代数式知识点、经典例题、习题及答案.doc

1.2 代数式
【考纲说明】
1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。
2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。
【知识梳理】
1、 代数式：指含有字母的数学表达式。
2、 一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。
3、 代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
4、用字母表示数的规范格式：
（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“.”来代替。
（2）、 当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100•a，na或n•a。
（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（ 5s ）时
（4）、 除法运算写成分数形式 。
（5）、 带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。
5、列代数式时要注意：
（1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”。
“倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。
（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。
（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。

【经典例题】
【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（ ）

【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。
答案：D
【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 .

【解析】由中点四边形的性质可知每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的，故后一个矩形的面积是前一个矩形的，所以第n个矩形的面积是第一个矩形面积的，已知第一个矩形面积为1，则第n个矩形的面积为。
【例3】按一定规律排列的一列数依次为…，按此规律，第7个数是 。
【解析】先观察分子：都是1；再观察分母：2,3,10,15,26，…与一些平方数1,4,9,16，…都差1,2=12+1，3=22-1，10=32+1，15=42-1，26=52+1，…，这样第7个数为。
答案：

【例4】已知：，则的值为（ ）
A．6 B．--6 C． D．
【解析】由已知，得，
∴答案A
【课堂练习】
1、（2012湖北武汉，9，3分）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=（n为不小于2的整数），则（ ）
A． B. C. D.
2、（2012四川宜宾，5，3分）将代数式的形式为（ ）

3、（2012安徽5，4分）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（ ）

4、（2012浙江丽水，10，3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律。图1中棋子围成三角形，其颗数为3,6,9,12，…称为三角形数，类似的，图2中的4,812,16…称为正方形数。下列数中既是三角形数也是正方形数的是（ ）

A．2010 B. 2012 C. 2014 D. 2016
5、（2012四川成都，21，4分）已知当x=1时，的值为 。
6、（2012河北，17，3分）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报 ，…这样得到的20个数的积为 。
7、（2012辽宁沈阳，15，4分）有一组多项式：，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 。
8、（2012山西，16，3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 （用含n的代数式表示）。

9、（2012河北，18，3分）用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为 。

10、（2012山东潍坊，17，3分）图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1+35+7+…+（2n-1）= 。（用n表示，n是正整数）

11、（2012浙江宁波，20，6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）、第5个图形有多少颗黑色棋子？

（2）、第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由。

12、（2012湖南益阳，19，10分）观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x。

【课后作业】
一、选择题
1. （2007，白银）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）

甲
乙
A．
B．
C．
D．
2. （2008，重庆）某商场2006年的销售利润为，预计以后每年比上一年增长b%，那么2008年该商场的销售利润将是（　　）

A． B． C． D．
3. 如图，阴影部分的面积是（　　）
A． B．
C． D．
4.（2007，襄阳）某商品原价为元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价，后因市场物价调整，又一次降价，降价后这种商品的价格是（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
5.（2007，郴州）目前，财政部将证券交易印花税税率由原来的1‰(千分之一)提高到3‰.如果税率提高后的某一天的交易额为亿元，则该天的证券交易印花税（交易印花税=印花税率×交易额）比按原税率计算增加了（ ）亿元
A．‰ B. 2‰ C. 3‰ D.4‰
6. 为了吸收国民的银行存款，今年中国人民银行对一年期银行存款利率进行了两次调整，由原来的提高到．现李爷爷存入银行万元钱，一年后，将多得利息（ ）万元．
A． B． C． D．
7.（2008，荆门）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方
y
x
形的面积是144，小正方形的面积是4，若用x，y表示矩形的长和宽（x＞y），则下列关系式中不正确的是（　　）
A．x+y=12 B．xy=2
C．xy=35　　　　　 D．x＋y=144
8. 用代数式表示“的3倍与的差的平方”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9.（2009，乐门）在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两个天平都平衡，则一个苹果的重量是一个香蕉的重量的（ ）
A．倍　 B．倍
C．倍　 D．倍

10. （2009，太原）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
11. 如果ab<0，那么下列判断正确的是（　　）．
A．a<0，b<0 B． a>0，b>0 C． a≥0，b≤0 D． a<0，b>0或a>0，b<0
二、填空题
12. 一盒铅笔12支，n盒铅笔共有 支．
13.（2002，株洲）针对药品市场价格不规范的现象，药监部门对部分药品的价格进行了调整．已知某药品原价为a元，经过调整后，药价降低了60%，则该药品调整后的价格为_______________元．
14. （2007，鄂尔多斯）在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图（1）），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2）），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的
乘法公式是 （用字母表示）．
图（1）
图（2）

15.（2007，呼和浩特）一根钢筋长米，第一次用去了全长的，第二次用去了余下的，则剩余部分的长度为 米．（结果要化简）
a
b
b
a
a
b
b
a
甲
乙
16.（2007，云南） 一台电视机的原价为元，降价4%后的价格为_________________元．
17.（2007，湖州）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：．你根据图乙能得到的数学公式是　　　 　．
18.（2008，青海）对单项式“”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了千克，共付款元．请你对“”再给出另一个实际生活方面的合理解释： ．
图1
图2
19.（2009，广安）为了增加游人观赏花园风景的路程， 将平行四边形 花园中形如图1的恒宽为a米的直路改为形如图2恒宽为a米的曲路， 道路改造前后各余下的面积（即图中阴影部分面积）分别记为S1和S2，则S1________S2（填“>”“=”或“<”）．
20.（2009，海南）“的2倍与1的和”用代数式表示是 ．
21.（2009，宁德）张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y= ．
22.（2012湖南）用代数式表示“a与b的和”，式子为 ．
23.（2011，衡阳） 如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成．

(1)
(2)
(3)
……

24.（2009，上海）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品现在的价格是 元（结果用含的代数式表示）．
25.（2009，云南）一筐苹果总重千克，筐本身重千克，若将苹果平均分成份，则每份重__________千克.
26. （2010，长春）为了帮助玉树地区重建家园，某班全体师生积极捐款，捐款金额共3200元，其中5名教师人均捐款元，则该班学生共捐款　　　 　元（用含有的代数式表示）．
27. （2012，海南）某工厂计划天生产60件产品，则平均每天生产该产品__________件．
28. （2010，嘉兴）用代数式表示“a、b两数的平方和”，结果为　　 　　．
29. （2010，湖南）如果用s表示路程(单位：千米)，t表示时间(单位：小时)，v表示速度(单位：千米/时)，那么t= 小时 （用s和v表示）．
30. （2010，咸宁）惠民新村分给小慧家一套价格为12万元的住房．按要求，需首期（第一年）付房款3万元，从第二年起，每年应付房款0.5万元与上一年剩余房款的利息的和．假设剩余房款年利率为0.4%，小慧列表推算如下：

第一年
第二年
第三年
…
应还款（万元）
3

…
剩余房款（万元）
9
8.5
8
…

若第年小慧家仍需还款，则第年应还款 万元（＞1）．

【参考答案】
【课堂练习】
1、A 2、B 3、B 4、D 5、66、217、
8、4n-2或2+4（n-1） 9、610、n2
11、（1）第5个图形有18颗黑色棋子。（2）第670个图形有2013颗黑色棋子。12、（1）题图②：5，题图③：170、10、17
（2）题图④：
题图⑤：
解得：。
【课后作业】第1题：D第2题：B第3题：Ａ第4题：C第5题：B第6题：B
第7题：D第8题：A第9题：B第10题：A第11题：D第12题：第13题：
第14题：（或）
第15题：第16题：（1–4%）元或0.96元
第17题：
第18题：某人以5千米/时的速度走了小时，他走的路程是千米（答案不唯一）
第19题： =第20题：第21题：5x＋10第22题：a+b
第23题：3n＋1第24题：第25题：
第26题：第27题：第28题：第29题：
第30题：（填或其它正确而未化简的式子也给满分）