1、
专题10、平面向量中的范围和最值问题
专题十、平面向量中的最值和范围问题
平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．
考点1、向量的模的范围
例1、(1) 已知直角梯形中，//,,,是腰上的
动点，则的最小值为____________.
(2)（2011辽宁卷理
2、若均为单位向量，且，，则的最大值为( ) A.－1 B．1 C. D．2
(3)（2010浙江卷理）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是_____________ .
变式：已知平面向量α，β满足，且α与的夹角为，则的取值范围是 ；
小结1、模的范围或最值常见方法：①通过||2=2转化为实数问题；②数形结合；③坐标法．
考点2、向量夹角的范围
例2、已知＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cosα，sinα)，则与夹角的取值范围是(
3、 )
A. B. C. D.
小结2、夹角范围问题的常见方法：①公式法；②数形结合法；③坐标法．
考点3、向量数量积的范围
例3、(1)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，则的最小值为( ) (A) (B) (C) (D)
(2)如右图，在梯形ABCD中，DA=AB=BC=CD=1.点P在阴影区域（含边界）中运动，则·的取值范围是 ；
小结3、数量积问题涉
4、及的方法较多，常用的方法有：①定义；②模与投影之积；③坐标法；④·=()2-()2．
考点4、向量的系数问题：
例4、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若=x+y其中x，y∈R，则x+y的最大值是______.
小结4、向量系数问题的一般处理方法：①点乘法；②几何法；③整体法．
变式：已知点G是的重心，点P是内一点，若的取值范围是（ ） A． B． C． D．（1，2）
专题十、平面向量中的最值和范围问题练习题
1、（2011全国新课标理）已知a
5、b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中真命题是（ ） A. B. C. D.
2、（2012广东卷）对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满
足,与的夹角,且和都在集合中,则（ ）
A． B．1 C． D．
3、(2012宁波市期末)在中，D为BC中点，若，，则的最小值是 （ ） A. B. C. D.
4、（2011福建卷）已知O是坐标原点，点A（－1,1）若点M（x,y）为平面区域，上的一个动点，则的取
6、值范围是（ ）
A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2]
5、（2012浙江会考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，P, Q是正方
体内部及面上的两个动点，则的最大值是（ ） A. B.1 C. D.
6、（2011全国大纲理）设向量满足，，，则的最大值等于（ ） A．2 B． C． D．1
7、如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则的取值范围是(
7、 )
A. B. C. D.
8、（2012安徽卷）若平面向量满足:;则的最小值是；
9、已知向量==,若，则的最小值为 ；
10、（2012北京卷）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为____ __；
11、如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，为的中点，若为正方形
内（含边界）任意一点，则的最大值为 ；
12、如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一
边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的范围是 .
O
A
B
C
E
F
x
y
11题图 12题图
13、（2012上海卷理）在平行四边形ABCD中,∠A=, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别
是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是_________ ；
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