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1、镇江市2017届高三年级第一次模拟考试 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合，，则集合的元素的个数为 ． 2、已知复数满足，其中为虚数单位，则 ． 3、若圆锥底面半径为，高为，则其侧面积为 ． 4、袋中有形状、大小都相同的只球，其中只白球，只黄球，从中一次随机摸出只 球，则这只球颜色不同的概率为 ． 5、将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于 轴对称，则 ． 6、数列为等比数列，且成等差数列，则公差
2、 ． 7、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式 的解集为 ． 8、双曲线的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离 心率为 ． 9、圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为 ． 10、已知椭圆的左、右焦点分别为，是以椭圆短轴为直 径的圆上任意一点，则 ． 11、定义在区间上的函数的最大值为 ． 12、不等式（且）对任意恒成立，则实数 的取值范围为 ． 13、已知函数与函数的图象共有（）个
3、公共点：， ，… ，，则 ． 14、已知不等式对任意，恒成立，则实 数的取值范围为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明 或演算步骤） 15、已知向量，其中，且． （1）求的值； （2）若，且，求角的值． 16、在长方体中，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 17、如图，某公园有三条观光大道围成直角三角形，其中直角边， 斜边．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在大道上嬉戏，所在位 置分别记为点． （1）若甲乙都以每分
4、钟的速度从点出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端 时即停，乙比甲迟分钟出发，当乙出发分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的倍，且，请将甲 乙之间的距离表示为的函数，并求甲乙之间的最小距离． 18、已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，线段的中点为，为坐标原点，且， 求面积的最大值． 19、已知，数列的各项均为正数，前项和为，且，设 ． （1）若数列是公比为的等比数列，求； （2）若对任意，恒成立，求数列的通项
5、公式； （3）若，数列也为等比数列，求数列的通项公式． 20、已知函数，（为常数）． （1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值； （2）若，且，证明：； （3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 高三数学答案及评分标准 一、填空题 题号 答案 考查内容 技能能力 要求 1 5 集合表示与运算 运算 A 2 复数的运算 运算 A 3 圆锥、扇形的面积 运算 A 4 古典概率 运算 A 5 三角函数图象与性质 数形结合、运算
6、 B 6 3 等差、等比数列 运算 B 7 函数性质，解不等式 数形结合、运算 B 8 双曲线的几何性质 运算 B 9 圆 运算变形、转化 B 10 平面向量的数量积 运算 B 11 导数 运算 C 12 恒成立问题，基本不等式，换元 运算 C 13 2 函数的性质 运算变形、转化 C 14 恒成立问题，导数的应用 运算变形，分析思维 D 二、解答题 15. 解：法一（1）由mn得，， ， ……2分 代入， 且，， 则， ，
7、 ……4分 则. ……6分 （2）由，得，. 因，则. ……9分 则 ……12分 因，则. ……14分 法二（1）由m n得，，， ……2分 故. ……4分 （2）由（1）知，，
8、 且， ，， 则，， ……6分 由，得，. 因，则. ……9分 则 ……12分 因，则. ……14分 16.证明：（1）连结交于点，连结. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD长方形，点为的中点， ……2分 ∥且，由，则， 即点为的中点，于
9、是在中，∥. ……4分 又因为平面BDE， 平面BDE．所以∥平面BDE． ……6分 （2）连结B1E．设AB＝a，则在△BB1E中， BE＝B1E＝，BB1＝2a．所以 ，所以B1E^BE． ……8分 由ABCD－A1B1C1D1为长方体，则A1B1^平面BB1C1C，平面BB1C1C， 所以A1B1^BE． ……10分 因B1EA1B1= B1，B1EÌ平面A1B1E，A1B1Ì平面A1B1E，
10、则BE^平面A1B1E．……12分 又因为A1EÌ平面A1B1E, 所以A1E^BE． 同理A1E^DE．又因为BE Ì平面BDE，DE Ì平面BDE， 所以A1E^平面BDE． ……14分 17.解：（1）依题意得，， 在△中，， ∴ ， ……2分 在△中，由余弦定理得： ， ∴ . ……
11、6分 答：甲乙两人之间的距离为m. ……7分 （2）由题意得，， 在直角三角形中，， ……9分 在△中，由正弦定理得，即， ∴ ，， ……12分 所以当时，有最小值. ……13分 答：甲乙之间的最小距离为. ……14分 18.解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分 椭圆的方程是.
12、 ……4分 （2）设l与x轴的交点为，直线，与椭圆交点为，， 联立，，得， ， ∴ ，， ∴ ，即， ……6分 由，得， ……10分 则S△POQ， 令， ……12分 设，则， ……14分 当且仅当，即，S△POQ， ……15分 所以△面积的最大值为1.
13、 ……16分 19.解：（1）， ……1分 .……3分 （2）当时，由，， 则， ，， 故，或.（*） ……6分 下面证明对任意的N*恒不成立. 事实上，因，则不恒成立； 若存在N*，使，设是满足上式最小的正整数，即，显然，且，则，则由（*）式知，，则，矛盾. 故对任意的N*恒不成立， 所以对任意的N*恒成立.
14、 ……8分 因此是以1为首项，1为公差的等差数列，所以. ……10分 （3）因数列为等比数列，设公比为，则当 时，. 即，是分别是以1，2为首项，公比为的等比数列； ……12分 故，. 令，有，则. ……14分 当时，，，，此时 . 综上所述，. ……16分 329255057 20.解：（1），则且. ……1分 所以函数在处的切线方程
15、为：， ……2分 从而，即. ……4分 （2）由题意知：设函数，则. ……5分 设，从而对任意恒成立， ……6分 所以，即， 因此函数在上单调递减， ……7分 即， 所以当时，成立. ……8分 （3） 设函数， 从而对任意，不等式恒成立. 又， 当，即恒成立时， 函数单调递减.
16、 ……10分 设，则， 所以，即，符合题意； ……12分 当时，恒成立，此时函数单调递增. 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意； ……13分 当时，设， 则 ……14分 当时，，此时单调递增， 所以， 故当时，函数单调递增. 于是当时，成立，不符合题意； ……15分 综上所述，实数的取值范围为：. ……16分 21A．证明:
17、连接,,, 由题意知， ……2分 因为是圆周角，是同弧上的圆心角， 所以 ， ……4分 同理可得，， ……6分 所以是的平分线， ……8分 又是的平分线， 所以与 重合， 所以直线经过点.
18、 ……10分 21B．解: 设直线上任意一点在变换的作用下变成点， 由，得 ……2分 因为在直线上， 所以，即， ……4分 又因为在直线上，所以． ……6分 因此 ……8分 解得：. ……10分 21C．解：圆的直角坐标方程为， ……2分 即，圆心为；
19、 ……4分 直线的直角坐标方程为， ……6分 即 ……8分 故圆心到直线的距离为 ……10分 21D．证明：因为，由均值不等式知； ……4分； ……8分 两式相乘可得 ……10分 22. （1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，，由为棱中点，得， 故，
20、 ……1分 设为平面的法向量，则，， 即，不妨令， 可得为平面的法向量， ……3分 于是,. ……4分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……5分 （2）， 由点在棱，设1， 故，由，得， 因此，解得， ……7分 即， 设为平面的法向量，则，，即，不妨令， 可得为平面的方向向量，
21、 ……8分 取平面法向量， 则， ……9分 即. 故二面角的正弦值为. ……10分 23. 证明：（1）当时，，解得， 又，故 是方程的解； ……2分 （2）假设是的解，即， 则时， 综合（1），（2）可知是的解； ……4分 另一方面，当时，在上单调递减； ……6分 假设时，在上单调递减， 则时，= 在上单调递减， 故时，在上单调递减， ……8分 所以，在上单调递减，则在上至多一解； 综上：是的唯一解. ……10分 15
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