的生长，发现短期内有一定的重合度，但一定时间后，发现存在较大误差，因此我们根据实际情况，建立新的模型，得出数量和时间的函数关系。考虑到生物学上细菌在培养基的生长时，在营养的有限情况下，封闭培养基里生物数量的增长最终都趋近于零，查阅资料可知，经过一段时间后，种群数量趋于一个稳定的值，为排除生长营养不足对细菌数量的干扰，我们假设细菌生长在稳定的培养基里，外界环境不受破坏，则在一定的空间内，细菌数量随时间的函数图象呈“S”型曲线增长，我们通过假设满足增长率的倒数成线性增长关系，建立线性回归方程，选取前面17组数据，用最小二乘法拟合出其参数，然后根据误差分析该假设的合理性，最终得出离散的Beverton-Holt模型，最后解出细菌数量关于时间的函数解析式，并计算出第17h、18h的细菌数量，与题目给出数据进行比较，进而判定该模型的合理性。关键词：Malthus模型 指数增长 Beverton-Holt模型 差分方程 一次线性回归 最小二乘法。目 录一、问题重述2二、问题分析3三、模型假设3四、定义与符号说明4五、模型建立与求解45.1模型（问题一）：离散型Malthus模型45.1.1 模型的建立45.1.2 模型的求解45.2 模型 (问题二)：Beverton-Holt模型45.2.1. 模型的建立55.2.2 模型的求解65.2.3 模型的验证10六、模型优缺点分析及改进方向116.1模型的优点116.2模型的缺点116.3模型的改进方向11七、参考文献12一、问题重述在自然界中，细菌无处不在，而细菌的存在直接关系到人类的命运。随着科学技术水平的不断提高，人们对细菌的研究越来越深入，细菌的研究工作对人类的生活的重要性也逐渐显现出来。细菌在有关疾病预防与治疗、基因的研究等方面的作用尤为突出。同时，自然界中，有些细菌的大量繁殖也会导致疾病。因此，对细菌的繁殖情况以及其增长规律进行研究与分析是一个不可或缺的过程。关于细菌繁殖问题如今已有了多方面的研究，细菌一般是以二分裂方式进行繁殖的，在理想条件下细菌数目按照指数形式增长。根据题意，本文需要解决的问题有：1.理想条件下：分析某种细菌增长规律，求出细菌在理想条件下种群数量的形式的数学模型。2.考虑实际情况：由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量与时间关系图像呈“s”型曲线，下表是某个培养基中酵母菌数目随时间的变化关系：表1 酵母菌数量变化表培养时间（h）0123456789101112131415161718酵母菌数（个）1018294771119175257351441513560595629641651656660662根据以上数据，找出合理的数量与时间之间的函数关系。二、问题分析随着科学技术和生物工程的快速发展，细菌在人类生活中的应用也越来越广泛，本文针对细菌繁殖规律，主要解决两个问题，即建立理想状况和实际情况中细菌数量的增长模型。对于问题一，在理想状况下，由于细菌以二分裂方式进行增殖，且环境适宜，不考虑细菌的死亡，则一个细菌经过一定时间分裂成两个，两个又分裂成四个依次类推下去。可以发现细菌数量呈指数形式增长，然后依此建立模型，求出结果。对于问题二，在实际情况中，由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。此时需要建立新的模型，经过分析已知条件和问题，查阅资料，可结合离散的Beverton-Holt模型，建立新的模型，然后用前17组数据以最小二乘法求出参数，进而得出，最后按此模型求出17h、18h酵母菌的数量，与已知进行对比，对此模型可行性进行评估。三、模型假设1. 有一种细菌，细菌在理想条件（即生长温度、湿度、酸碱度等适宜，营养充足等）下生长繁殖；2. 细菌数量初始值为1，在（1）条件下每20min左右通过二分裂繁殖一代;3. 不考虑细菌种间斗争，并且该细菌在短时间（研究时间）内不会死亡。四、定义与符号说明符号符号解释时间细菌繁殖一次所需时间，即为细菌繁殖i代数量经过t时间酵母菌的数量细菌增长率注：其他未注明的符号具体在文章中说明五、模型建立与求解5.1模型（问题一）：离散型Malthus模型5.1.1 模型的建立 根据假设可知，增长率，繁殖代后细菌的数量为，繁殖代后细菌的数量为，则有 （1）5.1.2 模型的求解代入以上数据根据等差数列公式即可解得： （2）当时，代入（2）即可得， 细菌的数量：繁殖代后细菌数量为个。5.2 模型 (问题二)：Beverton-Holt模型由于环境阻力的限制，当细菌增长到一定数量时，其繁殖会受到一定影响。查阅资料可知，经过一定时间，在各种因素作用下，种群数量增长会趋于稳定，其数量时间关系图象呈“s”型曲线。5.2.1. 模型的建立令，由前两问可得，种群数量与时间成等比数列的形式增长，离散Malthus差分方程如下 （3）以此我们得到第一模型的指数函数图象与题目中数据描点：图1 指数增长模拟图由图象分析可知，在一定空间内，由于环境阻力，细菌数量的增长会趋于稳定，而不是呈现“J”型指数增长，因此，以上模型存在很大的误差，即单纯地用Malthus模型对本题进行分析存在一定的局限性。对此，进行如下分析与修正：早期细菌增长规律：R=1，种群数量保持稳定；0R1,因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应，说明在模型（3）中引入密度制约的效应，即在净增长率R中考虑种间竞争的影响，下面几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格推到过程。由题目数据分析、查阅资料，可知酵母菌每小时内繁殖一次，建立起时间与种群数量的关系式：图2 比率与的函数关系在图2中给出了比率与的函数关系。图5-2-1中的点A所表示生物意义可以这样理解：当种群数量非常小的时候，种群之间的相互竞争非常小甚至没有，此时净增长率不需要任何的修改。因此，模型，当种群数量非常小的时，关系仍然成立。重新改写成该方程得到 (4)然而，随着种群数量的增加，种群之间的竞争越来越强，这使得精确的净增长率被这种竞争而修正，并且一定存在一点使得竞争强到种群的数量不再增长，此时即有充分接近1。设此时的种群数量达到种群的环境容纳量，即为图2中的点。由图2知，当种群数量从点到点时，比值也有一定的增加。为了简单起见，我们直接假设比值与具有如图2中的直线关系，该直线的方程式为 （5）5.2.2 模型的求解本题以酵母菌为例，由题目中酵母菌数量变化表，对数据进行分析，先取前17组数据，分别求出与，处理后可得到如下表格：表2 酵母菌增长情况以小时计的时间t观察到的酵母菌生物量生物量的变化0123456789101112131415161710182947711191752573514415135605956296416516566600.5560.6210.6170.6620.5970.6800.6810.7320.7960.8600.9160.9410.9460.9810.9850.9920.994 根据最小二乘法的拟合原理，取a、b为使得函数值最小时的值。其中令是时的数值。用matlab 进行线性拟合，编写程序如下：x=10 18 29 47 71 119 175 257 351 441 513 560 595 629 641 651 656;y=0.556 0.621 0.617 0.662 0.597 0.680 0.681 0.732 0.796 0.860 0.916 0.941 0.946 0.981 0.985 0.992 0.994;P=polyfit(x,y,1);xi=0:1:680;yi=polyval(P,xi);plot(xi,yi,x,y,r*)；图3 拟合直线图得出图象如图3所示，其结果为： y = p1*x + p2 Coefficients: p1 = 0.0006189 p2 = 0.58766Norm of residuals = 4.2145e-015由此可得的关于的解析式为： （6)根据以上解析式（6），我们可以看出，随着种群数量越来越大，越来越大，则种群的增长率r及R越来越小，符合基本的生物学规律，而拟合的方差很小，具有很强的规律性。对此，我们进行下一步推出关于与时间的关系表达式简化上式（6）可得 (7)我们对其做一个简单的代数化： (8) (9)用待定系数法设 解得构成等比数列，令，换元可得 (10)带入初始条件 可得 （11) 通过代数运算，可以得到： (12)带入数据 ， ， 可以得化简可得 (13) 由方程（13）我们看出，随着繁殖代数的增长,即时间的变长，最终指数项将趋近于0，故种群的数量最终呈现稳定的值，与题目假设、生物学知识刚好吻合。5.2.3 模型的验证根据以上模型，我们得到细菌增长的数量与时间的关系表达式，画出相应的曲线图，带入题目数据，得出下图：图4 曲线拟合图当时,可得,相对误差当时,可得,相对误差其中当t 趋近于无穷大时，环境容量为K值，由上述数据分析可知，依据方程求解得出来的、与题目所给的数据相近，相对误差均低于，有很高的可信度。因此，可认为模型建立合理，有一定的说服力。结论：由于环境阻力的限制，细菌将不会一直保持增长下去，在一个培养基中，细菌的数量呈现出“S”型增长，最终稳定在环境容纳值K值。通过上表分析，我们建立了合理的模型假设，得出细菌种群数量变化和时间的关系式为： 六、模型优缺点分析及改进方向随着人们对细菌的认识逐渐深入，细菌的研究现已成为一个非常重要的课题。细菌的增长规律研究是随着人们对细菌的研究提出来的，发展至今，前人已经有了很多成熟的模型，侧重于各个方向，所适用范围也有所不同。我们在前人已建立的模型的基础上，结合自己的分析理解，建立了符合该题细菌增长趋势的模型。在此，我们对自己建立的模型进行以下分析及说明：6.1模型的优点 1.该模型是先结合连续的Malthus模型建立离散型Malthus模型，在此基上，经过分析完善最终得到的结果符合离散的Beverton-Holt模型。2.该模型结合实际情况，分析了包括前期种群数量非常小的时候及随着种群数量的增加，种群之间的竞争起来越强等的情况。3.该模型为建立一次线性方程，采用最小二乘法进行拟合求解，最终使得该模型简单合理，是一个较为实用的细菌种群数量预测模型。6.2模型的缺点1.该模型将影响细菌繁殖的因素综合表达出来了，却无法根据其看出各因素对细菌数量和增长率影响的详细情况，因而无法对细菌的培养等提出合理的建议。2.该模型未考虑培养基有限的情况，即长时间后，培养基营养用完，细菌开始死亡的情况。3.细菌繁殖时，可能由于各种因素的影响，导致细菌数量出现“波浪”型，这样，由离散型模型得出的结果可能削弱了细菌数量发展的阶段性规律。6.3模型的改进方向1. 可以把培养基对酵母菌的限制影响作用和酵母菌的死亡等归为两种不同的影响因素，分别建立模型，进而得出这两种因素对酵母菌数量的影响程度，再次建立新模型并求出的表达式。2. 可以把增长率的变化关系多设几种不同的形式，通过比较最终得出更合理的增长率模型，最后得到与实际情况最为符合的的表达式。七、参考文献1 姜启源等，数学建模（第四版），北京：高等教育出版社，2011.2 卓金武等，MATLAB在数学建模中的应用，北京：北京航空航天大学出版社， 2011.3 司夺奎，数学建模算法与应用，北京，国防工业出版社，2011.4 张德丰，MATLAB实用数值分析，北京，清华大学出版社，2012.5 单锋等，数学模型，北京，国防工业出版社，2012.附录（部分程序如下）：x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;y=10 18 29 47 71 119 175 257 351 441 513 560 595 629 641 651 656 660 662;plot(x,y,r*);hold on;for i=1:19 N(i)=10*2(i-1); endplot(x,N) x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18;y=10 18 29 47 71 119 175 257 351 441 513 560 595 629 641 651 656 660 662;plot(x,y,r*);hold on;for i=1:19 N(i)=666.246487/(1+65.6246461*(0.605)i);endplot(x,N)1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. Pico专用单片机核的可测性设计研究 43. 基于MCS-51单片机的热量计 44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站 45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用 91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用 93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发 94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计 96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发 97. 锅炉的单片机控制系统 98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计 99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制 100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现 101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计 102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制 104. 基于ADC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计 106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究 107. 单片机实现的寻呼机编码器 108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究 109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究 111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制 112. PIC单片机在空调中的应用 113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究 项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！单片机论文，毕业设计，毕业论文，单片机设计，硕士论文，研究生论文，单片机研究论文，单片机设计论文，优秀毕业论文，毕业论文设计，毕业过关论文，毕业设计，毕业设计说明，毕业论文，单片机论文，基于单片机论文，毕业论文终稿，毕业论文初稿，本文档支持完整下载，支持任意编辑！本文档全网独一无二，放心使用，下载这篇文档，定会成功！14