高三数列应用题专项训练.doc

数列应用题专题训练
一、储蓄问题
　　对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。
　　单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。
　　复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。
　　例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：
　　(1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)；
　　(2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。
　　问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？
　分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。
　　解：若不计复利，5年的零存整取本利是
　　2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950；
　　若计复利，则2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。
　　所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。
二、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。
例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
　　解：购买时付出150元，余欠款1000元，按题意应分20次付清。
　　设每次所付欠款顺次构成数列{an}，则a1=50+1000×0.01=60元，
　　a250+(1000-50)×0.01=59.5元，a3=50+(1000-50×2)×0.01=59，……an=60-(n-1)·0.5
　　所以{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，
　　故a10=60-9×0.5=55.5元
　　20次分期付款总和S20=×20=1105元，实际付款1105+150=1255(元)
　　答：第10个月该付55.5元，全部付清后实际共付额1255元。
例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。
分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。
略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n—30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=—30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
故共感染者人数为：=8670，化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。
例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)
解：1991年、1992年、……2000年住房面积总数成AP
a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270
1990年、1991年、……2000年人口数成GP
b1 = 500 , q = 1% ,
∴2000年底该城市人均住房面积为：
点评：实际问题中提炼出等差、等比数列。
例5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，
问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？
2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：
a1= 0.2 kg , a2=×0.2 kg , a3= ()2×0.2 kg
由此可见：an= ()n-1×0.2 kg , a5= ()5-1×0.2= ()4×0.2=0.0125 kg
2.由1.得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=

点评：掌握浓度问题中的数列知识。
例6．（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年元，分流后进入新经济实体，第年的收入为元，
（1）求的通项公式；
（2）当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
（3）当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
解：（1）由题意得，当时，，当时，，
∴．
（2）由已知，
当时，要使得上式等号成立，
当且仅当，即，解得，因此这个人第三年收入最少为元．
（3）当时，，上述等号成立，须且因此等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
例7．（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：
甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；
乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．
两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据：）
解：甲方案10年获利润是每年利润数组成的数列的前10项的和：
（万元）
到期时银行的本息和为（万元）
∴甲方案扣除本息后的净获利为：（万元）
乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：
（万元）
贷款的本利和为：（万元）
∴乙方案扣除本息后的净获利为：（万元）
所以，甲方案的获利较多．
三、an- an-1=f(n),f(n)为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系，an与an-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f(n)本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（n∈N*）。
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
分析：对于(1)中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为sn,则sn-1表示广告费为(n-1)元时的销量，由题意，sn——sn-1=，可知数列{sn}不成等差也不成等比数列，但是两者的差构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
解法一、直接列式：由题，s=b++++…+=b(2-)
广告费为1千元时，s=b+；2千元时，s=b++；…n千元时s=b++++…+）
解法二、（累差叠加法）设s0表示广告费为0千元时的销售量，
由题：，相加得Sn-S0=+++…+,
即s=b++++…+=b(2-)。
（2）b=4000时，s=4000(2-),设获利为t,则有t=s·10-1000n=40000(2-)-1000n
欲使Tn最大，则：，得，故n=5,此时s=7875。
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大。
四、an= C·an-1+B，其中B、C为非零常数且C≠1
例9、（企业生产规划问题）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？（lg2=0.3）。
分析：设经过n年后，该项目的资金为an万元，则容易得到前后两年an和an-1之间的递推关系：an =an-1（1+25%）-200（n≥2），对于这类问题的具体求解，一般可利用“待定系数法”：
解：由题，an =an-1（1+25%）-200（n≥2），即an =an-1-200，设an +λ=（an-1+λ），展开得an =an-1+λ，λ=-200，λ=-800，∴an -800=an-1-800），即{an -800}成一个等比数列，a1=1000(1+25%)-200=1050, a1-800=250，∴an -800=250（）n-1，an =250（）n-1+800，令an≥4000，得（）n≥16，解得n≥12,即至少要过12年才能达到目标。
例10（分期付款问题）某人年初向银行贷款10万元用于买房：
　　(1)如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还(不计复利)，每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到一元)；
　　(2)如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？(精确到一元)。
　　解：(1)设每年还款x元，依题意得
　　x+x(1+5%)+x(1+2×5%)+…+x(1+9×5%)=100000×(1+5%)，
　　∴x≈12245元
　　(2)设每年还款x元，依题意得
　　x+x(1+4%)+x(1+4%)2+…+x(1+4%)9=100000(1+4%)10，
　　∴x≈12330元
　　答：(1)当年利率为5%，按单利计算，每年应归还12245元；(2)当年利率为4%，按复利计算时，每年还款12330元。
　　评注：上述例题是与数列有关的分期付款问题，两问所用公式各异。 (1)中的利率是单利(即当年的利息不计入次年的本金)，故所用的公式是等差数列通项公式和前n项和公式； (2)中的利率是复利(即利滚利)，故所用公式是等比数列通项公式和前n项和公式，导致这种区分的原因是付款形式不同。
例11．（环保问题）（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
分析：由“每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同”易得某城市每年末汽车保有量与上年末汽车保有量的关系，于是可构造数列递推关系来求解。

解：设每年新增汽车为b万辆，该城市第n年末的汽车保有量为a n，则容易得到a n和a n－1的递推关系：即＝0.94（）
∴｛｝是以0.94为公比，以为首项的等比数列。
∴＝（）·0.94n－1，即+（）·0.94n－1
(1)当≥0即b≤1.8时，an≤an-1≤……≤a1=30
(2) 当<0即b<1.8时
＝［+（）·0.94n－1］＝
并且数列｛an｝为递增数列，可以任意接近，因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即an≤60（n=1,2,3……），则≤60，即b≤3.6（万辆）。
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。
例12．用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块……，依此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？
分析：因每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，即每一层剩下砖块是上次剩下砖块的一半少一块，于是可用数列的递推关系求解。
解：设此次砌墙一共用了S块砖，砌好第n层后剩下砖块为an块（1≤n≤10，n∈N*）
则，即∴｛a n+2｝为等比数列，且公比为
又由题意得：a1＝－1∴a1＋2＝＋1∴a1＋2＝＋1∴an＋2＝(＋1)·()n－1
即an＝(＋1)·()n－1－2
∵a10＝0∴（＋1）·（）9－2＝0解得：s＝211－2＝2046
例13．（生态问题）某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，
（1）求的表达式；
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于，如果，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：）
解：（1）设第一年的森林的木材存量为，第年后的森林的木材存量为，则
，，
，………
．
（2）当时，有得即，
所以，．
答：经过8年后该地区就开始水土流失．

五、二个（或多个）不同数列之间的递推关系
有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。
例14、（浓度问题）甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1==10%,b1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an、bn，
（1）试用an-1、bn-1表示an、bn；
（2）求证数列 {an-bn}是等比数列，并求出an、bn的通项。
分析：该问题涉及到两个不同的数列an和bn，且这两者相互之间又有制约关系，所以不能单独地考虑某一个数列，而应该把两个数列相互联系起来。
解：（1）由题意
an=； bn=
（2）an-bn==（）（n≥2），∴{an-bn}是等比数列。又a1-b1=-10%,
∴an-bn=-10%(n-1.……（1）
又∵==…= a1+b1=30%，……（2）
联立（1）、（2）得=-(n-1·5%+15%；=(n-1·5%+15%。
例15．现有流量均为300的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2和0.2．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100的水量，即从A股流入B股100水，经混合后，又从B股流入A股100水并混合．问：从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01（不考虑泥沙沉淀）？
讲解：本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于0.01”．但直接建构这样的不等关系较为困难．为表达方便，我们分别用来表示河水在流经第n个观测点时，A水流和B水流的含沙量．
则＝2，＝0.2，且
．（＊）
由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差，所以，我们不妨直接考虑数列．
由（＊）可得：

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，．
由题，令< 0.01，得．所以，．
由得，所以，．
即从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01．
点评：本题为数列、不等式型综合应用问题难点在于对题意的理解．
六、数列求和综合问题
例16 某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为的宿舍楼（每层的建筑面积相同）。已知土地的征用费为元/，土地的征用面积为第一层的1.5倍。经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/。试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。（总费用为建筑费用和征地费用之和）。
解：设楼高为n层，总费用为y万元，则征地面积为，征地费用为万元，各楼层建筑费用和为万元，总费用为

（万元）
当且仅当即时上式取等号
∴ 这幢宿舍楼楼高层数为15时，总费用最少为2505万元
例17 某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
.
解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].
因为函数y=x(x+1) －－10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；
当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
点评：.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．

1、甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）219.01
2. （04年）某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：
(1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？
(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？
解. （专）(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中
则在2010年应该投入的电力型公交车为（辆）。
（专）(2)记，依据题意，得。于是（辆），即，
则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。

3．（05年）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解：（专）（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，
其中a1=250，d=50，则
令 即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（专）（2）设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，
其中b1=400，q=1.08， 则bn=400·(1.08)n－1
由题意可知
有250+(n－1)50>400 · (1.08)n－1 · 0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，
∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.

4. （05年）某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
[解] （专）（1）2005年底的住房面积为
（万平方米）,
2006年底的住房面积为
（万平方米）
∴ 2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米. …… 6分
（专）（2）2024年底的住房面积为
…… 10分
（万平方米）
∴ 2024年底的住房面积约为2522.64万平方米. …… 14分
5. 某地原来每年消耗木材20万立方米，每立方米木材的价格为900元．为了减少木材的消耗保护生态环境，该地政府决定向消费者加收育林费．经预测每加收木材价格的育林费，每年的木材消耗量就减少万立方米．为了既减少木材消耗，又保证育林收入每年不少于2400万元，则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
6. 某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满60分钟一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到室内空气中。每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作。
（1）求第n次释放出有害气体后（净化之前）车间内共有有害气体量为多少？
（2）安全生产规定：只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常生产。当r=20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？请说明理由。
解（1）∵第一次释放有害气体，
第二次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体，……2分
第三次释放有害气体后（净化之前），车间内共有有害气体
，……………………3分
……
第n次释放出有害气体后（净化前）车间内共有有害气体
………………5分
即…………………………6分
（2）由题意，要使该车间能连续正常生产6.5小时，须在第6次释放出有害气体后（净化之前），车间内有害气体总量不得超1.25am3，即必须要有
…………………………10分

∴当r=20时，该车间能连续生产6.5小时.…………………………………12分
7. 一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：
（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
（2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。
解（1）
（2）先用累乖法得
得
8. 公民在就业的第一年就交纳养老储备金，以后每年交纳的数目均比上一年增加，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．
解: ，对反复使用上述关系式，得

， ①
在①式两端同乘，得
②
②①，得
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．
9. 一场特大暴风雪严重损坏了某铁路干线供电设备，抗灾指挥部决定在24小时内完成抢险工程．经测算，工程需要15辆车同时作业24小时才能完成，现有21辆车可供指挥部调配．
（1）若同时投入使用，需要多长时间能够完成工程？（精确到0.1小时）
（2）现只有一辆车可以立即投入施工，其余20辆车需要从各处紧急抽调，每隔40分钟有一辆车可以到达并投入施工，问：24小时内能否完成抢险工程？说明理由．
[解]（1）15辆车同时工作24小时可完成全部工程，
每辆车每小时的工作效率为．
设21辆车同时投入使用需要x小时完工，则：，
因此需要17.2小时完成任务．
（2）解法一：设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…, a21小时
依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且
则有 ，
化简可得. 即， 解得
可见a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.-
解法二：设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a1，a2，…, a21小时，
依题意它们组成公差（小时）的等差数列，不妨设，
由
=
即能在24小时内完成抢险任务．

数列的应用题
【复习要求】
1．阅读与数列相关的实际问题，并能够从中归纳、提炼出数列问题模型.
2．能灵活应用等差数列、等比数列基础知识，求出数列问题的解.
3．增强用数学的意识和解决实际问题的能力.
【基础知识】
1．某种细菌在培养过程中，每20分种分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖成（ ）
A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个
2．弹子跳棋共有60颗大小相同球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子共有（ ）
A．0颗 B．4颗 C．5颗 D．11颗
3．西部某厂在国家积极财政政策的推动下，从1999年1月起，到2001年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列{an}，若逐月累计的产值Sn=a1+a2+…+an满足关系Sn=101an－36，则该厂的年递增率为（精确到万分位）( )
A．12.66% B．12.68% C．12.69% D．12.70%
4．夏季山上的温度从山底起，每升高100降低，已知山顶处温度是，山底处温度是，则该山相对于山底处的高度为______
5．在制造纯净水的过程中，如果每增加一次过滤可减少水中杂质20%，那么要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为______
[基础知识]1.B 2.B 3.B 4.1600 5.14
【经典题析】
例1．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了它们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％，设某人年初被A、B两家公司同时录取.试问： (1) 若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？
(2) 该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么？
(3) 在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元?（精确到1元），并说明理由.
分析：（1）A公司的工资增长为等差数列，B公司的工资增长为等比数列；（2）比较两种数列10年工资总和的大小,即分别求两个数列的前n项和,再比较大小；（3）即求两个数列通项的差关于n的函数的最值.
解：(1)在A公司连续工作n年，则第n年的月工资为an＝1500＋230(n－1)＝230n＋1270(元)
在B公司连续工作n年，则第n年的月工资为bn＝2000(1＋)n－1＝2000×1.05n－1(元)
(2)在A公司连续工作10年，则其工资总收入为
S10＝[12×(1500＋1500＋9×230)×10]＝304200(元)
在B公司连续工作10年，则其工资总收入为
S'10＝＝30420(元)
S10＞S'10,故仅从工资收入总量来看，该人应该选择A公司.
(3)an－bn＝230n＋1270－2000×1.05n－1 记为f(n)
要使得f(n)最大，需满足f(n)＞f(n－1)且f(n)＞f(n＋1)
于是f(n)－f(n－1)＞0 Þ 1.05n－2＜2.3；f(n＋1)－f(n)＜0 Þ 1.05n－1＞2.3
解得：1＋log1.052.3＜n＜2＋log1.052.3
经计算得lg2.3＝0.3617,lg1.05＝0.0212
从而得：18.07＜n＜19.07，n＝19
∴ f(n)max＝f(19)＝230×19＋1270－2000×1.0518 ≈826(元)
例2 。某一电视频道在一天内有次插播广告的时段，一共播放了条广告，第一次播放了1条和余下的条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第次播放了余下最后的条（），
（1）设第次播放后余下条，这里，，求与的递推关系式；
（2）求这家电视台这一天播放广告的时段与广告的条数.
分析：第次播放了： ， 因此
解：（1）依题意有 第次播放了：，
因此
（2）因为

因为 ，所以
用错位相减法求和得
因为，故，而，则，即
演变：某运动会开了天（，共发出枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的，第二天发出2枚加上余下的；如此持续了天，第天发出枚.该运动会开了多少天？共发了多少枚奖牌？
演变：6和36
计算机装置
m
n
J1
J2
C

例3．如图是一个计算机装置示意图，J1，J2是数据入口处，C是计算机结果的出口，计算过程是由J1，J2分别输入自然数m和n，经过计算后得自然数由C输出．此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
①若J1，J2分别输入1，则输出结果为1；
②若J1输入任何固定自然数不变，J2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；
③若J2输入1，J1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍．
试问：（1）若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？
（2）若J2输入1，J1输入自然数m，输出结果为多少？
（3）若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？
分析：本题的信息量大，粗看不知如何入手，若仔细观察装置的构成，我们发现可以把条件写成二元函数式，并把它看作某一变量的函数，抽象出等比数列或等差数列的模型．
解：设f(m，n)=k，由题意，f (1，1)=1，f (m，n+1)=f(m，n)+2，f(m+1，1)=2f(m，1)． （1）在f(m，n1)=f(m，n)+2中，令m=1，则f(1，n+1)=f(1，n)+2，由此可知：f(1，1)，f(1，2)，f(1，3)，…，f(1，n)，…，组成以f(1，1)为首项，2为公差的等差数列，所以有f(1，n)=f(1，1)+2(n-1)=2n-1．
（2）因为f (m+1，1)=2f (m，1)，于是f (1，1)，f (2，1)，…，f (m，1) ，…，组成以f (1，1)为首项，2为公比的等比数列，所以有 f (m，1)=f (1，1)·2m-1=2m-1．
（3）因为f(m，n+1)=f(m，n)+2，所以f(m，1)，f(m，2)，f(m，3)，…，f(m，n)，…，组成以f(m，1)为首项，2为公差的等差数列，所以有 f(m，n)=f(m，1)+2(n-1)= 2m-1+2n-2．
输入
输出
打印
结束
Yes
No

演变：（2001年上海高考题）对任意函数，可按图示构造一个数列发生器其工作原理如下：
①输入数据，经数列发生器输出；
②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依次规律继续下去.现定义.
（1）若输入，则由数列发生器产生数列.请写出数列的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数，均有，求的取值范围.
演变：（1）数列的所有项仅有三项，它们是，
（2）当时，；当时，.
（3）.
例4.某人年初向银行贷款10万元用于购房.
（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
（Ⅱ）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？
解：（Ⅰ）若向建设银行贷款，设每年还款x元，
则105×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋…＋x
即：105×1.5＝10x＋45×0.05元解得x＝≈12245(元)
（Ⅱ）若向工商银行贷款，每年需还y元，则：
105×(1＋4%)10＝y(1＋4%)9＋y(1＋4%)8＋…＋y(1＋4%)＋y
即105×1.0410＝·y
其中：1.0410＝1＋10×0.04＋45×0.042＋120×0.043＋210×0.044＋…≈1.4802.
∴y≈≈12330(元)
答：向建设银行贷款，每年应付12245元；若向工商银行贷款，每年应付12330元.
演变1.用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？
解：购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清，由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列
设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20
则：a1＝50＋1000×1%＝60元，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5元
……
a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5元
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有：
S20＝×20＝1105(元)
即