本科毕业论文-—kdv方程的近似行波解.doc

KdV方程的近似行波解
数学与应用数学专业 学生：王芳 指导教师：高正晖
摘 要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV方程的多组近似行波解.
关键词：KdV方程;傅里叶级数法;吴消元法;近似行波解
1 引言
随着应用科学的发展,使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象的KdV方程
.
在经过长时间沉寂后,随着孤波理论的发展,方程本身和解的意义被人们重新认识,吸引了科学家的研究兴趣.人们发现各种不同形式的KdV方程可以描述很多领域中的不同现象.如:弱非线性,弱色散的平面波系统运动,等离子体中的磁流体波.而方程的近似解能使物理现象得到进一步的解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的近似解一直是大家关注的问题.由于非线性方程问题的复杂性和特殊性,非线性方程没有统一的求解办法,因而出现求解非线性方程的各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund变换法等.所有这些方法都有一定的局限性.本文采用傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程 KdV 的多组近似行波解.
2 KdV方程的求解
方程可表示为：
. （1）
现在用傅里叶级数法来求解上述方程，为了求解（1）式.令：
（2）
将（2）式代入方程（1）
可得常微分方程：
. （3）
对（3）式积分一次，
取积分常数，得：
. （4）
由傅里叶级数法,设方程（4）有如下形式的行波解
. （5）
2.1当时：
. （6）
其中为待定系数.
将（6）式代入（4）式
即：

（7）
令(7)式中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下方程组：

解得：
①
②
其中为任意常数.
于是方程（4）有如下形式的解：
①
②
2.2当时：
（8）
其中为待定系数.
将（8）式代入（4）式
即：

（9）
令（9）中的常数项及各次项的系数为零，得到如下方程组： （10）
利用吴消元法解上述关于的方程组得：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
其中为任意常数.
于是方程（4）有如下形式的解：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
3 结束语
本文以KdV方程为例,介绍了用傅里叶级数法和吴消元法求解近似行波解的方法,从而揭示了求解非线性发展方程精确行波解理论与技巧.
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Approximate Traveling Wave Solutions of KdV Equation
Mathematics and Applied Mathematics Author：Wang Fang Tutor: Gao Zhenghui
Abstract: In this paper, KdV equation groups of traveling wave solutions are obtained by using Fourier series method and Wu elimination method.
Key words: KdV equation; Fourier series method ; Wu elimination method ; Approximate traveling wave solutions