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《工程电磁场》讲稿补充：模拟电荷法简介
模拟电荷法简介
模拟电荷法是静电场数值计算的主要方法之一。类似于镜像法，模拟电荷法基于静电场的惟一性定理，将导体电极表面连续分布的自由电荷用位于导体内部的一组离散的电荷来替代（例如在导体内部设置一组点电荷、线电荷或环电荷等），这些离散的电荷被称为模拟电荷。然后应用叠加定理，用这些模拟电荷的解析公式计算场域中任意一点的电位或电场强度。而这些模拟电荷则根据场域的边界条件确定，模拟电荷法的关键在于寻找和确定模拟电荷。
早在1950年，Loeb在研究棒形电极的电晕放电时，就用了一组虚设在电极内部的电荷来计算棒形电极对地的电场分布，他没有用计算机仅通过手算就完成了计算。到了20世纪60年代末期，M. S. Abou-Seada和E. Nasser借助计算机用模拟电荷法计算了棒形电极和圆柱形电极对地的电场分布。20世纪70年代以后，模拟电荷法在高电压工程的电场计算方面显示了很大的优点。首先H. Singer和H. Steinbigler将模拟电荷法用于二维和三维电场计算，获得了满意的计算结果。之后B. Bachmann将模拟电荷法用于计算具有表面漏电流的电场问题。后来模拟电荷法也被用于高电压电极系统的优化设计，例如通过修正原有电极的外形使电极表面的电场强度均匀分布或使电极表面的最大电场强度最小，以使绝缘材料得到充分利用。
从本质上看，模拟电荷法可以看作是广义的镜像法，但它在数值处理和工程实用方面远优于镜像法。
1．模拟电荷法的基本思想
模拟电荷法的基本思想就是在被求解的场域以外，用一组虚设的模拟电荷来等效代替电极表面的连续分布的电荷，并应用这些模拟电荷的电位或电场强度的解析计算公式来计算电场。模拟电荷的类型（例如点电荷、直线电荷、圆环电荷等）和位置是由计算者事先根据电极的形状和对场分布的定性分析所假设的，而模拟电荷的电荷值则由电极的电位边界条件通过解线性代数组确定。当模拟电荷的电荷值确定后，场中任意一点的电位或电场强度就可以通过叠加定理由这些模拟电荷的电位或电场强度的解析计算公式进行计算。因此，模拟电荷法的理论基础是静电场的惟一性定理。
2．模拟电荷方程组的建立
在场域外（电极内部）设置n个模拟电荷Qj (j=1, 2, …, n)，在给定电位边界条件的电极表面上选定n个电位匹配点，显然，各匹配点上的电位值j0j (j=1, 2, …, n)是已知的。根据叠加定理，对应于所有的n个匹配点，可以逐一地列出由设定的n个模拟电荷所建立的电位表达式，即
(1)
式中， Pij为第j个单位模拟电荷在第i个匹配点上产生的电位值，它与第j个模拟电荷的类型和位置以及第i个匹配点和场域的介电常数有关，而与第j个模拟电荷的电荷值无关，通常称为电位系数。
3．模拟电荷方程组的求解

针对具体问题列出模拟电荷的线性代数方程组（1）以后，就可以用高斯列主元消去法求解模拟电荷的电荷值Qj (j=1, 2, …, n)。
4．模拟电荷的校验与确定
然而，尚不能用这些模拟电荷直接计算场域任意一点的电位或电场强度，必须检验这些模拟电荷产生的电位是否满足电极表面上非匹配点的边界条件。为此在电极表面上另外选取m个电位校验点，电位校验点一般选在两个相邻的电位匹配点中间。用模拟电荷对每个电位校验点的电位进行计算，即
（2）
将各个电位校验点的电位值jk (k=1, 2, …, m)与给定的已知电位值j0k (k=1, 2, …, m)相比，如果二者的差值满足
（3）
式中D为由计算者预先确定的计算误差，则由式（1）解出的模拟电荷的电荷值有效，即可以应用这些模拟电荷来计算场域中任意一点的电位或电场强度。如果式（3）不满足，则应该对第一次假设的模拟电荷的类型、位置、个数做适当调整，重新计算式（1）和式（2），直到式（3）满足要求为止。
综上所述，模拟电荷法的主要步骤如下：
（1）根据对电极和场域的定性分析和经验，确定一组模拟电荷的类型、位置和数量；
（2）根据电极表面的几何形状，选定与模拟电荷数量相同的电极表面电位匹配点，然后建立模拟电荷的线性代数方程组；
（3）解模拟电荷的线性代数方程组，求解模拟电荷的电荷值；
（4）在电极表面另外选定足够数量的电位校验点，校验电极表面的电位计算精度。如果不符合要求，则重新修正模拟电荷的类型、位置、或数量，再行计算，直到达到所要求的计算精度为止。一般经过几次修正即能达到要求；
（5）按所得的模拟电荷用解析计算公式计算场域内任意一点的电位或电场强度。
5．模拟电荷与匹配点的选择
在模拟电荷法中，模拟电荷的选定是相当随意的。这时计算者的直观经验的判断将起到重要作用。计算者一般按场分布的特点，选择模拟电荷的类型、位置和数量，以求使所设置的模拟电荷的整体在给定电极表面的总电位有可能满足电极表面的等电位要求。
模拟电荷与电极表面匹配点的布置对于计算精度有很大的影响。在具体应用时，通常由于匹配点位于电极表面，所以应首先选定电极表面匹配点的位置，然后再决定相应模拟电荷的位置。经验表明，遵循以下原则是合宜的：
（1）在电场急剧变化处或在所关心的场域附近，电极表面匹配点和模拟电荷可以分布密些，但在电极表面的角点处一般不应设置匹配点。
（2）模拟电荷宜正对电极表面匹配点放置，并以落在与电极表面内的垂线上为佳。此外，若设模拟电荷到电极表面的垂直距离为a，对应电极表面匹配点左右相邻两个匹配点之间的距离为b，则根据经验，二者之间的比值a/b取0.2-1.5，通常取0.75。
（3）模拟电荷的设定不是越多越好，因为在数值计算中，数值解的误差不仅与离散误差相关还与电位系数矩阵的条件数有关。当电极表面匹配点的数量增多时，虽然离散误差似有所减小，但是同时也导致电位系数矩阵中相邻两行或相邻两列之间的元素数值相近，因而使电位系数矩阵的行列式的值很小，也就是说，使电位系数矩阵的条件数增大，即导致所谓“病态”线性代数方程组。这将引起计算时的舍入误差和数字有效位相减误差的增加，影响计算精度。所以，需要综合考虑。
6．常用的模拟电荷及其解析计算公式
常用的模拟电荷类型有点电荷、直线电荷和圆环电荷。这些电荷既可以应用于三维电场计算也可以应用于二维电场计算。下面，只讨论二维电场计算中应用的典型电荷。
（1）二维平行平面电场中的模拟电荷
在二维平行平面电场中，惟一可以采用的模拟电荷是图1所示的无限长直线电荷。若设y=0为电位参考点，则该对线电荷在任意点A处产生的电位为
（4）
对应的电位系数为
（5）
电场强度为
（6）
（7）

图1 一对等值异号的无限长直线电荷
（2）二维轴对称电场中的模拟电荷
在二维轴对称电场中，可以采用的模拟电荷有点电荷、直线电荷和圆环电荷，相关的电位、电位系数和电场强度解析计算公式如下：
l 点电荷
图2所示的点电荷q在任意点A处产生的电位为

（8）
对应的电位系数为
（9）
电场强度为
（10）
（11）

图2 点电荷
l 直线电荷
图3所示长度为l的直线电荷t在任意点A处产生的电位为
（12）
式中，，。对应的电位系数为
（13）
电场强度为
（14）
（15）

图3 直线电荷
l 圆环电荷
图4所示为半径为R、电荷量为q的圆环电荷，在任意点A处产生的电位为
（16）
式中

K(k)为第一类完全椭圆积分，即
（17）
对应的电位系数为
（18）
电场强度为
（19）
（20）
式中

E(k)为第二类完全椭圆积分，即
（21）

图4 圆环电荷
7．模拟电荷法的典型算例
（1）球-板电极的电场【参考倪光正《工程电磁场原理》（第二版）第98页例2-16】
图5所示为一个球-板电极结构，导体球的半径为1m，球心到接地导体板的距离为5m，球上电位为100V。应用模拟电荷法计算电场分布，并求球-板之间的电容值。

图5 球-板电场
应用模拟电荷法求解，使用两个模拟电荷q1和q2，将q2放置在球心上，即y2=5m；q1放置在导体球的球心对接地导体板镜像位置时对导体球内的反演点上，即y1=5-1/10=4.9m。同时，为了考虑接地导体板的情况，再考虑两个模拟电荷q1和q2的镜像电荷。电位匹配点分别选在导体球的下端点A和上端点B。通过求解模拟电荷的线性代数方程组，得
，
取C点为电位校验点，其电位计算值为99.9V。导体球表面电位的相对误差为0.1%。满足工程计算要求。球-板之间的电容值为

8．优化模拟电荷法
通过上面的讨论，不难看出模拟电荷法简单、直观，能较有效地满足计算工程中的电场问题。但是，电场的计算精度主要取决于计算者的经验。为了克服这个不足，后来在模拟电荷法的基础上，又发展出来了优化模拟电荷法。
优化模拟电荷法是模拟电荷法与优化算法相结合的成果，在确定模拟电荷的类型和数量后，通过优化算法，自动调整和改变模拟电荷的位置和电荷值来满足电极表面电位匹配点的边界条件。下面，通过一个棒-板电极的电场计算为例，简述优化模拟电荷法的基本过程。
图6所示为棒-板电极系统，圆棒导体的半径为R＝0.1m，棒的端部为半径为R＝0.1m的半球导体，距接地导体板的高度为G＝0.5m。设导体圆棒的电位为1V。
图6 棒-板电极系统

应用优化模拟电荷法计算电场分布。使用三个模拟电荷，即一个点电荷q0和两个半无限长的线电荷t1和t2。设点电荷q0在z轴上的坐标位置为z0，两个半无限长的线电荷t1和t2起始端点的坐标分别为z1和z2。在圆棒导体表面选m=100个电位匹配点（在优化模拟电荷法中，电位匹配点的数量可以远大于模拟电荷的数量），构造如下以模拟电荷的位置坐标和电荷值为自变量的目标函数，即
(22)
式中，j0i是圆棒导体表面第i个电位匹配点上的已知电位值，jci是圆棒导体表面第i个电位匹配点上用模拟电荷计算的电位值。点电荷和半无限长线电荷的位置坐标满足如下的约束条件（以确保优化过程中，模拟电荷始终在圆棒导体内部），即
，，
采用优化算法，得[q0，t1，t2，z0，z1，z2]=[0.688，-0.218，0.359，5.889，8.932，7.604]。经验证计算结果具有极高的计算精度。
需要说明的是，目标函数还可以有其他的形式。无论是模拟电荷法还是优化模拟电荷法，模拟电荷的类型、位置、电荷值的不是惟一的。尽管如此，均可以获得相当高计算精度的计算结果。
崔 翔 第 8 页 2024-10-7