真实啮合状态面齿轮副时变啮...刚度计算及系统振动特性分析_程勇.pdf

书书书内燃机与配件 设计研究真实啮合状态面齿轮副时变啮合刚度计算及系统振动特性分析程勇（西安工业大学机电工程学院，陕西 西安 ）摘要：为了获得面齿轮传动系统真实啮合状态的时变啮合刚度，提出一种能够综合考虑齿面修形和安装误差，运用面齿轮轮齿接触分析（）及承载接触分析（）技术的时变啮合刚度精确计算方法。构建了面齿轮副的 和 模型，采用有限元和数学规划的方法获得轮齿接触变形及齿轮啮合力，计算得到面齿轮副精确时变啮合刚度，进而研究了修形参数对面齿轮系统时变啮合刚度的影响规律；在此基础上，建立了考虑时变啮合刚度以及综合传递误差等内部激励的面齿轮传动系统动力学模型，仿真了精确时变啮合刚度激励下的面齿轮传动系统振动响应，为面齿轮传动系统的动态设计提供了理论参考。关键词：面齿轮传动；时变啮合刚度；修形；动力学中图分类号：文献标识码：文章编号：（）（，）：（）（），：；基金项目：国家自然科学基金“复式行星齿轮系统多重复合故障的摩擦振动机理与知识进化研究”（基金号 ）；陕西省科技计划项目（），高性能螺旋齿面齿轮高效车齿加工关键技术与工程化研究。作者简介：程勇（），男，陕西西安人，硕士研究生，研究方向：机械传动，机械系统动力学。引言齿轮副的啮合刚度是造成齿轮传动系统振动与噪音的主要激励之一，啮合刚度的求解是研究齿轮系统振动问题十分重要的环节。国内外学者已对此做了大量研究，目前计算轮齿啮合刚度的主要方法大致分为两类：第一就是理论计算方法，其中包括弹性力学复变函数保角映射法和材料力学法（石川公式）；第二是数值计算方法，包含有限元法、边界法和回归法等，另外，李金锴等基于有限元法，建立了齿轮点蚀状态下的有限元模型，求解出了齿轮的啮合刚度；常乐浩等提出了一种以轮齿接触理论为基础并融入有限元的新方法，利用数学规划求解出了齿轮副的啮合刚度；曹东江等通过齿轮啮合原理以及齿面方程，完成了对齿轮的精确建模，通过能量法计算出齿轮变形量，求解出变位直齿轮啮合刚度；冯正玖等建立了直齿轮传动的线接触以及面接触的 模型，求解出齿轮副的啮合刚度；等基于接触力学和齿轮啮合原理，创建了一种齿顶修形和负载激励下的齿轮啮合刚度求解模型，得出了不同负载激励下的齿轮啮合刚度。对于面齿轮副的啮合刚度求解问题，由于面齿轮的齿面复杂，材料力学法对于模型的简化较大，不能体现真实的啮合状态，有限元法需要设置网格参数，建模过程复杂，因此传统方法很难求解齿面在载荷激励下的综合弹性形变，从而也不能得到精确的啮合刚度。而轮齿啮合刚度的精确计算是准确分析齿轮传动系统动态特性、DOI:10.19475/ki.issn1674-957x.2023.04.038 年第期振动与噪声以及动力学分析的前提。传统的面齿轮传动振动特性求解时，其啮合刚度激励都是由经验公式求得，计算精度不高，不能保证系统振动特性的准确性。为此，本文基于齿轮传动系统轮齿接触分析（）以及承载接触分析（）技术 ，建立了真实啮合状态下面齿轮传动系统时变啮合刚度精确求解模型，求解出精确时变啮合刚度及轮齿承载传动误差，进而研究了修形参数对面齿轮副时变啮合刚度的影响规律；在此基础上，创建了包含综合传递误差以及时变啮合刚度等内部激励的面齿轮系统动力学模型，仿真了面齿轮传动系统在精确时变啮合刚度激励下的振动响应，为面齿轮传动系统的动态设计提供了理论参考。面齿轮传动系统时变啮合刚度求解 轮齿接触分析模型如图所示为面齿轮副啮合坐标系，是固定坐标系，和分别是和小圆柱齿轮和面齿轮固联的随动坐标系，与是辅助固定坐标系。和分别为小圆柱齿轮和面齿轮的啮合转角，为圆柱齿轮的安装距，为偏置距，为轴向安装误差，为轴交角误差。（）（）（）（）图啮合坐标系根据齿轮啮合原理，小齿轮和面齿轮齿面在接触点上具有相同的位置矢量和法矢，在固定坐标系中建立轮齿接触分析方程：（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）其中：（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）（）式中，和分别是坐标系与到进行坐标变换的矩阵，（），（）是两齿轮齿面的位矢，和分别是与到进行矢量变换的矩阵，（），（）分别是两齿轮齿面的法矢。此时可将做为一个输入量进行求解，并获得一个齿面接触点。随后根据相应的步长改变的值反复求解方程，直到求解出的点超出齿面的边界。承载接触分析模型不考虑摩擦力作用，在法向啮合力作用下，面齿轮传动承载接触分析模型如图所示。图承载接触模型齿轮啮合时，轮齿和均接触。图中为齿面接触椭圆在长轴方向的横截面，是接触椭圆的中心点，是沿着接触椭圆长轴上的离散点。轮齿在参与啮合时会受到法向载荷而发生变形。若将小齿轮固定，大轮的轮齿在的作用下会沿着接触线的法向运动，从而产生形变，变形后的法向位移为。假定大小轮啮合时发生线接触，则轮齿受载变形后应满足：（），（）式中：为轮齿受载前的齿面间隙，齿间间隙，齿面的法向间隙，（，）是齿对在离散点处所受的载荷，是齿对的综合法向柔度矩阵，是轮齿在的作用下发生变形后齿面的间隙。根据力平衡方程，非嵌入条件和变形协调方程求解非线性规划可以得到轮齿受载变形后的瞬时变形，承载传动误差可表示为 （）（）式中：为面齿轮角速度矢量。在一个周期内取个啮合位置，因此面齿轮副综合啮合刚度 为（）（，）（）面齿轮传动修形设计齿轮修形是提高齿轮的承载性能、延长齿轮的使用寿命和减振降噪的主要措施。由于面齿轮的齿面复杂，修形困难，因此本文选择对圆柱齿轮修形，齿形修整和齿向修整是目前最常用的修形方式，本文结合两种修形方式进行三维修形。圆柱齿轮齿廓修形首先通过对齿条刀具的齿形按照二次抛物线进行修整从而完成圆柱齿轮齿形的修形。图所示为齿条刀具法向修形齿廓，和是齿条刀具齿廓面内的坐标系，是抛物线的顶点位置参数，是抛物线顶点，是齿条法面压力角，是抛物线系数，（，）分别为插齿刀和圆柱齿轮的齿条刀具的参数。齿条齿面单位法矢为：内燃机与配件 （，）（）图齿条刀具法向修形齿廓图圆柱齿轮展成图为利用齿条刀具展成圆柱小齿轮时的加工坐标系，是与机床固定的坐标系，是刀具齿轮的随动坐标系，是齿轮的转角，是齿轮的分度圆半径，为齿条沿 方向位移，（，）分别为圆柱齿轮和刀具齿轮的齿面方程，可表示为：（，）（）（，）（）式中，为坐标系 到的齐次坐标变换矩阵。圆柱齿轮齿向修形图砂轮的抛物线运动本文采用盘形砂轮沿齿向做抛物线运动对齿轮进行齿向修形，如图所示，其中，和分别为圆柱齿轮、砂轮相固联的坐标系，为修形抛物线系数，和分别为圆柱齿轮及砂轮的节圆半径。修形圆柱齿轮齿面方程为：（，）（）（）修形圆柱齿轮齿面单位法矢为：（，）（）式中 为坐标系到的坐标变换矩阵。算例表面齿轮副设计参数参数名称单位数值数值数值数值面齿轮齿数 圆柱齿轮齿数 模数 压力角 面齿轮齿宽 圆柱齿轮齿宽 螺旋角 轴交角 齿廓修形参数 齿向修形参数齿廓修形参数齿向修形参数 齿廓修形参数 齿向修形参数 设有八对直齿面齿轮传动，现将其分为三组，其中第一组只进行圆柱齿轮齿廓修形，第二组只进行圆柱齿轮齿向修形，第三组对圆柱齿轮同时进行齿廓和齿向修形，具体参数见表，三组转速均为 ，输入扭矩均为 。对第一组直齿面齿轮副进行 啮合刚度分析计算，得到承载传动误差曲线（见图），以及一对未修形齿轮的啮合力及接触变形（见表），进而求解出该对齿轮的时变啮合刚度曲线。其他修形参数下的齿轮副时变啮合刚度求解结果如图，所示。表啮合力及接触变形啮合力 接触变形 啮合刚度（）-10-5051015小轮转角/()承载传动误差/()-0.30-0.35-0.40-0.45-0.50-0.55-0.60-0.65-0.70-0.75图承载传动误差对比2.01.81.61.41.21.00.800.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030时间/(s)109啮合刚度/(N/m)图齿形修形对啮合刚度的影响00.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030时间/(s)2.01.81.61.41.21.00.80.60.4啮合刚度/(N/m)109图齿向修形对啮合刚度的影响00.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030时间/(s)2.22.01.81.61.41.21.00.80.6啮合刚度/(N/m)109图三维修形前后对比 年第期无论是齿廓修形还是齿向修形，在一定范围内，随着修形量的增大，系统时变啮合刚度曲线无论是数值还是幅值都有减小的趋势，这对于齿轮传动的减振降噪是有利的，三维修形前后齿轮副啮合刚度的差异，进一步说明模型修形后的齿轮副啮合刚度呈现明显下降的趋势。面齿轮传动动力学分析 动力学模型建立在传动过程中，面齿轮不受径向作用力，圆柱齿轮不受轴向作用力，根据集中参数理论建立六自由度面齿轮传动系统动力学模型，如图 所示，小齿轮在和方向上的移动以及绕方向的转动，面齿轮在和方向上的移动以及绕方向的转动。图 面齿轮传动系统动力学模型面齿轮在传动过程中的误差激励是产生振动和噪音的主要因素，现对传递误差进行拟合，表示为（）（）（）式中，传递误差（）是时间的函数，为幅值，为误差常量，取；为相位角，取，为啮合角频率。动力学方程建立根据经典力学中的牛顿定律，分别在面齿轮副、方向创建微分方程，得到系统的振动方程组为：?（）式中，、分别为小轮和大轮的集中质量和转动惯量，是大轮在轴的转动惯量，与（，）分别为面齿轮副在各轴方向的支承阻尼与等效支撑刚度，与 分别为大轮在轴方向的扭摆刚度和阻尼，为输入转矩，为载荷扭矩，为啮合力在轴方向的分力，为在轴方向的分力。系统振动特性分析面齿轮传动系统振动特性分析主要参数见表。利用 自适应步长的 求解微分方程组，得到系统振动响应。表面齿轮传动系统主要参数表参数数值圆柱齿轮质量 面齿轮质量 转动惯量（）转动惯量（）啮合阻尼 050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms20151050-5-10-15-20位移/m050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms3210-1-2-3位移/m050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms151050-5-10-15位移/m(b)圆柱齿轮Z轴移动响应(a)圆柱齿轮X轴移动响应(c)面齿轮X轴移动响应图 系统振动移动响应050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms1.51.00.50-0.5-1.0-1.5位移/m050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms1.51.00.50-0.5-1.0-1.5位移/m050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms位移/m86420-2-4-6-8(a)面齿轮Z轴振动响应(b)修形圆柱齿轮X轴移动响应(c)修形圆柱齿轮Z轴移动响应图 系统振动移动响应内燃机与配件 050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms位移/m543210-1-2-3-4-5050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms0.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8位移/m050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms6040200-20-40-60加速度m/s2(b)修形后面齿轮Z轴移动响应(c)圆柱齿轮X轴加速度响应(a)修形后面齿轮X轴移动响应图 系统振动移动与加速度响应加速度m/s2050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms2.01.51.00.50-0.5-1.0-1.5-2.086420-2-4-6-8050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms151050-5-10-15加速度m/s2050 100 150 200 250 300 350 400时间/ms加速度m/s2(a)圆柱齿轮Z轴加速度响应(b)面齿轮X轴加速度响应(c)面齿轮Z轴加速度响应图 系统振动加速度响应由图 可知：在此传动系统中，小圆柱齿轮在各个轴的振动响应均大于面齿轮，而无论是圆柱齿轮还是面齿轮，轴方向的振动响应均大于轴方向；修形后的面齿轮传动系统，由于时变啮合刚度的减小，轴与轴的振动均有所减小。结论（）针对面齿轮时变啮合刚度精确求解问题，提出了利用 及 的 方 法 计 算 出 面 齿 轮 副 时 变 啮 合刚度。（）研究了三种不同修形方式及修形系数对面齿轮副时变啮合刚度的影响规律，结果表明，轮齿修形会对系统时变啮合刚度的数值以及幅值均产生影响，当修形系数适当增大时，面齿轮传动系统时变啮合刚度数值和幅值均有所减小。（）建立六自由度面齿轮动力学模型，并将所求解的时变啮合刚度的精确解代入，求解出面齿轮传动系统的振动特性，对比修形前后面齿轮传动系统的振动特性，结果表明，适当的修形会减小齿轮振动，从而降低传动噪音，为面齿轮传动系统的动态设计提供了理论参考。参考文献：，（）：李亚鹏，孙伟，魏静，等 齿轮时变啮合刚度改进计算方法机械传动，（）：吴家腾，杨宇，程军圣基于解析有限元的齿根裂纹时变啮 合 刚 度 计 算 方 法 机 械 工 程 学 报，（）：，（）：李金锴，陈勇，臧立彬，毕旺洋，杨小朋基于有限元法的疲劳点蚀斜齿轮时变啮合刚度分析与试验研究机械传动，（）：常乐浩，田宏炜，贺朝霞，等结合有限元法和接触理论的内齿轮副啮合刚度计算方法机械传动，（）：曹东江，尚鹏，赵阳基于 的渐开线变位直齿轮 时 变 啮 合 刚 度 计 算 分 析机 械 传 动，（）：冯正玖，靳广虎，朱如鹏基于 的直齿轮啮合刚度的计算与分析机械传动，（）：，（）：，（）：，（）：朱丽莎，王奇斌，栾晓刚，袁聪，张义民 基于切片耦合理论的斜齿轮时变啮合刚度分析振动与冲击，（）：王琪，周驰，桂良进，等 准双曲面齿轮 弯曲变形约束方法航空动力学报，（）：蒋进科，方宗德，刘红梅 行星传动多体齿轮承载接触特性分析 机械工程学报，（）：林腾蛟，陈梦寒，杨金 齿廓修形人字齿轮副时变啮合刚度 计 算 方 法 振 动 与 冲 击，（）：