专题12-二次函数与圆的综合-中考数学函数考点全突破.docx

一、考点分析：二次函数与圆的综合题中涉及到的知识面还是很广的，包括待定系数法，勾股定理，相似三角形以及圆的基本的性质特征等等，所以对于学生的知识掌握程度要求很高。这类题目基础问题考察解析式点坐标等问题，压轴问题考察动点相切以及长度面积的变化问题，或者相似三角形构成问题，这类难度比较大。
二、解决此类题目的基本步骤与思路
1.复习好二次函数与圆的基础题型，把基础内容掌握扎实
2.整理二次函数与圆问题的常见题型
3. 正确应用二次函数的性质与圆的知识解决问题
4. 合理的充分运用三角形的知识与定理
5.归纳总结自己的薄弱知识环节并巩固
三、二次函数中圆的综合问题
（一）例题演示
1．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c＋1.
(1)当b＝1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
(2)若c＝－b2－2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；
(3)如图，若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＜x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴，直线BM，直线AM分别相交于点D，E，F，且满足＝，求二次函数的表达式．

【解析】： 本题考察了二次函数的性质、二次函数的图像与x轴的交点、顶点坐标圆周角定理，相似三角形的判定与性质、根与系数的关系等知识，综合性很强。
【解答】 (1)二次函数的对称轴为x＝－，
∵a＝－1，b＝1，∴x＝；
(2)与x轴相切就是与x轴只有一个交点，即－x2＋bx－b2－2b＋1＝0有相等的实数根，∴Δ＝b2－4×(－1)×＝0
∴－8b＋4＝0，解得b＝，即b＝时，函数图象与x轴相切；

设A(m，0)(m＜0)，则B(－，0)，b＝，对称轴为x＝＝，
∵yAM经过点A(m，0)，M(0，1)，∴yAM＝－x＋1，
∵yBM经过点B(－，0)，M(0，1)，∴yBM＝mx＋1，
∵xE＝，∴yE＝，DE＝，
∵xF＝，∴yF＝，
∵＝，∴ ＝，
∴＝，∴m2＝(m＜0)，解得m＝－，
∴b＝＝，
∴y＝－x2＋x＋1.
【试题精炼】
2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标分别为(－1，0)，(0，－2)，点D在x轴上且AD为⊙M的直径，E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH＝1.5.
(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；
(2)若P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】(1)如答图，连结MB，设⊙M的半径为r.
∵A(－1，0)，B(0，－2)，
∴在Rt△OMB中，OB＝2，OM＝r－1，
由勾股定理，得22＋(r－1)2＝r2.

∴r＝.∴AD＝5.
∴点D的坐标是(4，0)．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)，
解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－x－2；

.【中考链接】
3．如图对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．

(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出B，C两点的坐标；
(3)求过O，B，C三点的圆的面积(结果用含π的代数式表示)．
【解析】：(1)根据对称轴和A点坐标可以求出抛物线的表达式。(2)根据抛物线解析式容易求出BC两点的坐标(3)抓住△OBC是直角三角形，所以半径就等于斜边的一半，从而快速的求出圆面积

(3)如答图，

连结BC，则△OBC是直角三角形，
∴过O，B，C三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt△OBC中，OB＝OC＝5，
∴BC＝5，
∴圆的半径为，∴S＝π＝π.

4.已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a＜0)与x轴交于A(3，0)，B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；
(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△PAC＝S△ACD，求点P的坐标；
(4)在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．

【解答】(1)把A(3，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得
0＝9a＋3b＋3.①
∵抛物线的对称轴为x＝1.
∴－＝1.②
解①②组成的方程组，得a＝－1，b＝2.∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴D的坐标是(1，4)．
(2)证明：在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝0时，y＝3.∴C(0，3)，OC＝3.
∵A(3，0)，∴OA＝3
在△OAC中，由勾股定理得AC2＝18.
如答图①，

过点E作EH⊥CD，垂足为点H.则EH＝CH＝＝＝.
∵CD2＝2，AC2＝18，
∴CD＝，AC＝3.
∴DH＝－＝.
在△DEH中，tan∠EDH＝＝＝.
在△ACD中，tan∠DAC＝＝＝.
∴∠EDH＝∠DAC.
∵∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠ADC＝90°.
∴∠EDH＋∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°.

∴AD⊥DE.∴DE是△ACD外接圆的切线．
(3)∵CD＝，AC＝3.
∴S△ACD＝AC·CD＝3.
设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n.
把A(3，0)，C(0，3)代入，得 解得m＝－1，n＝3.
∴直线AC的函数表达式为y＝－x＋3.
设P(t，－t2＋2t＋3)，如答图②，

(4)，(9，0)，(0，0)．
提示：∵△ACD是直角三角形，△ACD与△BCM相似，
∴△BCM是直角三角形．
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，A(3，0)，∴B(－1，0)，OB＝1.
连结BC.∵＝，＝，
又∵∠ACD＝∠BOC，∴△ACD∽△COB.∴△BCM与△COB相似．

当点B为直角顶点时，如答图③，

当点C为直角顶点时，如答图④，

过点C作CM2⊥BC交x轴于点M2.
同理可求OM2＝9.∴M2(9，0)．
当点M为直角顶点时，如答图⑤，

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