圆轨道有限时间收敛导引律_赵琴.pdf

收稿日期:20210704修回日期:20210813第 40 卷第 2 期计算机仿真2023 年 2 月文章编号:10069348(2023)02007004圆轨道有限时间收敛导引律赵琴(北京控制与电子技术研究所，北京 100038)摘要:运载器运送飞行器进入期望的飞行轨道，通常采用传统的闭路导引方法。导引方法仅仅能将飞行器导引到期望的目标点，也就是说到达期望的位置。但是由于速度矢量没有约束，导致到达期望的位置后速度矢量与期望的速度矢量之间有偏差，进而随着飞行器的运动，使得飞行轨道越来越偏离目标轨道。针对圆轨道入轨时的初始位置和速度误差修正和轨道精确导引问题，提出一种基于 Lyapunov 理论的圆轨道有限时间收敛导引律。上述导引律通过在导引律中引入轨道向径偏差和向径变化率进行反馈，来减小初始入轨位置和速度偏差并对轨道进行精确导引。通过数学仿真进行验证，结果表明圆轨道有限时间收敛导引律能有效减小初始位置和速度误差并对圆轨道进行精确导引。关键词:圆轨道;有限时间收敛;导引律中图分类号:TP391.9文献标识码:BFinite Time Convergence Guidance Law for Circular OrbitZHAO Qin(Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100038，China)ABSTACT:The launch vehicle adopts the iterative guidance method This method only sends the load to expectedposition Because of without velocity constraint，actual velocity is different from expected velocity Furthermore，thedeviation becomes bigger over time A finite time convergence method based the Lyapunov stability theory for reducingcircular orbit original error and high precision guidance is proposed in this paper The guidance can reducethe initialorbital position and velocity deviation and guides the orbit accurately by introducing the radial deviation and the rateof change of the orbit into the guidance for feedback The simulation results show that the finitetime convergenceguidance of circular orbit can effectively reduce the initial position and velocity errors and guide the circular orbit ac-curatelyWith the use of geocentric radial error and geocentric radial rate，this method corrects original geocentric ra-dial error and guides accurately Numerical simulations have demonstrated the effectiveness of the approach proposedKEYWODS:Circular orbit;Finite time convergence;Guidance1引言地球静止轨道上运行的卫星，由于相对地面上的任何一个观测者静止，因此给地面观测带来诸多便利。另外，高轨应急任务，应急发射一颗服务飞行器对出现故障的航天器进行救援服务等任务，需要将服务飞行器发射进入 GEO 轨道指定目标点附近定点1。绝大多数的应用卫星都是近圆轨道的卫星，运载火箭送卫星入轨时的误差(初始误差)越小给卫星轨道控制带来的难度越低、燃料消耗越少。研究近圆轨道所用的动力学模型可以按照圆轨道近似，形式简单2。直接定点入轨是指运载火箭克服各种干扰，直接将飞行器一次性送入预定轨道。直接将飞行器一次性送入预定轨道，具有特别重要的意义，比如空间应急救援、空间快速轨道运输等。进而，研究近圆轨道减小初始位置和速度误差问题可以转化为研究减小圆轨道入轨时的初始位置和速度误差问题。因此，研究减小圆轨道入轨时的初始位置和速度误差具有重要的意义。通常运载器采用闭路制导方法将飞行器送入期望的飞行轨道3。由于闭路制导方法是根据目标点位置进行导引的，在动力没有约束的情况下理论上最终能够到达期望的目标点，然而，速度矢量只能在期望的速度矢量附近，并不能完全与期望的速度矢量一致，并且由于姿态控制误差、推力误差、发动机安装误差等的存在，将飞行器送入期望的轨道时必然存在初始位置误差和初始速度误差。因此，运载器将飞行器送入期望轨道后，仍需要继续进行轨道修正，使得飞行07器进入期望的轨道。有限时间控制方法由于其快速的收敛性及其良好的抗干扰性能和鲁棒性得到了广泛的关注和应用。目前，有限时间稳定性在航天领域得到了广泛地应用。有限时间稳定指系统能够在有限时间内以任意初始状态收敛到平衡状态。由于滑动模态对干扰等具有不变性，并且控制算法较简单，因此滑模变结构控制广泛应用于航天领域4 ，5。对于干扰，传统滑模控制收敛特性取决于趋近律的选取，由于没有对时间的约束，往往不能满足对系统快速收敛的需求。因此，结合有限时间稳定性原理和滑模控制理论，来改善系统的收敛速度，以满足系统对快速收敛的需求。简单地利用离心力和推力平衡重力的方法，能够使得飞行器保持在一定的飞行高度，但由于入轨时的初始位置和速度误差的存在，并且该方法无法修正圆轨道入轨时的初始位置和速度误差，最终飞行轨道并不是期望的飞行轨道。本文将在考虑圆轨道入轨时的初始位置和速度误差修正的基础上并进行高精度导引，既修正初始位置和速度误差，又能进行高精度导引。本文基于有限时间稳定原理结合滑模控制理论，针对减小圆轨道入轨时的初始位置和速度误差问题，提出一种圆轨道有限时间收敛导引律。首先，利用有限时间收敛理论对其收敛特性进行了分析，并给出了收敛时间下界。最后，通过数学仿真，验证了所设计的导引律的有效性。图 1运载火箭发射卫星飞行轨道示意图2问题提出发射静止卫星一般采用轨道转移的方法。有两种类型:一种是星箭分离后，卫星进入近地点为几百公里的、远地点为同步高度左右的大椭圆轨道，称为转移轨道。转移轨道倾角一般不为零。接下来由星上发动机和姿态轨道控制分系统完成进入静止轨道的任务。另一种类型是航天飞机或大型运载火箭将卫星和一级火箭送入停泊轨道6。停泊轨道可能是几百公里的圆轨道，也可能是近地点几百公里，远地点一千多公里的椭圆轨道。在停泊轨道上近地点发动机工作，将卫星送入转移轨道。接下来的过程和第一种类似。考虑到星上控制系统推力器还需要将轨道圆化，在航天器飞行入轨时，尽量减小初始位置和速度误差，从而减轻后续轨道机动和控制的压力。通常运载器采用闭路制导方法，将飞行器运送到空间特定区域并使之达到期望的速度矢量。闭路制导原理框图如下图所示。图 2闭路制导导引飞行原理框图采用闭路制导方法导引航天器进入圆轨道飞行，进入轨期望轨道时，往往会有初始位置误差和速度误差。并且，圆轨道要求飞行过程中有保持向径大小的需求，工程实践中通常利用离心力和推力平衡重力，从而保持圆轨道高度。但是，航天器进入圆轨道存在的位置和速度偏差，使得使用上述方法仅仅是保持向径大小在初始值附近，甚至由于初始速度偏差的作用，随着飞行时间拉长轨道会越来越偏离期望的飞行轨道。本文给出一种圆轨道有限时间收敛导引方法，有效减小入轨时的位置偏差和速度偏差。2.1运载器运送飞行器进入轨道参考文献 7 中的大气层外的闭路制导方法，运载器运送飞行器进入轨道采用该种闭路制导方法。首先，根据当前点 C 运载器质心对应的地心矢径 rL、当前点 C 运载器质心对应的地心纬度 L、当前点运载器质心 C到目标点 T 的绝对经差 TC、发射点到当前运载器质心的绝对经差 OL、发射点到目标点的绝对经差 OT、目标点的地心矢径 rT、目标点对应的地心纬度 T，迭代计算以下公式:j=acos sin Lsin T+cos Mcos Tcos OTOL+(t+tfj)Hj=12atansin jrLrT cos jHpi=rT(1 cos j)1 rTrL(cos j sin jtan Hj)Lj=atantan Hj1 rLpjTj=j+Ljej=1 pjrL()/cosLjTj=2atan1+ej1 ejtanTj217Lj=2atan1+ej1 ejtanLj2tf，j+1=1fMpj1 e2j()3/2 TjLj+ej(sin Tj sin Lj)(1)重复以上迭代过程，直到当 j=N 时，满足迭代终止条件|pj+1pj|p，其中 p为根据实际情况选取的迭代终止判断值。为了防止迭代发散，设置最大迭代次数为 J。当达到最大迭代次数时停止迭代。迭代结束后，取=N，p=pN，H=HN，用下面的公式计算需要速度 VV=fMrLcos Hp(2)计算由运载器质心对应的地心矢径?rL、需要速度矢量?V组成的平面与过当前点 C 的子午面夹角sin=sin Tsin OTOL+(t+tf)sin(3)cos=(sin T cos sin L)/sin cos L(4)计算需要速度在当前点北天东坐标系坐标表示?VN?VN=Vcos Hcos sin Hsin Hsin(5)利用当地北天东坐标系的需要速度矢量?VN可以得到发射惯性坐标系的需要速度矢量?VI。进而，可以求得发射惯性坐标系下的待增速度矢量?VgI?VgI=?VI?VI(6)其中?VI为发射惯性坐标系下运载器在当前点的速度矢量。运载器发动机推力沿着待增速度矢量的方向，持续工作，最终能够将飞行器运送到期望的目标点。因此，需将运载器姿态调到指向待增速度矢量的方向，运载器发动机推力就会沿着待增速度矢量的方向推进。因而，俯仰姿态角指令C、偏航姿态角指令 C可以按照下面的公式计算C=atanVgIyVgIx(7)C=atan VgIzVgIx(8)滚转姿态角指令 C直接取为 0 即可，即C=0(9)按照如上姿态角指令控制运载器姿态，即可实现期望的导引，将运载器导引到期望的位置点。2.2飞行器入轨后的动力学建模航天器圆轨道飞行过程中入轨时，往往会有初始位置和速度误差，并且圆轨道要求飞行过程中有保持向径大小的需求，通常利用离心力和推力平衡重力，从而保持圆轨道高度。但是，航天器进入圆轨道往往存在偏差，运载器运送飞行器进入期望飞行轨道，采用闭路制导方法仅仅能保证向径大小在期望值附近。因此需要对圆轨道位置和速度误差进行修正，考虑圆轨道的特点对圆轨道进行下面的动力学建模。航天器圆轨道飞行过程中轨道径向满足方程8 r=v2HrEr2+u(10)其中，r 为向径模量，vH为航天器水平方向的速度大小，E为地球引力常数，u 为控制量。选取状态变量x1=r?rx2=?r(11)其中，?r为期望的圆轨道向径大小。系统对应的状态空间方程可以用下面的公式表示?x1=x2?x2=r(12)结合式(10)和式(12)得到系统状态空间方程?x1=x2?x2=v2HrEr2+u(13)圆轨道导引目标为使得x10，x20(14)也就是说圆轨道的导引目标为使得向径大小为期望的向径大小，向径变化率为 0。3有限时间稳定定义及相关引理下面给出有限时间稳定定义相关引理。定理 1:考虑系统?x=f(x，t)f(0，t)=0 x n(15)其中 f:U0n在 U0 上连续，而 U0是原点 x=0 有限时间收敛是指对任意初始时刻 t0给定的初始状态 x(t0)=x0U，存在一个依赖于 x0的停息时间 T0 使得方程(5)以 x0为初始状态的解有定义 x(t)=(t，t0，x0)有定义，并且limtT(t，t0，x0)=0如果 t T，(t，t0，x0)=0(16)及当 t t0，T(x0)时，(t，t0，x0)U/0。此系统的平衡点有限时间稳定，指 Lyapunov 稳定和在原点的一个邻域里有限时间收敛9。引理 1:考虑非线性系统(15)，假定存在一个定义在原点的邻域Un上的 C1光滑函数 V(x，t)，并且存在实数 0 和 01，使得 V(x，t)在U上正定和 V(x，t)+V(x，t)半负定，则系统的原点是有限时间稳定的。证明:见参考文献 9。3.1圆轨道有限时间收敛导引律设计选取滑模面27S=x1+xp2(17)其中 0、p=1。定理 2:对于系统(13)和选定的滑模动态(17)，选取导引律u=v2Hr+Er21x2sgn S(18)其中，0、0、p=1。证明:选择 Lyapunov 稳定函数V=S2(19)由(13)、(17)、(18)得到S=px2sgn S(20)该 Lyapunov 函数的导数为V=2px2sgn S(21)选取控制u=v2Hr+Er21x2sgn S(22)得到V=2?r k2?rsgn?r()=2k2?r+1 2k2V+12(23)由于 p=1，并且又有式(23)成立，因而系统(13)在控制律(18)的作用下是有限时间稳定的。图 3径向速度变化4仿真验证运载器将飞行器运送到期望的飞行轨道，由于导引方法及姿态控制偏差、发动机推力偏差，考虑圆轨道初始位置和速度偏差问题。针该问题分别采用两种导引方法进行六自由度数学仿真，控制周期 5ms，运载器运动模型仿真周期1ms，对比利用离心力、推力平衡重力方法(简记为原方法)和圆轨道有限时间导引律(简记为新方法)两种方法对圆轨道向径和向径变化率的导引效果。仿真中采用圆轨道有限时间导引律的相关参数选取如下:=2、=5、p=1。在航天器圆轨道入轨时，存在 60m 误差的情况下，采用离心力和推力平衡重力的方法，向径大小随着飞行时间拉长越来越偏离期望值;采用 Lyapunov 函数设计的圆轨道有限时间收敛导引律导引，向径偏差很快收敛到 0 附近，并且稳定在 0 附近，可以看到向径变化率基本在 0 附近，从而保证了向径偏差稳定在 0 附近。图 4速度倾角变化图 5向径误差变化图 6向径变化率5结论运载器将飞行器送入期望的飞行轨道，但是由于发动机推力误差的存在、姿态控制带来的偏差等，入轨时存在初始位置和速度偏差，因而入轨后飞行器需要对位置和速度误差继续进行修正，以到达期望的飞行轨道。本文针对圆轨道入轨时的初始位置和速度误差修正问题和高精度导引问题，通过利用 Lyapunov 函数给出(下转第 379 页)37control method for reducing the dynamic degradation of digital cha-otic systemsanditsapplicationinimageencryption JMultimedia Tools and Applications，2021(prepublish)4陈关荣，汪小帆 动力系统的混沌化:理论、方法与应用M上海:上海交通大学出版社，20065Moatsum Alawida，Azman Samsudin，Je Sen Teh，ami S Alkhawal-deh A new hybrid digital chaotic system with applications in imageencryptionJ Signal Processing，2019，160 6赵耿，李红，马英杰，秦晓宏 离散动力系统无退化配置 N 个正 Lyapunov 指数J 电子与信息学报，2019，41(9):22802286 7XiaoJun Tong Design of an image encryption scheme based on amultiple chaotic mapJ Communications in Nonlinear Scienceand Numerical Simulation，2013，18(7)8Guang Ling，ZhiHong Guan，Jie Chen，Qiang Lai Chaotifying Sta-ble Linear Complex Networks via Single Pinning Impulsive StrategyJ International Journal of Bifurcation and Chaos，2019，29(2)9Lingfeng Liu，Suoxia Miao A universal method for 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MMJJ20170109)J Chinese Physics B，2020，29(9)14LvChen，Cao，YuLing，et al A perturbation method to the tentmap based on Lyapunov exponent and its applicationJ ChinesePhysics B，2015 15Liu Y，Luo Y，Song S，et al Counteracting Dynamical Degradationof Digital Chaotic Chebyshev Map via PerturbationJ Interna-tional Journal of Bifurcation Chaos，2017，27(3):1750033 作者简介赵耿(1964)，男(汉族)，四川省苍溪人，教授，博士研究生导师，主要研究领域为混沌通信，分组密码。张森民(1998)，男(汉族)，云南省曲靖人，硕士研究生，主要研究领域为混沌分组密码。马英杰(1979)，女(汉族)，吉林省通化人，副教授，硕士研究生导师，主要研究领域为混沌保密通信。(上接第 73 页)一种圆轨道有限时间收敛导引律，该方法可以对圆轨道入轨时的初始位置和速度误差进行修正并实现高精度导引。文中给出的仿真实例，通过与传统方法对比说明了该方法能够有效消除初始位置和速度误差，能够有效实现高精度导引。参考文献:1陈记争，孙松涛，冯刚，肖余之 GEO 卫星快速发射入轨定点控制方法 J 中国空间科学技术，2019，(6):4754 2杨维廉 近圆轨道控制的分析方法J 中国空间科学技术，2003，(5):15 3于桂杰，罗俊，赵世范，宋兆虎 基于龙格库塔法的预测闭路制导方法研究 J 航天控制，2008m，(5):4144，49 4王洪强，方洋旺，伍友利 滑模变结构控制在导弹制导中的应用综述 J飞行力学，2009，27(2):1115 5张宽桥，杨锁昌，王刚，等 带落角约束的有限时间收敛末制导律研究J 弹道学报，2015，27(4):3437 6杨嘉墀，等 航天器轨道动力学与控制(上)M 北京:中国宇航出版社，1995:240333 7李连仲 远程弹道导弹闭路制导方法研究J 系统工程与电子技术，1980，(4):117 8肖业伦 航天器动力学原理M 北京:北京航空航天大学出版社，1998:8999 9洪奕光，程代展 非线性系统M 北京:科学出版社，2005:225228 作者简介赵琴(1987)，女(汉族)，山东省临沂市人，硕士研究生，主要研究领域为导航、制导与控制。973