1、第8讲、类比结构构造——类比探究（讲义）
1. 我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：
（1）在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=_____BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD的长为___
2、．
猜想论证：
（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
图3
（3）如图4，四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由．
图4
图1 图2
2. 【探索发现】
如图1，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为
3、内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为________．
【拓展应用】
如图2，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________（用含a，h的代数式表示）．
【灵活应用】
如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用
4、
如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
图4
图1 图2 图3
备用图
3. 折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（如图1），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（如图2）．
第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过
5、点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到
△PBC．
图1 图2 图3
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
图4 图5
（3）已知矩形一边长为3 cm，另一边长为a cm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）从一张正方形
6、铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm和
1 cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为__________cm．
4. 已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线交于点E．
（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED·EA=EC·EB．
（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．
（3）如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F．若cos∠ABC=cos∠ADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）．
图1
图2
图3
【参考答案】
1. （1）①；②4；
（2）AD=BC，证明略；
（3）存在，“旋补中线”长为．
2. 【探索发现】；
【拓展应用】；
【灵活应用】该矩形的面积为720；
【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm2．
3. （1）证明略；
（2）先将△BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得△BP1C1，再将△BP1C1以B为位似中心放大，使点C1的对应点C2落在边CD上，得到△BP2C2；
（3）略；
（4）．
4. （1）证明略；
（2）四边形ABCD的面积为；
（3）AD的长为．
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