1、实验一 LMMSE估计在信道均衡中的应用
一、 实验目的
1. 熟练掌握LMMSE的原理及应用；
2. 在给定的问题背景条件下，通过仿真实验根据观测信号估计输入信号，从而加深对LMMSE估计的理解。
二、 实验原理
Bayes估计需要已知后验分布函数，而最大似然估计则需要已知似然函数。但是，在很多实际情况下，它们是未知的。另外，最大似然估计会导致非线性问题，不容易求解。因此，不需要先验知识、并且容易实现的线性估计方法就显得十分有吸引力。线性均方估计（LMS）和最小二乘估计（LSE）就是这样两类参数估计方法。在这里，介绍的就是采用最小均方误差（MMSE）准则的线性最小均方误差（LM
2、MSE）估计。
1. 引言
MMSE准则下设计出的估计器通常非常复杂，不便于实现。为便于实现，要求待估计值与观测样本x之间满足线性关系，即：
l 为N*1维的观测数据矢量；
l 为P*1维的待估计随机参数矢量；
l 分别是待求的P*1维和P*N维系数矩阵。
2. LMMSE估计的求解：
以均方误差MSE为代价函数，计算使得均方误差最小时所求的最佳矩阵A、B与的一阶和二阶统计量之间的关系，
其中，若，则
当的先验信息未知时，通常假设，因此LMMSE估计通常以上式的形式出现。
进一步，若
3、则LMMSE退化为如下形式：
3. LMMSE估计的应用条件：
l 已知观测数据与待估计参数的一阶和二阶统计量。
l 待估计参数能够较好地由观测数据的线性组合描述。
4. 线性模型下的LMMSE估计
若X与可用线性模型来描述：
其中是零均值、协方差矩阵为的噪声矢量，且与不相关。则有及 、。
于是的LMMSE估计为
三、 实验内容
1．实验背景与任务
本实验考虑如图1所示的基带等效数据传输系统，发送符号经过ISI失真信道传输，叠加高斯加性白噪声。
图1 基带等效数据传输模型
发送信号采用QPSK调制，即。设ISI信道的冲激响应以向量的形式
4、表示为。本实验采用如下冲激响应：
为实部与虚部独立的复高斯白噪声，其均值为零，方差为。
本实验要求采用线性模型下的线性LMMSE估计方法，根据观测信号估计发送符号。
2. 实验过程
本实验采用Matlab仿真工具，具体实验步骤如下：
a) 首先产生0～3之间由自然数组成的=1000个随机数；
b) 其次将随机信号进行QPSK调制；
c) 再次，将已调QPSK信号过ISI失真信道，并叠加上信噪比为20dB的高斯白噪声，以此即可得到输出数据。高斯白噪声均值为0，协方差矩阵是幅值为0.01的单位阵；
d) 之后，根据上述所介绍的LMMSE算法，建立模型，得到系统传输矩阵，计算
5、输入输出互协方差矩阵及输出自协方差矩阵；最后，由于输入均值，则根据公式 可得到QPSK已调信号的估计序列。
四、 实验结果
1. 通过以上所述实验步骤，可以得到没有过信道且叠加噪声的QPSK原始已调信号的星座图，如图2所示：
图2 原始QPSK信号星座图
2. QPSK已调信号过信道，并叠加高斯白噪声后，得到混叠信号的星座图如图3所示：
图3混叠后的QPSK信号星座图
3. 采用LMMSE算法得到QPSK已调信号的估计序列，其星座图如图4所示：
图4 LMMSE估计所得QPSK信号星座图
4. 最后，计算实验误差，得到误差曲线如图5所示：
图
6、5 学习曲线
从实验结果的四幅图中可以看出，LMMSE估计可以利用观测数据较准确地估计出待估计参数。且实验过程中，所用观测数据不到50时，均方误差已收敛，收敛速度较快；均方误差大约在-20dB左右，收敛效果较好。但实验所用时间过长，不适合实时应用。
五、 总结
1. LMMSE估计不是一般MMSE估计，同时应用条件比较苛刻。必须得到信号的一阶和二阶统计特性，并且待估计量与观测样本满足线性关系。
2. 采用LMMSE，即线性最小均方估计法，在满足其应用条件的要求下，可以利用样本观测数据及待估计参数的一阶与二阶统计量估计出发送数据，即待估参数。LMMSE算法有一定的收敛性，能够使被混叠的信号与原始信号的均方误差最小。
3. 在本实验中，我遇到了一个困惑，就是当已调信号过ISI信道进行卷积后，已调信号长度增加，变为。之后截取信号，当我截取前个信号时，最后估计出来的信号其均值误差很大，几乎达到0dB，但是所得星座图与上述图4 LMMSE估计所得QPSK信号星座图相同。当我截取中间个信号时，按理说所得估计信号的均值误差应该最小，但是事实上，当我截取最后个信号时所得估计信号的均值误差最小，即为上图5所示，达到-20dB。
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