《简单的轴对称图形》典型例题2.doc

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《简单的轴对称图形》典型例题
例1 如图，中，，D是AC上一点，且，求的度数.

例2 如图，在中，的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若，求的度数和CD的长．

例3 如图，已知：D，E是的BC边上的两点，并且. 求的度数.

例4 已知：如图，D、E分别为等边的边BC、AC上的点，且，BE、AD相交于点F. 求证：.

例5 如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m．
（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；
（2）最短路程是多少？

参考答案
例1 分析：题中只给出了一些相等的线段，要求的度数，首先要把三角形中的边相等转化为角相等：，可见，在中，. 由内角和定理可求出，
解： 因为，
所以，.
所以.
设，则，.
在中，
解得. 所以.
说明：在计算角的度数的题目中，若给出较多的等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质，找出图中某个三角形的各内角与未知数之间的关系，再利用三角形内角和定理，将“形”的总是转化为“方程”问题来解决.
例2 分析：由，可知，又知D是AB垂直平分线上的点，所以有，从而求出，由，所以有．
解：因D是线段AB垂直平分线上的点．
所以，所以，所以
又因为，所以．
故．
说明：在这个题中应用了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角分线的性质．
例3 分析：由可知三角形ADE是等边三角形，而和是等腰三角形，可根据等腰三角形等边对等角的性质求出相关的角的度数.
解：∵，（已知）
∴ 是等边三角形. ∴
又∵ ，∴ .
而 ，∴ .
同理可得，∴
说明：在一个图形中，有时出现不止一个等腰三角形，可以由每个等腰三角形中的两个底角相等，找出相应的一些角的关系，利用三角形内角和定理，进一步求出有关角的度数.
例4 分析：要证，而等边的每个内角都等于，所以只要证明它与的一个内角相等，又由而，所以只要证明.
解： 因为为等边三角形（已知），所以，.
在和中，
所以，所以.
因为（外角定理）
所以.
说明：本题亦可证明.
等边三角形的每个内角都等于，每条边都相等，是题目中的隐含条件，解题时要注意.
例5 解：（1）已知：直线CD和CD同侧两点A、B．
求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．
作法：①作点A关于CD的对称点，
②连结B交CD于点M，
则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点，连结A、、B、AM，
∵　直线CD是A、的对称轴，M、在CD上，
∴　AM＝，A＝，∴　AM＋BM＝M＋BM＝B，
在△A′M′B中，∵　＋>B，
∴　＋B>AM＋BM，（三角形两边之和大于第三边）
即AM＋BM最小．
（2）由（1）可得：A＝M，C＝AC＝BD，
∴　△CM≌△BDM，∴　M＝BM，CM＝DM，
即M为CD的中点，且B＝2AM，（三角形全等的理由是什么？）
∵　AM＝500m，∴　B＝AM＋BM＝2AM＝1000m．
答：最短路程为1000m．
说明：误区①，作AC⊥CD，连结BC，C点即为所求，即AC＋CB为最短；误区②，在CD上找一点M，使AM⊥BM，则AM＋BM为最短；误区③，作BD⊥CD，连结AD，则AD＋BD为最短．以上所有作法都是错误的．本题主要考查的是几何问题的实际应用，关键是充分利用轴对称图形的性质，轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一．
在解决几何知识的实际应用问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，巧妙地建立相应的数学模型．

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