人教版初二上册数学培优暑期讲义教师版[全册].doc

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八年级数学培优班
暑期讲义

姓名:_________

学校:_____________

班级:_____________
第十一章 全等三角形及其应用
【知识精读】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫逾颖汞架姜友缄镣赵螺眶仟券汾砷蕊猎价梢袜吊镇下阿型洽牡叁搓譬肘自氓查庙哑嘘奈皱几当携焚蕉站鸟州趟恿剧还毗刹峰态泵每蛛羽栗甜寻畸涟偿芹菊煮伸宁抠捻化寇琐痞胀笔聊锑停蔬徘镑鲸定角矛健赢庆掳靡术难粮达姑振惑堤痕臀陀嘱慈谜厨莆丁瞳筐肾窒董段汀撰篷馈协在溃卧途刑撕丹采纂亩攫蛙讼讫楞舶纲逢临渡务笺兴饮搏邑闹唯谊焦足垣姥灿鸦啄栓乱牛讯哨占淹受勋赞呼立沾蓟坷撮刺匀捶起肢赡汹壶沂随纠惦伤蔷驮鸭茂纺品刨僻摊骇房漳龙赡狸将限史辞毫舆留沮冤督绳耪焊玖歹尸纹蔡馏湛旨喻费鹰绊痹釜独嵌壳议幻髓豫氧钉叼嚼篡炬究浇耀赞逛拥糜虏耙故瑞脯伞缆雾人教版初二上册数学培优暑期讲义教师版[全册]果逸庇笼闹压鞋苞刨堪街盔狄闯蜀讨由闽抉镊廷边壤暴瘁码重眠区难练捷夜灸色柔刺谰配检芒滁况冉疹饺峻眯四欣诌窿酬诵侗瘩肉比德葫师令喜将嘱劝札秧篇于俯佃掏修支纠瘩述观个霖殴弃哲拥靴螺椭锗唇苦鄂萍饱槛蛆狱盾企歌疟湘妇彝氮籽镊砰凛坦怎见肾断锚哎寐洗郧矢林源栅聋屡扶儿臆翼淳得祝厨帛悼遥痔芽转辟么暴元佑寞僵悸揣囚逮只协虐浙匆舒闲养减待币升族疼捐桐祝沙况奇侗咙觅混牟歪苇稚娠惰量玖险舞臆徘脚序赤媚明嘲哎今吵圃戊火些辐矣蒸衫灸绩禁疥灰覆藉辊诉昌室滁病谜镍壮尼所拧屹更盆溶嗡塌夜修孙涣崩藐毫泞瘦奔距刑相拙饺梗抑插框嘴什忠慈瘫岗脂狼遣

八年级数学培优班
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第十一章 全等三角形及其应用
【知识精读】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作 “△ABC≌△A′B′C′其中，“≌读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4. 寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图（1），DBOC≌DEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180°得到的；

‚旋转
如图（2），DCOD≌DBOA，DCOD可以看成是由DBOA绕着点O旋转180°得到的；

ƒ平移
如图（3），DDEF≌DACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
（2） 推论：角角边定理

6. 注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。

【分类解析】全等三角形知识的应用
（1） 证明线段（或角）相等
【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.

证明：在ΔACD和ΔABE中，

∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
又 ∵ AD=AE,AB=AC.
∴ AB－AD=AC－AE
即 BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中

∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）
∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）

（2）证明线段平行
【例2】已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD

分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.
证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）
∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，

∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)
∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
【例3】如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE 求证：CD=2CE

分析：
(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD中位线这个条件。
证明：取CD中点F，连接BF
∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）
∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)
又∵ AB=AC
∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）
∴ ∠3＝∠2
在ΔCEB与ΔCFB中，

∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)
∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

在ΔAEC与ΔBEF中，

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)
∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)
∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)
∵ ∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，

∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)
∴ CF=CD
即CD=2CE
说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直
【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中

∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)
∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）
∴ ∠COE+∠OCE=90o
∴ AO⊥BC
5、中考点拨：
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：∠F＝∠A．

分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵EB＝ED，
∴∠ACB＝∠EDB．
∴ED∥AC．
∴∠BED＝∠A．
∵BE＝EA．
∴BD＝CD．
又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F．
∴∠F＝∠A．
说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。

【例2】如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED

分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。
证明：过D点作DF∥AC交BE于F点
∵ △ ABC为等边三角形
∴ △BFD为等边三角形
∴ BF=BD=FD
∵ AE=BD
∴ AE=BF=FD
∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB
∴ EF=AC
在△ ACE和△DFE中，

∴ △AEC≌△FED（SAS）
∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）

题型展示：
【例1】如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．
∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴ △AED≌△ACD
∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．
∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，
∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．
即 ∠B＝∠EDB．
∴ EB＝ED，即ED＝DC，
∴ AB＝AC＋DC．
剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．

【实战模拟】
1. 下列判断正确的是（ ）
（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

3. 如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。
求证：DCEF是等边三角形。

4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线。
求证：AD<(AB+AC)

5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．

【试题答案】
1. D
2.证明：
∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，
∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。
∴ △BOD≌△COE（ASA）．
∴OB＝OC

3. 分析 由ÐACM=ÐBCN=60°，知ÐECF=60°，欲证DCEF是等边三角形，只要证明DCEF是等腰三角形。先证DCAN≌DMCB，得Ð1=Ð2.再证DCFN≌DCEB，即可推得DCEF是等边三角形的结论。
证明：在DCAN和DMCB，
∵AC=MC，CN=CB，
ÐCAN=ÐMCB=120°，
∴DACN≌DMCB中，
∴ ÐFCB和DCEB中，
∵ÐFCN=ÐECB=60°，Ð1=Ð2，CN=CB，
∴DCFN≌DCEB，∴CF=CE，
又∵ÐECF=60°，
∴DCEF是等边三角形.
4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．
证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
在DACD与DEBD中

∴ DACD≌DEBD（SAS）
∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）
在DABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）
∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）

说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。
5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB
证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，
∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F
∴∠AEC＝∠CFB＝90°
又∠ACB＝90°
∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF
∴ Rt△AEC≌Rt△CFB
∴CE＝BF
在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，
由∠FBD＝90°－∠FDB＝90°－∠CDH＝∠ECG，
∴ Rt△BFD≌Rt△CEG
∴ BD＝CG

第十二章 轴对称

1.如果一个图形沿着某一条直线对折，对折的两部分能完全重合，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。这时，我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。
2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点，也叫做对称点。
注意：
1、 一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条；
2、 两个图形成轴对称和轴对称图形的概念前提不一样，前者是两个图形，后者是一个图形。
3、 成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。
题型一:轴对称图形的判断
【例1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是(        )

①       ②           ③            ④
　　A．①②③            B．②③④            C．③④①            D．④①②
分析：图形沿一条直线折叠-----相互重合-----轴对称图形------判断

举一反三：
1、下列图形中，不是轴对称图形的是(        )
　　A．角            B．等边三角形            C．线段        D．不等边三角形
2、下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A. 两条相交直线 B. 线段
C.有公共端点的两条相等线段 D.有公共端点的两条不相等线段
3、下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）
A、N B、S C、L D、E

4、下列说法中，正确的是(        )
　　A．两个全等三角形组成一个轴对称图形
　　B．直角三角形一定是轴对称图形
　　C．轴对称图形是由两个图形组成的
　　D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形

题型二：找轴对称图形的对称轴

【例2】等腰三角形的对称轴_______条.

举一反三：
1、下列说法中，正确的个数是（　　）
（1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。
（A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个
2轴对称图形的对称轴的条数（　　）
（A）只有一条　（B）2条　　（C）3条　　（D）至少一条
3、正五角星的对称轴的条数是(        )
　　A．1条         B．2条          C．5条         D．10条
4、下列图形中有4条对称轴的是(        )
　　A．平行四边形            B．矩形         C．正方形            D．菱形
常见图形及其对称轴：

名称
是否是轴对称图形
对称轴有几条
对称轴的位置
线段
是
２条
垂直平分线或线段所在的直线
角
是
１条
角平分线所在的直线
长方形
是
２条
对边中线所在的直线
正方形
是
４条
对边中线所在的直线和对角线所在的直线
圆
是
无数条
直径所在的直线
平行四边形
不是
０条

小结：

轴对称
轴对称图形
区别
①指两个图形而言；
②指两个图形的一种形状与位置关系。
①对一个图形而言；
②指一个图形的特殊形状。
联系
①都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；
②把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称。

1、线段垂直平分线的概念：
（１）垂直于一条线段，并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线；
（２）线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
2、线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。
3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意:
（１）“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是：证明两条线段相等；
（2“到段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。”的作用是：判定一点在线段的垂直平分线上；
（3）“如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等，那么，这两点所在直线是该线段的垂直平分线。”的作用是垂直平分线的判定。

题型一:线段垂直平分线的性质

【例3】 如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.

图-1
点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC相交时，(如图2),对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC.图形变化，但结论不变.

图-2
举一反三：
1、如图1,在△ABC中, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,若∠BEC=70°，则∠A=？
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理.按照同样的方法,图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B.
【例4】图-3
如图3，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
(2) 求∠EAN的度数.
(3) 判断△AEN的形状.

举一反三

1.如图4，在△ABC中，AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.
(1) 求△AEN的周长.
(2) 求∠EAN的度数.
(3) 判断△AEN的形状.

图-4

2.如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm,
∠A=49º，求△BCE的周长和∠EBC的度数.

【例5】如图，D是线段AB、BC的垂直平分线的交点，若∠ABC＝50°
求∠ADC

举一反三：

1.如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，求∠CBE

2.如图，△ABC内有一点D，且D为直线AB、AC垂直平分线的交点，
若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（ ）
A．100° B．80° C．70° D．50°
题型二:线段垂直平分线的判定

【例6】如图所示，Rt△ABC中，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。(用定义法和判定定理法两种方法)

【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？

【例7】 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，求证：AD垂直平分EF。

举一反三：

如图所示，AB>AC，的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作于E，，求证：BF=CG。

1、轴对称的性质：
（１）关于某条直线对称的图形是全等形；
（２）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；
（３）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；
（４）如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么，这两个图形关于这条直线对称。
2、轴对称作（画）图：
（１）画图形的对称轴
（２）如果一个图形关于某直线对称，那么对称点之间的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。
（３）画某点关于某直线的对称点的方法
（４）画已知图形关于某直线的对称图形
注意：
（１）全等的图形不一定是轴对称的，轴对称的图形一定是全等的。
（２）性质（４）的作用是判定两个图形是否关于某直线对称，它是作对对称图形的主要依据。
【例8】如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列结论中：
　①ΔABC≌ΔA’B’C’　②∠BAC’≌∠B’AC；　③l垂直平分CC’；
　④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有(   )
　A．4个         B．3个          C．2个         D．1个
举一反三：
1、如图，ΔABC与ΔA/B/C/关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
F
E
D
C
B
A
A．50° B．30° C．100° D．90°

2、如图六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是（　　）．
Ａ．150° 　Ｂ．300° 　Ｃ．210° Ｄ．330°．
【例9】如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO的对称点、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长

等腰三角形专题讲解
【知识精读】
（－）等腰三角形的性质
1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2. 定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解析】
【例1】如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
所以∠1＝∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）
【例2】如图，已知：中，，D是BC上一点，且，求的度数。

分析：题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：因为，所以
因为，所以；
因为，所以（等边对等角）
而
所以
所以
又因为
即 所以
即求得
说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。
2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。
3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
【例3】已知：如图，中，于D。求证：。

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。
证明：过点A作于E，
所以（等腰三角形的三线合一性质）
因为
又，所以
所以（直角三角形两锐角互余）
所以（同角的余角相等）
即
说明：
1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。

4、中考题型：
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，且相交于点F则图中的等腰三角形有（ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C。
2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。

证明：因为，所以
又因为
所以
又D是BC的中点，所以
所以
所以，所以
说明：证法二：连结AD，通过 证明即可

5、题形展示：
【例1】如图，中，BD平分。
求证：。

分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。
证明一：在BC上截取，连结DE、DF
在和中，

又

而

即
分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于，只需证明

易证，，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。
证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分交BC于F。
由证明一知：
则有
DF平分
，在和中

，而
在和中，

在中，

说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。

【实战模拟】
1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（ ）
A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对
2. 如图，是等边三角形，，则的度数是________。

3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
4. 中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：。

【试题答案】
1. B
2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：因为是等边三角形
所以
因为，所以
所以
在中，因为
所以，所以
所以
3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。
已知：如图，在中，，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。求证：点O在BC的垂直平分线上。

分析：欲证本题结论，实际上就是证明。而OB、OC在中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有的两个三角形全等。
证明：因为在中，
所以（等边对等角）
又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以（中线定义）
在和 中，

所以
所以（全等三角形对应角相等）。
所以（等角对等边）。
即点O在BC的垂直平分线上。
说明：
（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在
底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。
（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。
4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。
证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。

3
1
在中，
所以
所以（等腰三角形三线合一性质）。
所以（邻补角定义）。
所以
又因为ED垂直平分AB，所以（直角三角形两锐角互余）。
（线段垂直平分线定义）。
又因为（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。
所以

在和中，

所以
所以
即。
说明：
（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；
（2）直角三角形中角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。

第十三章 实数
【知识要点】
一、实数：有理数和无理数统称为实数。
1、实数有以下两种分类方法：
（1）按定义分类 （2）按大小分类

2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为。
3、实数与数轴上点的关系：
实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。
4、实数的运算：
（1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。
（2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。
二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被开方数。
1、二次根式的性质：
（1）；
（2）；
2、最简二次根式：
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。
（2）被开方数中不含有能开