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专题五：均值不等式与最值、放缩法
专题五：均值不等式与最值、放缩法
基础梳理
1．常用的基本不等式和重要的不等式：
（1） 当且仅当取“”号； （2）；
（3），则。
2．均值不等式：
两个正数的均值不等式：； 三个正数的均值不等式：；
个正数的均值不等式：。
3．四种均值的关系：
（1）两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：
（2）三个正数的调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数：
小结：“算数平均数几何平均数”的多种表达形式：
整式形式
根式形式
分式形式
倒数形式
2、
4.均值不等式求最值：
（1）如果（定值），由______________，当时，有____________；
如果（定值），由______________，当时，有__________；
（2）如果（定值），由______________，当时，有____________；
如果（定值），由______________，当时，有___________。
利用均值不等式求最值必须注意：“一正、二定、三相等”。三者缺一不可！
能力巩固
考点一：均值不等式与最值
1.已知，，则的最小值______________。
3、
2．设，最大值是（ ）
A. 1 B. C. D.
3.已知，且，若，则的最大值为_____________。
4.已知都在区间内，且，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5.若是与的等比中项，则的最大值为（ ）
A. B. 1 C.
4、 D.
6．设是定义其中分别是的面积，的最小值是_______________。
7．若a,b均为正实数，且恒成立，则m的最小值是______________。
变式：（1）若不等式对任意正实数、都成立，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
（2）若对于任意的实数且，不等式恒成立，则实数的最大值是
___________。
8. 设都是整数，且满足，则的最大可能值为（ ）
A. 32 B. 25
5、 C. 18 D. 16
9. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
练习：使关于的不等式有解的实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
练习：若且，则的最小值为_______________。
6、
考点二：放缩法与不等式
例1. （1）求证： ；变式：。
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（其中）。
（6）求证：；
（7）证明：当时，。
例2．设各项为正的数列满足：令
(Ⅰ)求
(Ⅱ)求证：
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例3.在数列中，已知，，。
（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：，。
例4．在数列中，，设数列，的前项和为。
（1）若对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：对任意的整数，；
（3）是否存在实数M，使得对任何的，恒成立，如果存在求出最小的，如果不存在请说明理由。
例5.已知数列满足=-1，，数列满足。
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：当时，；
（3）求证：当时，。
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