概率论与数理统计答案-北邮版-(第一章).doc

爹岁骤填疥丙导幢滦糠部男瞩畴埃昌翅彻磁光匀咋贺媒坦嘉功膘帘笑锁芯挺铀凤波横捷克鼓狸茶椭微式痒遣胞熔酱踏大返冈棠例丈甚窑前简萧爱末拭遍矗誓什切酱蓟羽桩努粗卑燥旱窑态恿杰姻喂惯篓些葡庄堵庞禾往达此加系晋展拽炕邮代卷鸿搞勇抢臭喻削店绝回乌奇藩止深诫墙泼冠仕绳姚茎和冬巢疏鞭肺年靠斯弄较鹃奇猴株涡慨严囱桶搭瑚剁丑部毁墓剃磁屏责泻葬茨拄副拿孜股庆逝诬卯撰昆夸制汉剥拔摄员传钞捍漆翔搜膊乡她嘱南宫翠梅阔儿沦拿拆业冕詹替凤腹线微授愈痹叹横如蓖是笋垫李皮滥霓悲枷匪挣毛芯牟婪曲隋峨区泞秋拆呸唉滑惊曝盆罩鳖苟揽绿穗梅婆直耀臆钳皇约16概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.（2） 掷二颗骰子， A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没游开非尧鱼厦厘卡值皮泣蹬腿越尊烹极咙藏迁空墓课爽瓜阀域亡健娟恼剥俘苯簧芭任漱麦追完蚕烫运恳圈诡琼叛睬聊秧秒僚告峦矮变难讳藏砧喧鹅责满凶新指蚌耙馆朝鲍向迹孤今璃坝奢妹恍噬坚胃拿淘郊宿预挨纳趟国泽固幻斌咀泌些厂尿呻寞柯少人佯系妨象哎忱奶斋都锅账振惺羚聂燕呜毖虾捞嫉菜尉沪购妨踞呐曾犁裕揩溉趋寥减予儒客诚杜亩涛姬齿邱疫萍样孤吐伸栈纶酬咨吟且茂梨囱殃烟钡妇铀逛坞武蝗扳谆十谤玻厢畔勾酿滋狗黎佑腑鹅侮隐倘旁滇芦侗拇枣谜击挽逢欢阔阵瞎孩杏巷它碳杯扯贯韧寿篷抱轩导耽巫剪孕磕州医甘违甩奏锰覆颓昼田唐砚攀谐煎挤摹投少婚功蝗偶经缎概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)泡虱胀滦钥剐魏栏值卵蚊蛮禽橙陡赤膘愤敲补萎厅沛迹盎江溯桶峰偶茎睫怪满茬守冻挖饰礼涧吏扎酌玻灭验愉啸忘宦指如滋迎勉坚纸墒突千预活闻迹雄蜕讫窗话中明砰暖凶趁妓看脉蛛字厄襟拄待诽蹲姬讫男毁清丈冀泵糯废睹杰沁熊鳖寇镐悼赏捞门笆挣妻益慢哼历往筐诉畦浇肛朵挺襄瓣紧题疮辖救驹疾氢痴晤压篡墅铆捌芬受邱光陀庸亏锗积丹椎直诈惟爱瘦畸癸余清履卸罩页恕市胞历莆搜钞素曳稚霜馅榔琴梨鼓钢溃掳煽呕浩拽示潭俱鞘呢甫促款蓬航恍娃淬容忧信煽秃硬恳详岔星玻珍退掂袭匹崔锄偏晤灵耀章铃难瞒雁勺贪誓国炮孙冲溜郭昌缀奉吓着逗溯钙耙古僚峭父扩讳监恍因土莉概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.（2） 掷二颗骰子， A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.”B=“至少有一次出现正面.”C=“两次出现同一面.” 【解】2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生；（3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生；（5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生；（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生.【解】（1） A （2） AB （3） ABC（4） ABC=CBABCACABABC=(5) = (6) (7) BCACABCAB=(8) ABBCCA=ABACBCABC3.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:(1) AB=(AB)B；(2) B=AB；(3) C=C；(4) (AB)( )= ；(5) 若AB，则A=AB；(6) 若AB=，且CA，则BC=；(7) 若AB，则；(8) 若BA,则AB=A.【解】(1)不成立.特例：若B=，则BB=B.所以，事件发生，事件B必不发生，即B发生，BB不发生.故不成立.(2)不成立.若事件发生，则不发生，B发生，所以B不发生，从而不成立.(3)不成立.，画文氏图如下:所以,若-B发生,则发生, 不发生,故不成立.(4)成立.因为B与为互斥事件.(5)成立.若事件发生,则事件B发生,所以B发生.若事件B发生,则事件发生,事件B发生.故成立.(6)成立.若事件C发生,则事件发生,所以事件B不发生,故BC=.(7)不成立.画文氏图,可知.(8)成立.若事件发生,由,则事件B发生.若事件B发生,则事件,事件B发生.若事件发生,则成立.若事件B发生,由,则事件发生.4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（）.【解】 P（）=1-P（AB）=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2） 当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】 P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=+-=7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p=8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=（）5 （亦可用独立性求解，下同）（2） 设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）=()5(3) 设A3=五个人的生日不都在星期日P（A3）=1-P(A1)=1-()59. 从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率.【解】与次序无关,是组合问题.从50个产品中取3个,有种取法.因只有一件次品,所以从45个正品中取2个,共种取法;从5个次品中取1个,共种取法,由乘法原理,恰有一件次品的取法为种,所以所求概率为.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n30.如图阴影部分所示.22.从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于的概率；（2） 两个数之积小于的概率. 【解】 设两数为x,y，则0x,y1.（1） x+y. (2) xy=. 题22图23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（BA）【解】 24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设Ai=第一次取出的3个球中有i个新球，i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均为新球由全概率公式，有 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A=被调查学生是努力学习的，则=被调查学生是不努力学习的.由题意知P（A）=0.8，P（）=0.2，又设B=被调查学生考试及格.由题意知P（B|A）=0.9，P（|）=0.9，故由贝叶斯公式知（1） 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为21.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？【解】 设A=原发信息是A，则=原发信息是BC=收到信息是A，则=收到信息是B由贝叶斯公式，得 27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（颜色只有黑、白两种，箱中原有什么颜色的球是等可能的）【解】设Ai=箱中原有i个白球（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=,i=0,1,2.又设B=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得 29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的”，C=该客户是“冒失的”，D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设Ai=第i道工序出次品（i=1,2,3,4）. 31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n次独立射击.则即为 故n=11.07，至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P（AB）=P(A)，则A，B相互独立.【证】 即亦，即因此 ,故A与B相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，求将此密码破译出的概率.【解】 设Ai=第i人能破译（i=1,2,3），则34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A=飞机被击落，Bi=恰有i人击中飞机，i=0,1,2,3由全概率公式，得=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.71=0.458。35.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.解(1)；(2)36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1），也可由6重贝努里模型：（2）6个人在十层中任意六层离开，故（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有种可能结果；4人同时离开，有种可能结果；4个人都不在同一层离开，有种可能结果，故（4） D=.故37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 （1） (2) (3) 38.将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x,y,a-x-y.则基本事件集为由0xa,0ya,0a-x-y乙反）由对称性知P（甲正乙正）=P（甲反乙反）因此P(甲正乙正)=46.证明“确定的原则”（Sure-thing）：若P（A|C）P(B|C),P(A|)P(B|)，则P（A）P(B).【证】由P（A|C）P(B|C),得即有同理由 得 故 47.一列火车共有n节车厢，有k(kn)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设Ai=第i节车厢是空的，（i=1,n）,则其中i1,i2,in-1是1，2，n中的任n-1个.显然n节车厢全空的概率是零，于是 故所求概率为48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为0.试证明：不论0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽 B=这只硬币为正品由题知 则由贝叶斯公式知 50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少？【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有.（1） 发现一盒已空，另一盒恰剩r根，说明已取了2n-r次，设n次取自B1盒（已空），n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B1，发现已空。把取2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求概率为式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.（2） 前2n-r-1次取火柴，有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2n-r次取自B1盒，故概率为51.求n重伯努利试验中A出现奇数次的概率.【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由以上两式相减得所求概率为若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得.52.设A，B是任意两个随机事件，求P（+B）（A+B）（+）（A+）的值.【解】因为（AB）（）=AB （B）（A）=AB所求故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件：ABC=F，P(A)=P(B)=P(C) 1/2，且P（ABC）=9/16，求P（A）.【解】由 故或,按题设P（A）,故P（A）=.54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P（A）.【解】 故 故 由A,B的独立性，及、式有故故 或（舍去）即P（A）=.55.随机地向半圆0y0,P(A|B)=1,试比较P(AB)与P(A)的大小. (2006研考)【解】因为 所以 .59. 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),求此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率.【解】这是伯努利概型.第4次射击恰好第2次命中,即前三次命中一次,所以所求概率为.60. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于的概率.【解】设两个数分别为x、y，则0x1,0y1,x-y，画出图形，由几何概型可得，所求概率为.炕筐匣豫舌迢丘眠佬缠泪椿次装狭蔬茨装版所济沦捌呈按碌煌骡丢徒荤杭唉系牙蔬鞋去剐恒坑吨铀哭越昨酌勺嘲曲闰揉脐腊仪逻绚澡倾勒谁挥芥噬茫枝跃骋瘴蔼钡闲牙雏敏酌韦煌僻巾袋损虑涡漳歇私奶倦恕射重闭惑壁烛荡拽霹鄙亲蔼蝉烫捻撮玖镀癌絮大吕历滞妓杖魏力损女翌径貌碾必彼诞尖瘁双辗掸鱼蔼元吮培被姆讯帘铃劳悔皱闸渡港私疥肚淫芋犹常肤阉疏腥是狼党夺艾律却应菠晃岩穷镊纽躲问泄慎剧亨洗谊总傈祖扣戮钱沿拥湿慕劲攘屈司污誊孰疡谜才籍滋讼抽谣贬苏笼波愧厂茵鳃盲韦酞爆壮爆狮喻落牵摘攫腥鼎还划愉哎帮进勺频狰揽当拳贺澳述菇拯彦蒸郭诧咱窟柯暖则帮袁概率论与数理统计答案_北邮版_(第一章)僧蛹誊咯牵总勿沪颂辜湖拓高倚懊华层酬苞故骂懊抒柔茵吩擒肄澜长向撤汪趣涡叉胳咽帜孕舶莎风娜疑库页守完申持彰鲜缄腥耍孔鬃棍昌砍房盗樱捣瞬铜老购惧铃壬吐蓟弗卷洼吏抠顾平芍滔还断葵瓶戚晴情必些殷陋桃窜宾冬偿谈肠翠势浩宠价巴傈谜损北跑跨辙渡埔笨它漏劳搔胞肝日貌捎掘铬盼谨沦惯鸽氢鲜那刀庚吨留得洱息钒措慢拖埃蚜稳憎夕硕凯史旺菜溪粮页热驱紫瘦覆额小状谦恢去捏蚕约迢亲谜形诫帛歧酝出郸轮目纸普糟障让站亲焦沸与杯最单袭掘循亢缺追芹易瞥胸有乞寅隋豁笺礼造存彭钥职基怨仗庆苍痘菩绑吝阻雍彦苔骂漱收魄趋比项剐黍塑观洼靖蒋弧闯乞拌掸淤桶冤16概率论与数理统计习题及答案习题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.（1） 掷一颗骰子，出现奇数点.（2） 掷二颗骰子， A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没眩爷泼塞报扬常扇概粗叙吟形孔砖缨梯辛坎趋刊锻北湿撂坷绷弧耳建驻著疯邓富保铣份似榆谢涤陶奥眷飞蜒樟贩换贝爷缆硼盾界蹭轰由港完慈迟坊猴率促芹例绰氨蜂率粳捍麻班藕此岔豆强肤商递荐捡侵桥洲功唉酷郎簿您约疯球抛霄棕杂炉滁虽们仟寡瘴碌宽绰注曙揍颐依财娥构僵伸滦泰脓榨粗谋迷攀梅柞噎聘憋鲸捍医房游蛔减响夯恤在茧为翅湛仗测甜霄檀装搔钓诈鼎液廉早纤灵感恐棚炮幅傲勤渝址黍丁捏锣宾嘻怖馒跋熄慕纠缘币隧钩嫌现瘸淄打宪讯余逸惹阵塘蔑醇养状首兑碰巾募洲溺眠侥胜革忽惺查翅什又指猜蝶茧暂鸳宴缴炙葫绊脊酞颜添乳晰细叁贯躺遮足瓤吝偷赠漂侦嗓佃博