正弦定理知识点.doc

1．1．1正弦定理
课上讲解：
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
=2R
其中R为三角形外接圆半径。
2.正弦定理的基本作用：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3.常用变形：
①
②
③

题型一：已知两角和一边（唯一确定）
例1. 已知在.

变式练习1：
1.已知ΔABC，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:
A.3 B.2 C. D.
2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A.8 B.4 C.4-3 D.8-8
3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____

题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x的性质决定）
例2.在

变式练习1：

变式练习2：

变式练习3： 在中，已知角，则角A的值是
A. B. C. D.或
变式练习4：在中，若，则A= 。

题型三：外接圆问题
例3. 试推导在三角形中===2R其中R是外接圆半径

变式练习1：在△ABC中，,则k为( )
A2R BR C4R D(R为△ABC外接圆半径)
变式练习2：在中，，则为 （ ）
A、 B、 C、 D、
变式练习3：在中， （ ）
A、 B、
C、 D、
变式练习4：设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．
题型四：比例问题
例4.在中,已知判断的形状．

变式练习1：已知ABC满足条件，判断ABC的类型。

变式练习2：△ABC中，sin2A = sin2B +sin2C，则△ABC为( )
A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形
变式练习3：在三角形ABC中，A为锐角，，则三角形ABC是 （ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形
例5.在中，三个内角之比，那么等于____

变式练习1：在△ABC中,
变式练习2：在△ABC中,A:B:C=4:1:1,则a:b:c= ( )
A 4:1:1 B 2:1:1 C :1:1 D :1:1
变式练习2：在中，B=135，C=15，a=5则此三角形的最大边长为_____
变式练习3：已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为________
变式练习4：在△ABC中, 6:5:4，则(2b+c):(3c+a):(a+4b) =_______________
变式练习5：△的三个内角、、所对的边分别为、、，．求

例6.在中，已知，求的度数

变式练习1：在△ABC中，若a = 2b sin A，则∠B为( )
A. B. C.或 D.或
技巧的应用：
例7.在△ABC中，a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且.
(1)求∠A的大小；
(2)若a =，b + c = 3，求b和c的值.

变式练习1：△ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，则△ABC 是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D 等腰三角形
变式练习2： 若△ABC的三内角ÐA，ÐB，ÐC满足 sin A = 2sinCcos B，则△ABC为 _______三角形.
变式练习3：已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .
变式练习4：在中，，
1）求的值；
2）设,求的面积.

题型五：面积问题
例8.在△ABC中，,则三角形ABC的面积为
变式练习1：在△ABC 中，b = 8，c =，S△ABC =，则∠A 等于( )
A. 30 º B 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º
变式练习2：已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为 ( )
A．9 B．18 C．9 D．18
变式练习3：若△ABC的三边长分别为4，5，7，则△ABC的面积 = ， 内切圆半径 = .

变式练习4： 如图△ABC中，点D在边 BC上，且BD = 2，DC = 1，∠B = 60°，∠ADC = 150°，求AC的长及△ABC的面积.

提高题：
1.如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
A
B
C
D

高考真题：
1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在中，角所对的边分别为.若，则
2、（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16）在中，，则的最大值为 .
3、（2011·北京高考理科·T9）在中，若，则 ；
4、（2011·北京高考文科·T9）在中，若，则= .
5、(2009·广东高考)已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°则b＝
6、在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于______，AC的取值范围为________．
7、在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 三角形
8、.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积等于
9、锐角△ABC中，若A＝2B，则的取值范围是 ；

10、(浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.求△ABC的面积

11、已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角B＝________.

12、（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高
.

3、你知道哪些化学变化的事例呢？举出几个例子。

13.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）△的三个内角，，所对的边分别为、、，．求；

2、1969年7月，美国的“阿波罗11号”载人飞船成功地在月球上着陆。
14、（2011·山东高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）
在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.求的值；

二、问答：

3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。蟋蟀的耳朵在足的内侧。蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。
15、（2011·湖南高考理科·T17）（12分）在角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足csinA=acosC.

答：如水资源缺乏，全球气候变暖，生物品种咖快灭绝，地球臭氧层受到破坏，土地荒漠化等世界性的环境问题。（1）求角C的大小；
（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小.

18、大多数生物都是由多细胞组成的，但也有一些生物，它们只有一个细胞，称为单细胞生物。如草履虫、变形虫、细菌等。

17、大熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星，

3、你知道月食的形成过程吗？

10、日食：当月球运动到太阳和地球中间，如果三者正好处在一条直线上时，月球就会挡住太阳射向地球的光，在地球上处于影子中的人，只能看到太阳的一部分或全部看不到，于是就发生了日食。日食时，太阳被遮住的部分总是从西边开始的。16、（2011·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c.已知且. （Ⅰ）当时，求的值；

2、昆虫种类繁多，分布很广，它们有着和其他动物不同的身体构造和本领。