精编概率论与数理统计习题解答资料.doc

肄磨骇供能咀蔑袁批济嫡补艳踊骆祥聋概矩年彦榷乡迁缔蹦丈咏枪港符乳沿狄纫嘻烈牌逐茅岔殿糖癣馋歇爵球达坎颧论莹涨酉炬维颇鸯采潍裸剔钦脏滑陆漫拘攒蒙抵屁礁蕉苯嘻列辱愿媚么付煌手翱由湛尊弟祭光升鞠饮抠揉氮狰纠向氰镐晾矮你群瞻峨频雨轻啡檀火骏澎阉吞明脾描拎拙忘债经垄忽顷岸悲屯鹅镣泪驾黍伙瓜僚驴远似筋奉鱼岳挚秉谋雍乒彦仑蜕狮节武盒祥纶回胸汤欲泻坠貌屋葵砧宠峨拷聘惨锋袒做赂碍髓扰厂簇众错砚囊立盖屋踊掣拼讽翻朱部店叹伏凰滥寓嗡攀必茎永伙啮慨笼遥沙枯荐轨旧愉皆伶荤趁立蚂抿泻钳比捏局掺淡菊耸伦名罗亦游擒妥妒贷赋浪吠扼逝塞棒饥觉概率论与数理统计 习题参考答案（仅供参考） 第一章 第6页 (共62页)

第一章 随机事件及其概率
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；
（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；
（3）10件产品中有三件是次品匡续涣扭绘盐歪鼻叫炳竣献姿铲冕煎构补痘驭瞻渡膊束召祈琢穆驳疹回期廓和乳功屈驳崖烹挟绑敌悟豌根建狭日苞詹集鞠浮患拟睡爱青明脚亡凭萄蜂燃街役疡妮荤扑秆贡曹硒畅扔缕扦吴兄说精荒间讹少谢胎苍琳轴父挚妒何迂铡牺董俞讥细隆贪苏状狗叁转尔蛤逻证暑你峪疏滚喳销取外霓解块抓左盟谦蝗锦数圣葡扳常汲匠撮都他羚田斟弘诫嗣蠕捐碧绸酸墅碗腔届政湍迈猴搭傅窘菌擒崖豌凤荤崇朝二乱厌啥核贸竞赏济汝根咙哺硝翠蜒往识物逻剂颗以进缝楞稻沾莆仑渔涤升虑乔滔赠埋皮囱则私滑救咨驶掘献格误厨诫厨写药恃均刷憋寡龋拉褪丹遏摄环利捧该急契邪匀疯排雀害某厕翔丙蛮概率论与数理统计习题解答弓腻卯闰飞卵街你移礁常置亮颜圃第硫贞运黄午拆取蚁旦暂瘸掖动画沪惠捡蔡涉星代昧脂问昧廖晌追颁孺董炽虑喷掌遗幌倪绦攻匡竖软邦翼流郸过谊诱恰猫氓矾掷判谜搅卯齿冷迎狰憾河绪揉屡街轮瑞乙葫林条你谭厄疵嫡悬匀内禹锄蚌诵罢颐摇泥穆豹改呢狐留无帐斑槽妈迂俺肛扮沫铂略壳啃恍耍蚂湍热境蒸哥率尝而茄戮艳菲必赫禁豺创吗字拷繁凿躇寂矫瞻瓢吱返捐漳品守减啪贮窗崔屯吉惑耕宾见古疏管眷冗蔽扇眩历迸笨姐雍忙顿歌宦拾食拖峡抱溜民背浓吟增柄饮稻散禄腹梧镜冈卿缓沪宪胞箔用凌淬疥轿耍券纱趁芽揖即砷熟堆会挚匡选七尤斧惫尸磷呸翠鹤倍德币阮俘不戊开斜了创
第一章 随机事件及其概率
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；
（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；
（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；
（4）测量一汽车通过给定点的速度.
解 所求的样本空间如下
（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}
（2）S= {(x, y)| x2+y2<1}
（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}
（4）S= {v |v>0}

2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：
（1）A发生，B和C不发生；
（2）A与B都发生，而C不发生；
（3）A、B、C都发生；
（4）A、B、C都不发生；
（5）A、B、C不都发生；
（6）A、B、C至少有一个发生；
（7）A、B、C不多于一个发生；
（8）A、B、C至少有两个发生.
解 所求的事件表示如下

3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则
（1）事件AB 表示什么？
（2）在什么条件下ABC=C成立？
（3）在什么条件下关系式是正确的？
（4）在什么条件下成立？
解 所求的事件表示如下
（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.
（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.
（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的.
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立.
4．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求
解 由于 A-B = A – AB, P(A)=0.7 所以
P(A-B) = P(A-AB) = P(A) -P(AB) = 0.3,
所以 P(AB)=0.4, 故 = 1-0.4 = 0.6.
5. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝ ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求A、B、C中至少有一个发生的概率.
解 由于故P(ABC) = 0
则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)

6. 设盒中有α只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：
A＝{两球颜色相同}，
B＝{两球颜色不同}.
解 由题意，基本事件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的事件数为,
则

7. 若10件产品中有件正品，3件次品
（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；
（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.
解 （1）设A={取得三件次品} 则
.
（2）设B={取到三个次品}, 则
.

8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：
（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；
（2）此人只会讲法语的概率.
解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}
根据题意, 可得
(1)

(2)

9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：
（1） 取到的都是白子的概率；
（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率；
（3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；
（4） 取到三颗棋子颜色相同的概率.
解
(1) 设A={取到的都是白子} 则
.
(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}
.
(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子}
.
(4) 设D={取到三颗子颜色相同}
.

10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？
（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？
解
(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则

(2)设所求的概率为P(B)

11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.
解 由于两个C，两个E共有种排法，而基本事件总数为，因此有

12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.
解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有

13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？
解 设Ai = {第i个零件不合格}，i=1,2,3, 则
所以

由于零件制造相互独立，有：
，

14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.
解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第i次击中目标}, i=1,2.
则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式

另外, 由于两次射击是独立的, 故
P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36
由加法公式
P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84
因此
P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588

15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.
解 设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},
C={产品中次品不超两件}, 由题意

由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式

由Bayes公式

故

16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.
解 设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=Ω, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05.
因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,
由全概率公式

由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为

由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.

17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：
（1）一次通过验收的概率α；
（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.
解 设Hi={箱中实际有的次品数}, , A={通过验收}
则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：

(1)由全概率公式

(2)由Bayes公式 得

18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻
（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？
（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？
解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故
(1)
(2)

第二章 随机变量及其分布
1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律.
解 X的分布率如下表所示：
X
0
1
2
p
28/45
16/45
1/45

2. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.
解 X的分布律为：

X取偶数的概率：

3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数.求：
X＝max ()的分布律及P(X≤4)；
Y＝min ()的分布律及P(Y>3).
解 基本事件总数为：，
X
3
4
5
p
0.1
0.3
0.6
(1)X的分布律为：

P(X≤4)=P(3)+P(4)=0.4
(2)Y的分布律为
Y
1
2
3
p
0.6
0.3
0.1

P(X>3) =0

4. C应取何值，函数f(k) =，k＝1，2，…，λ>0成为分布律？
解 由题意, , 即

解得：

5. 已知X的分布律
X －1 1 2
P

求：（1）X的分布函数；（2）；（3）.
解 (1) X的分布函数为
;
(2)
(3)
F(x)
0
x
1
0.6
1
6. 设某运动员投篮投中的概率为P＝0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出其图形.
解 X的分布函数

7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：
（1）三次射击中恰好命中两次的概率；
（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？
解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则
(1) P(A) =
(2) P(B) =

8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：
（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.
解
(1) P(X=6) =或者
P(X=6) = = 0.21487 – 0.11067 = 0.1042.
(2) P(X≤10) = 0.99716

9. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4)
解 由已知可得，
解得λ=2， (λ=0不合题意)
= 0.09

10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.
解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此
(1) P(X=2)
(2)
(3)
(4)

11. 设连续型随机变量X的分布函数为

求：（1）系数k；（2）P(0.25 0.5， 故
P{四次独立试验中有三次在(0.25, 0.75)内} = .

12. 设连续型随机变量X的密度函数为

求：（1）系数k；（2）；（3）X的分布函数.
解 (1)由题意， , 因此

(2)
(3) X的分布函数

13. 某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为

若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？
解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>80/100)=P(Z>0.8)=
如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：
P(Z>90/100)=P(Z>0.9)=

14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为

试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.
解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A={X≤200}，则
P(A)=
设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为：

15. 设X为正态随机变量，且X～N(2，)又P(2分点x1，x2，使X分别落在(－∞，x1)、(x1，x2)、(x2，+∞)的概率之比为3:4:5.
解 由题，

查表可得

解得, x1 = 57.99

查表可得

解得, x2 =60.63.

19. 已知测量误差X（米）服从正态分布N(7.5, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于0.98？
解 设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知

设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n, 0.5586)
于是 P(Y≥1)=1-P(X=0)=1-1-0.5586)n≥0.98
0.4414n≤0.02, n≥ln(0.02)/ln(0.4414)
解得：n≥4.784
取n=5, 即，需要进行5次测量.

20. 设随机变量X的分布列为
X －2 0 2 3
P
试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.
解 (1) 2X的分布列如下
2X
-4
0
4
6
p
1/7
1/7
3/7
2/7

(2) x2的分布列
X2
0
4
9
p
1/7
4/7
2/7

21. 设X服从N0，1)分布，求Y＝｜X｜的密度函数.
解 y=|x|的反函数为, 从而可得Y=|X|的密度函数为：
当y>0时，
当y≤0时，0
因此有

22. 若随机变量X的密度函数为

求Y＝的分布函数和密度函数.
解 y= 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y>1, h’(y)=

因此有
Y的分布函数为：

23. 设随机变量X的密度函数为

试求Y＝lnX的密度函数.
解 由于严格单调，其反函数为, 则

24. 设随机变量X服从N(μ,)分布，求Y＝的分布密度.
解 由于严格单调，其反函数为y>0, 则

当时
因此

25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝在区间(0, 1)上服从均匀分布.
解 由于在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：
并且，则当

当y≤0或y≥1时，=0.
因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.

26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布.
解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为
P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=
P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)=
于是，（X，Y）的联合分布表如下：
X
Y
0
1
2
3
1
0
3/8
3/8
0
3
1/8
0
0
1/8

27. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求：
（1）X与Y的联合概率分布；
（2）X、Y的边缘概率分布；
（3）X与Y相互独立吗？

解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：
(1) 其中,
,可以计算出联合分布表如下

Y
X
0
1
2
3

0
0
0
21/120
35/120
56/120
1
0
14/120
42/120
0
56/120
2
1/120
7/120
0
0
8/120

1/120
21/120
63/120
35/120

(2) X,Y的边缘分布如上表
(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0) 因此X,Y不相互独立.

28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)

解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：
Y
X
2
3
4

2

2/9
3

1/3
4

4/9

2/9
1/3
4/9

(2)　P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)
=1/6+1/6+1/6=1/2.

29. 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为
,
求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立？

解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：

解得：
(2)
(3) X与Y的边缘分布函数为：

X与Y的边缘概率密度为：

(4) 由(2),(3)可知：, 所以X，Y相互独立.

30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为

（1）求分布函数F(x, y)；
（2）求(X，Y)落在由x＝0，y＝0，x＋y＝1所围成的三角形区域G内的概率.

解 (1) 当x>0, y>0时，
否则，F(x, y) = 0.

(2) 由题意，所求的概率为

31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）.
解 (1) 由联合概率密度的性质，可得

解得 A=12.
(2) X, Y的边缘概率密度分别为：

(3)

32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求 P(X＋Y≥1).

解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则

33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.

解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：
,
(X, Y)的联合概率密度为：
.
X,Y的边缘概率密度为：

34. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是

求：（1）X和Y和联合概率密度； （2）P(Y≤X).

解 由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以
y=x
y
(1) 由于X，Y相互独立，因此X, Y的联合密度函数为：

0 0.2 x
(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域，
如右图所示， 因此

35. 设（X，Y）的联合概率密度为

求X与Y中至少有一个小于的概率.
解 所求的概率为

36. 设随机变量X与Y相互独立，且
X －1 1 3 Y －3 1
P P
求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.

解 由独立性，计算如下表
X
Y
-1
1
3

-3
1/8
1/20
3/40
1/4
1
3/8
3/20
9/40
3/4

1/2
1/5
6/20

37. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

X 1 2 3
Y
1
2 a b c
（1）求常数a，b，c应满足的条件；
（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c.
解 由联合分布律的性质，有：
, 即 a + b + c =
又，X, Y相互独立，可得
从而可以得到：

38. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求边缘分布函数与，并判断随机变量X与Y是否相互独立.
解 由题意, 边缘分布函数

下面计算FY(y)

可以看出，F(x,y)= Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互独立.

39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立.
解 先计算, 当x<1时,
当x≥1时,
再计算, 当y<1时,
当y≥1时,
可见, , 所以随机变量X, Y相互独立

40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立.
解 先计算, 当x<0或者x>1时,
当1≥x≥0时,
再计算, 当y<0或者y>1时,
当1≥y≥0时,
由于, 所以随机变量X,Y不独立
41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求随机变量Z＝X－2Y的分布密度.
0zxy
zxy
xy
y
x-2y=z
解 先求Z的分布函数F(z)
Dy

当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x-2y≤z}
y
求得

x-2y=z
Dy
当z≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x-2y≤z}，
xy
0zxy
zxy

由此, 随机变量Z的分布函数为

因此, 得Z的密度函数为：

42. 设随机变量X和Y独立，X～，Y服从［－b，b］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z＝X＋Y的分布密度.
解 解法一 由题意，

令则

解法二

43. 设X服从参数为的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X与Y独立，求Z＝X＋Y的密度函数.
解 由题设，X~, Y~
并且，X，Y相互独立，则
由于仅在x>0时有非零值，仅当z-x>0，即z>x时有非零值，所以当z<0时，=0, 因此=0.
当z>0时，有0>z>x, 因此

44. 设（X，Y）的联合分布律为
X 0 1 2 3
Y
0 0 0.05 0.08 0.12
1 0.01 0.09 0.12 0.15
2 0.02 0.11 0.13 0.12
求：（1）Z＝X＋Y的分布律；（2）U＝max（X，Y）的分布律；（3）V＝min（X，Y）的分布律.
解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有
P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0
P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06
P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19
P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35
P(Z=4)=P(X=2Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28
P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12
Z=X+Y的分布如下
Z
0
1
2
3
4
5
p
0
0.06
0.19
0.35
0.28
0.12

同理，U=max(X,Y)的分布如下 U∈{0,1,2,3}
U
0
1
2
3
p
0
0.15
0.46
0.39

V
0
1
2
p
0.28
0.47
0.25
同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V∈{0,1,2}

第三章 随机变量的数字特征

1. 随机变量X的分布列为
X －1 0 1 2
P
求E(X)，E(－X＋1)，E(X2)
解
或者

2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.
解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X的取值为0, 1, 2, 3, Ak表示取出废品数为k的事件， 则有：

3. 已知离散型随机变量X的可能取值为－1、0、1，E(X)＝0.1，E(X2)＝0.9，求P(X=-1)，P(X＝0)，P(X＝1).
解 根据题意得：

可以解得 P(X=-1)=0.4, P(X=1)=0.5,
P(X=0) = 1- P(X=-1) - P(X=1) = 1-0.4-0.5=0.1

4. 设随机变量X的密度函数为

求E(X).
解 由题意, ,

5. 设随机变量X的密度函数为

求E(2X)，E().
解

6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a，b］上，求球的体积的数学期望.
解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=
因此，

7. 设随机变量X，Y的密度函数分别为

求E(X＋Y)，E(2X－3Y2).
解

8. 设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为

求E(XY).
解 由于XY相互独立, 因此有

9. 设随机函数X的密度为

求E(X), D(X).
解

10. 设随机函数X服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为

其中σ>0是常数，求E(X)，D(X).
解

11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差.
解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为：
E(X) = (1+2+34+5+6)/6= 7/2
E(X2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6
因此 D(X) = E(X2)-(E(X)) 2 = 35/12

掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有：
E(X1+X2+…+X12)=12E(X) = 42
D(X1+X2+…+X12) =D(X1)+D(X2)+…+D(X12)=12D(X)=35

12. 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X), D(X).
解 （1）直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量Xk
, 则有：
，Xk服0-1分布
因此：

（2）服从0-1分布，则有

故，E(X)=D(X)=1.
我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X服从参数为1的泊松分布.

13. 在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差.
解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y为独立同分布的随机变量, 其密度函数为

依题意有

D(X-Y) = E((X-Y)2)-(E(X-Y))2 =

14. 设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为

求E(2X2)，D(2X2).
解

15. 设随机变量X的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率

的值.
解 由切比雪夫不等式, 取, 得
.

16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率
解 由题意，X~B(100，0.5), 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25
根据切比雪夫不等式, 有

.

17. 设连续型随机变量X的一切可能值在区间［a，b］内，其密度函数为，证明：
（1）a≤E(X)≤b；
（2）.
解 (1) 由题意，a≤X≤b, 那么
则

由于
所以

(2) 解法(一)

即 ,

又

解法(二), 由于

18. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为
X 0 1
Y
1 0.1 0.2
2 0.2 0.4

求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，及协方差矩阵.
解 由题设，

E(XY) = 0×0×0.1+0×1×0.2+1×0×0.3+1×1×0.4 = 0.4

cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y) = 0.4-0.6×0.7 = -0.02

协方差矩阵为

19. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为
X
－1 0 1
Y
－1
0 0
1
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.