一类具有时滞的急慢性丙型肝炎传染病模型的动力学分析_王晓静.pdf

：文章编号：（）一类具有时滞的急慢性丙型肝炎传染病模型的动力学分析王晓静，陈靖宜，郭松柏，梁宇，李泽妤（北京建筑大学 理学院，北京 ；北京工商大学 嘉华学院，北京 ）摘要：依据丙型肝炎的传播特征，建立了一类具有潜伏期时滞的传染病模型。计算了系统的控制再生数，证明了无病平衡点和地方病平衡点的存在性。当时滞为零时，利用 判据证明了平衡点的局部渐近稳定性；当时滞大于零时，运用 不变原理证明了无病平衡点是全局渐近稳定的，并证明了地方病平衡点的稳定性和 分支的存在性。最后通过敏感性分析给出了疾病控制的策略。研究结果表明：提高医疗服务质量和疾病筛查率可以有效地控制丙型肝炎的传播。关键词：急慢性丙型肝炎；控制再生数；稳定性；潜伏期时滞；分支中图分类号：文献标识码：开放科学（资源服务）标识码（）：o o o o o o ，o ，（，；，）：，o ：；引言丙型病毒性肝炎简称为丙型肝炎，是一种由丙型肝炎病毒导致的传染性疾病，该病毒可引起急性或慢性肝炎，其严重程度从轻微病症到包括肝硬化和癌症在内等的严重疾病。丙肝的潜伏期一般为 周，平均为周，最长可达 年。由于在感染初期患者并无显著症状，所以很容易被忽视，极易由急性转变为慢性，并由肝炎转变为肝硬化，继而发展为肝癌。丙肝的传播方式主要为血液暴露的接触性传播，例如使用没有彻底消毒医疗器械、输入未经筛查的血液制品、具有血液接触的性行为以及共享注射器注射毒品。丙肝不会通过母乳、食品或水传播，也不会通过与感染者接吻或共用食品等偶然性接触传播。众多学者针对丙肝的传播动力学性质进行了大量的研究。例如，文献 给出了一个多层次动态传播模型，用于分析丙肝病毒在吸毒人群中的传播；文献 通过加入高斯白噪声，对死亡率和接触率进行扰动，建立了一类丙型肝炎病毒感染动力学收稿日期：；修订日期：；通信联系人，：基金项目：国家自然科学基金项目（）；北京市教育委员会科研计划项目（）；北京建筑大学 基本科研业务费专项资金项目（）作者简介：王晓静（），女，山东烟台人，副教授，博士，主要从事传染病的建模与动力学研究。信阳师范学院学报（自然科学版）第 卷第期 年月 的数学模型；文献 提出了一个具有急慢性感染的丙型肝炎模型，通过构造 函数证明了无病平衡点和地方病平衡点的稳定性；文献 考虑了健康肝细胞的增殖和感染肝细胞的潜伏期对丙肝传播的影响，并利用数值模拟验证了时滞能够导致系统稳定性发生变化；文献 建立了一类具有治疗仓室和潜伏期时滞的传染病模型并进行了稳定性分析，计算了系统的基本再生数，最后通过阈值分析给出了控制疾病的相关策略；文献 研究了一类具有预防和治疗仓室的急慢性丙型肝炎模型，利用 不变原理证明了平衡点的全局稳定性，进行了敏感性分析，并通过数值模拟验证了相关理论结果。模型的构建基于上述文献的研究成果，考虑到丙型肝炎具有较长潜伏期，在文献 的基础上，建立如下具有潜伏期时滞的传染病模型：（）（）（），（）（）（）（）（），（），（），（），（）其中：（）、（）、（）、（）、（）分别表示时刻易感者、急性感染者、慢性感染者、治疗者和恢复者的数量；表示人口输入率；表示传染率系数；和分别表示自然死亡率和因病死亡率；表示慢性感染者的治愈率；和分别表示治疗成功的比例和疾病恢复率；表示急性感染者转化为慢性感染者的比例；表示干预措施的强度；时滞表示丙肝的潜伏期。令（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（），（），（），（），（），（）其中相 空间（，）（，），且（，）是从，到 （，），的连续函数所构成的巴拿赫空间，依据泛函微分方程理论 可知，模型（）存在唯一满足初始条件（）的解（），（），（），（），（）。无病平衡点及其稳定性分析令模型（）所有方程的右端都为零，并令，计算得到无病平衡（，）。控制再生数表示在一定控制措施下一个感染者在其感染期内能够传染易感者的平均人数。根据下一代矩阵的方法，由（）（）（）（），（）（），（）（）（），计算可得控制再生数为：（）（）（）（）（）（）。引理（不变原理）若是上的 泛函，且（）是方程（）（）在上的一个有界集，则对，（）包含在集合 的最大不变子集内。定理当，时，无病平衡点局部渐近稳定。证明模型（）在无病平衡点处线性化系统的系数矩阵对应的特征方程为（）（）（），（）其中：（）（），（）（）。从方程（）可看出，（二重）、（）为特征方程的个负特征值，并且另外两个特征值满足（）。当时，（）可表示为：王晓静，陈靖宜，郭松柏，等 一类具有时滞的急慢性丙型肝炎传染病模型的动力学分析（）（）（）（）（）（）（）。当时，（）（）（）（）（），（）（）（）（），则特征值、均具有负实部。因此当时，若，则特征方程（）的所有特征值均具有负实部，进而局部渐近稳定；若，则不稳定。证毕。定理当，时，无病平衡点局部渐近稳定。证明令（），则（）可表示为（）（）（）（）（）。（）若方程（）有正实部的根当且仅当方程（）有纯虚根，故设（）为特征方程（）的根，代入方程（）得（）（）（）（）（）（），令（）（），（）（），则分离实虚部可得：（）（），（）（），平方后相加：（）。令，则上式变为（）。（）当时，根据韦达定理可知方程（）不存在具有正实部的，因而不存在这样的使得满足特征方程（）。综上可知，当，时特征方程（）的根均具有负实部，故局部渐近稳定。证毕。定理当，时，无病平衡点是全局渐近稳定的。证明构造如下函数（）（）（）（）（）（）（）（）（），则沿着系统（）的解的导数为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。故当，时，（），进而是全局吸引的；再由引理和的局部渐近稳定性，可得是全局渐近稳定的。证毕。地方病平衡点及其稳定性分析定理当时，模型（）存在唯一的地方病平衡点（，）。证明令模型（）右端为零，计算可得，（）（）（），（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）。故当时，模型（）存在唯一的地方病平第 卷第期信阳师范学院学报（自然科学版）：年月衡点（，）。证毕。引理 对于任意维系统，当时，正平衡点是局部渐近稳定的充要条件是：（）时，是稳定的；（）在正平衡点处的特征方程没有纯虚根。引理 令（），则（）若，则（）至少存在一个正根；（）若，则（）不存在正根；（）若，则（）只有一个正根，当且仅当且（）成立。定理当，时，地方病平衡点局部渐近稳定。证明令（），（）（），模型（）在处线性化系统的系数矩阵对应的特征方程为（）（）（），（）其中（）（）。显然、（）是特征方程（）的特征根，其余个特征根满足（）。当时，（）可表示为（），（）其中：（），（）（）（），（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）。显然，当 时，。由 判据 可知，方程（）的根均具有负实部，故在处的线性化系统系数矩阵的所有特征根均具有负实部，进而局部渐近稳定。证毕。定理当，时，地方病平衡点局部渐近稳定。证明令（）（），（）（）（），（），（），（）（）（）（），则（）可表示为 （）。（）当时，特征方程（）满足（）（）（）（）（）。当时，将（）代入方程（）中，有如下等式：（）（）（）。分离实虚部得：（）（）（），（）（）（），（）平方后相加得：（）（）。（）令，则式（）转化为：（），其中，。由引理可知，当且（）（）时，方程（）没有正实部的根。根据韦达定理可知，方程（）不存在具有正实部的根，因而不存在这样的使得满足特征方程（），进而由王晓静，陈靖宜，郭松柏，等 一类具有时滞的急慢性丙型肝炎传染病模型的动力学分析引理和定理可得，对任意的，正平衡点是局部渐近稳定的。证毕。分支的存在性将潜伏期时滞作为分支参数进行分析。将式（）中的对于求导，得到：（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）。设，当（），即 时，模型（）存在 分支。根据方程组（）的实虚部表达式，可计算出的表达式如下：（）（）（）（），。故当时，是局部渐近稳定的；当时，是不稳定的。模型（）在产生 分支。敏感性分析敏感性分析对于确定影响疾病传播的重要因素起到很大的作用。变量关于的敏感性指数定义为：。下面将分析一些参数对的敏感性：（）（）（）（）。随着传染率系数的增加而增加，并且（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）。随着急性感染者转化为慢性感染者的比例的增加而增加，并且 ，（）（）（）。随着干预措施的强度的增加而降低，并且，（）（）（）（），随着疾病恢复率的增加而降低。由以上计算可知，随着和的增加而增大，随着和的增加而减少，并且对最为敏感。因此，公共卫生部门需要做好相关的媒体宣传工作，增强人们的防范意识。另外，通过提高疾病的筛查率和医疗技术，尽早发现疾病并进行治疗，能够降低急性感染者转化为慢性感染者的比例，从而有效地控制疾病的传播。结论研究了一类具有潜伏期时滞的急慢性丙型肝炎的传染病模型，利用再生矩阵的方法计算了模型的控制再生数，证明了当时模型（）存在唯一的地方病平衡点；运用 判别法分析了当时无病平衡点和地方病平衡点的局部渐近稳定性，通过 不变原理证明了无病平衡点的全局渐近稳定性；得到了当时地方病平衡点的局部渐近稳定性；证明了系统存在 分支，并对的相关参数进行了敏感性分析。由于目前尚未研发出丙肝疫苗，并且丙肝的潜伏期相对较长，所以早期筛查尤为重要。公共卫生部门可以通过提高丙肝窗口期感染者的检出率，早检测早治疗；另外加强媒体宣传，增强人们的防范意识，从而也可以有效地控制丙型肝炎的传播。第 卷第期信阳师范学院学报（自然科学版）：年月参考文献：李晓娥，张华 丙肝病毒核心抗原与抗体联合检测在丙型肝炎早期诊断中的应用 中西医结合心血管病电子杂志，（）：，（）：邓存良 传染病防治科普读本：肝炎、艾滋病、结核病、流感 成都：四川科学技术出版社，：，：，赵文群肝病养生保健知识 问上海：上海科学技术文献出版社，：，（）：，：，：，：，：张丽婷，冯飞，董亚丽，等具有时滞和治疗的丙肝模型分析河北工业科技，（）：，（）：王晓静，白玉珍，安迪，等一类具有预防和治疗措施的丙型肝炎传染病模型的动力学分析信阳师范学院学报（自然科学版），（）：，（），（）：，（）：，李学志，党艳霞一类具有接种疫苗时滞的两菌株传染病模型的 分支应用泛函分析学报，（）：，（）：，：马知恩，周义仓 常微分方程定性与稳定性方法 北京：科学出版社，：，（）：责任编辑：郭红建王晓静，陈靖宜，郭松柏，等 一类具有时滞的急慢性丙型肝炎传染病模型的动力学分析