带状态观测器的控制系统综合设计与仿真样本.doc

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带状态观测器的控制系统综合设计与仿真
一、 主要技术参数:
1.受控系统如图所示:

U(s)
X1(s)
X2(s)
X3(s)=Y(s)

图1 受控系统方框图
2.性能指标要求:
( 1) 动态性能指标:
超调量 ;
超调时间 ;
系统频宽 ;
( 2) 稳态性能指标:
静态位置误差( 阶跃信号)
静态速度误差( 速度信号)
二、 设计思路
1、 按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型。
2、 对原系统在Simulink下进行仿真分析, 对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较。
3、 根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点。
4、 假定系统状态均不可测, 经过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构。
5、 经过状态反馈法对系统进行极点配置, 使系统满足要求的动态性能指标。
6、 合理增加比例增益, 使系统满足要求的稳态性能指标。
7、 在Simulink下对综合后的系统进行仿真分析, 验证是否达到要求的性能指标的要求。
三、 实验设计步骤
I 、 按照极点配置法确定系统综合的方案
1、 按图1中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型
① 列写每一个环节的传递函数
由图1有:

②叉乘拉式反变换得一阶微分方程组
由上方程可得

即

拉式反变换为

输出由图1可知为

③用向量矩阵形式表示

2、 对原系统在Simulink下进行仿真分析, 对所得的性能指标与要求的性能指标进行比较
原受控系统仿真图如下:

图2 原受控系统仿真图
原受控系统的阶跃响应如下图:

图3 原受控系统的阶跃响应曲线
很显然, 原系统是不稳定的。
3、 根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点
由于原系统为三阶系统, 系统有3个极点, 选其中一对为主导极点和, 另一个为远极点, 而且认为系统的性能主要是由主导极点决定的, 远极点对系统的影响很小。
根据二阶系统的关系式, 先定出主导极点。

式中, 和为此二阶系统的阻尼比和自振频率。
能够导出:
①由, 可得, 从而有, 于是选。
②由得

③由和已选的得, 与②的结果比较。这样, 便定出了主导极点
远极点应选择使它和原点的距离远大于的点, 现取, 因此确定的希望极点为

4、 确定状态反馈矩阵K
由步骤1所得状态空间方程知, 受控系统的特征多项式为

而由希望的极点构成的特征多项式为

于是状态反馈矩阵为

5、 确定放大系数L
由4知, 对应的闭环传递函数为

因此由要求的跟踪阶跃信号的误差, 有

因此

对上面的初步结果, 再用对跟踪速度信号的误差要求来验证, 即

显然满足的要求, 故。
对此系统进行仿真

图4 受控系统的闭环系统仿真图
仿真结果如下:

图5 闭环系统的阶跃响应曲线
局部放大图:

图6 闭环系统阶跃响应曲线局部放大图
由仿真图得: , , 均满足要求。
6、 画出对应的能控规范性的闭环系统方块图
已知

其中, 可设

对应的规范型状态方程为

再考虑输入放大系数, 最后得能控规范型的闭环系统方框图如下:

图7 能控规范型的闭环系统方框图
上述导出的闭环系统方框图是对应能控规范型得到的。
7、 确定非奇异变换矩阵P
将原受控系统的传递函数方框图表示成下图的形式.

图8 受控系统的方框图
按上图选择状态变量, 列状态空间方程

即为

根据系统的能控性判据判断系统的能控性

则

由上式知, 原系统是完全能控的。
若做变换, 那么就可建立起给定的( A,B,C) 和能控规范型之间的关系式,,。

8、 确定相应于图9的受控系统的状态反馈矩阵K
状态反馈矩阵为

极点配置的Matlab程序如下:
A=[-5 0 0;1 -10 0;0 1 0];b=[1;0;0];c=[0 0 1];
pc=[-7.07+7.07i,-7.07-7.07i,-100];
K=acker(A,b,pc)
运行结果为:
K =
1.0e+003 *
0.0991 0.4726 9.9970
9、 画出对应于图8形式的受控系统的闭环方框图
受控系统的闭环方框图如图9示。

图9 相应于图8受控系统的闭环方框图
仿真图形为:

图10 受控系统的闭环仿真图

图11 闭环系统的阶跃响应曲线
由图可显然看出:

即满足性能指标要求。
II、 观测器的设计
假定系统状态均不可测, 经过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重构
1、 确定原系统的能观性
根据给定的受控系统, 求能观测性矩阵及能观测性的秩

则

又因之前以求得系统是完全能控的, 因此系统即完全能控、 又完全能观测。因此, 系统的极点能够任意配置。
2、 计算观测器的反馈矩阵G
该设计中系统的极点为

取观测器极点,是观测器的收敛速度是被控系统收敛速度的3倍。如果仅仅对闭环极点乘以3, 则阻尼比和最大超量不变, 而系统上升时间和稳定时间将缩小到原来的。因此, 选择

由所取极点, 可的相应的闭环系统的特征多项式为

于是状态反馈矩阵为

非奇异变换矩阵为

状态反馈矩阵为

因此

因此观测器状态方程为

3、 画出带观测器的状态反馈系统的闭环图
带观测器状态反馈的闭环系统方框图如图12所示。

图12 带观测器的状态反馈系统
由上面计算得出的带观测器状态反馈的闭环系统方框图如下

图13 带观测器状态反馈的闭环系统方框图
4、 在simulink 环境下对控制系统进行仿真分析

图14 带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线
各状态阶跃响应曲线

图15 各状态阶跃响应曲线
四、 参考书目
1、 《自动控制原理》 主编: 李素玲 胡建 出版社: 西安电子科技大学出版社
2、 《现代控制理论》 主编: 王金城 出版社: 化学工业出版社
3、 《现代控制理论》 主编: 于长官 出版社: 哈尔滨工业大学出版社
4、 《控制系统的MATLAB仿真与设计》 主编: 王海英 袁丽英 吴勃 出版社: 高等教育出版社
5、 《MATLAB 7辅助控制系统设计与仿真》 主编: 飞思科技产品研发中心 出版社: 电子工业出版社
6、 《MATLAB控制工程工具箱技术手册》 主编: 魏巍 出版社: 国防工业出版社
7、 《控制系统设计与仿真》 主编: 赵文峰 出版社: 西安电子科技大学出版社

五、 设计总结与心得体会
不知不觉两周的课程设计已经结束了, 在这两周的设计中, 用到了所学的知识包括了《自动控制原理》、 《现代控制理论》、 《控制系统仿真》等。在设计过程中, 我也知道了必须把所学的各个知识点有机的结合起来, 才能得出理想的结果。
说实话, 在最初在拿到课题的时候, 心里暗暗地高兴, 心想这么简单的题目, 几天就能解决了, 谁知真正设计起来后才知道并没有想象中的简单, 每次参数的选定后, 按理论是能够满足设计要求的, 可是最终仿真分析时, 不是超调量不合适就是峰值时间不能满足要求, 但最后还是在经过不断地调试后选出了 合乎要求的所有参数。在整个实际过程中, 也不乏小小的成功喜悦。
在设计过程中, 我认为第3步的确定期望极点是不容易的, 按理论上设计的极点按道理应该是满足要求的, 但在按所选参数完成设计后才发现性能指标不能满足指定的要求。
在第四步的经过状态反馈对系统进行极点配置时, 按照《现代控制理论》上的方法确定K, 但在实际设计中发现用,Matlab编程更容易实现, 中间的计算也就节省了大量的时间。
整个课程设计过程了, 心中有种说不出的喜悦, 可能是对付出的汗水的认可。课程设计让我学会了学以致用, 仔细想想, 一学期下来, 学的东西还不如这两周的设计。在这次设计中让我认识到做任何事情都应该认认真真, 脚踏实地, 积极思考, 不能急于求成。

附录: Matlab程序及曲线图
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%The original system
a=[-5 0 0;1 -10 0;0 1 0];
b=[1;0;0];
c=[0 0 1];
d=[];
cam=ctrb(a,b);
rcam=rank(cam)
oam=obsv(a,c);
roam=rank(oam)
step(a,b,c,d);
hold on;
grid on
%The system after state feedback
pc=[-100,-7.07+7.07i,-7.07-7.07i];
kc=place(a,b,pc)
a0=a-b*kc;
k0=dcgain(a0,b,c,d);
b0=b;
c0=c/k0;
d0=d;
figure(2)
step(a0,b0,c0,d0);
hold on
grid on
%The design of observor
po=[-21,-21,-300];
ko=[75520 8086 327];
G=ko'
al=a-ko'*c0;
a2=[a0 -b*kc;zeros(size(a)) al];
b2=[b0;zeros(size(b))];
c2=[c0 zeros(size(c))];
figure(3)
step(a2,b2,c2,d);
A=a2;
onediag=eye(6);
x0=[1;1;1;1;1;1];K=1;B=b2;
ABK=inv(A)*B*K;
for t=0:0.005:1
expmat=expmdemo3(A*t);
Xt=expmat*x0; %Xt=expmat*x0+(expmat-onediag)*ABK;
hold on;
plot(t,Xt(1),'d',t,Xt(2),'*',t,Xt(3),'o',t,Xt(4),'^',t,Xt(5),'+',t,Xt(6),'x');
axis([0 1 -16 8])
hold on;
grid on
end
xlabel('times'),ylabel('states vatiables')
legend('y','x1(t)','x2(t)','x3(t)','x4(t)','x5(t)','x6(t)')

附图1 原系统阶跃响应曲线

附图2 经状态反馈后的闭环系统阶跃响应曲线

附图3 带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线

附图4 带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线局部放大图