平面解析几何直线练习题含答案.doc

直线测试题
一．选择题（每小题5分共40分）
1. 下列四个命题中的真命题是（ ）
A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；
B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程
（y－y1）·（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示；
C.不经过原点的直线都可以用方程表示；
D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示。
【答案】B
【解析】A中过点P0（x0，y0）与x轴垂直的直线x=x0不能用y－y0=k（x－x0）表示，因为其斜率k不存在；C中不过原点但在x轴或y轴无截距的直线y=b（b≠0）或x=a（a≠0）不能用方程=1表示；D中过A（0，b）的直线x=0不能用方程y=kx+b表示.
评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围.
图1

2. 图1中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2
【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2＞α3，所以k2＞k3＞0，因此k2＞k3＞k1，故应选D.

3. 两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（ ）
A. A1A2＋B1B2＝0 B.A1A2－B1B2＝0 C. D.=1
【答案】A
【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－·（）＝－1，A1A2＋B1B2＝0.
当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，，
同样适合A1A2＋B1B2＝0，故选A.
法二：取特例验证排除.
如直线x+y=0与x－y=0垂直，A1A2＝1，B1B2＝－1，可排除B、D.
直线x=1与y=1垂直，A1A2＝0，B1B2＝0，可排除C，故选A.
评述：本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点，重点考查分类讨论的思想及逻辑思维能力.

4. 若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围：

∵交点在第一象限，∴ 即
解得k∈（，＋∞），
∴倾斜角范围为（）
法2：如图，直线2x+3y－6=0过点A（3，0），B（0，2），直线l必过点（0，－），当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果.

5. 设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA·x+ay+c=0与bx－sinB·y+sinC=0的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
【答案】C
【解析】由题意知a≠0，sinB≠0，两直线的斜率分别是k1=－，k2=.
由正弦定理知k1·k2=－·=－1，故两直线垂直.
评述：本题考查两直线垂直的条件及正弦定理.

6. 已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，）内变动时，a的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（） C.（，1）∪（1，） D.（1，）
【答案】C
【解析直线l1的倾斜角为，依题意l2的倾斜角的取值范围为（－，）∪（，+）即:（，）∪（，）,从而l2的斜率k2的取值范围为:（，1）∪（1,）.
评述：本题考查直线的斜率和倾斜角，两直线的夹角的概念，以及分析问题、解决问题的能力.
7. 若直线通过点，则（ ）
A． B． C． D．

【答案】D 本题是训练思路的极好素材，看能否找到10种解法？
8．已知点,直线将△分割为面积相等的两部分,则的取值范围是（　　）
A． B． ( C) D．
【答案】B

二．填空题（每小题5分，共30分）
9.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .
【解析】错解：设所求直线方程为，过点，则有

∴直线的方程为.
错因：少了直线经过原点的情况，故还有，即也适合题意.
10. 与直线平行，且距离等于的直线方程是 .
【解析】设所求直线方程为，则，解得或，∴直线方程为或.
11. 直线经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为 .
【解析】依题意，直线的斜率为±1，∴直线的方程为或，即或.
12. 在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），则点A和点C的坐标分别为 。
【答案】
13.光线自点射到点后被轴反射，则反射光线所在直线的方程为 .
【答案】
14．若的顶点，，，则的平分线所在直线方程为 ．
【解析】如图，在此对图形特征从不同角度给予分析以获得解题思路：
法1 AB的方程为，
AC的方程为

设直线AT的斜率为k，则用到角公式可得
，
解得或（舍去）
所以有。
法2 ，如图有，下略。
法3 取直线CA,TA,BA的方向向量分别为，则

法4 设AT上任意一点坐标为（a,b），则

检验，舍去一个即可。
三．解答题（满分30分）
15．（7分）已知点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半，求直线的斜率.
【解析】设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，依题意有
，
∴，即，
∴或.
由，得，有，
∴，∴直线的斜率为.

16. （7分）已知三条直线不能构成三角形，求实数的值.
【解析】依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，故或或，∴实数的取值集合是.
17. （8分）已知点，在直线上求一点P，使最小.
【解析】由题意知，点A、B在直线的同一侧.由平面几何性质可知，先作出点关于直线的对称点，然后连结，则直线与的交点P为所求.事实上，设点是上异于P的点，则.
设，则，解得，
∴，∴直线的方程为.
由，解得，∴.
18. （8分）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.

图7—13
【解析】（1）当1－2t＞0即0＜t＜时，如图7—13，点Q在第一象限时，此时S（t）为四边形OPQK的面积，直线QR的方程为y－2=t（x+2t）.令x=0，得y=2t2＋2，点K的坐标为（P，2t2＋2）

图7—14
当－2t+1≤0，即t≥时，如图7—14，点Q在y轴上或第二象限，S（t）为△OPＬ的面积，直线PQ的方程为y－t=－（x－1），令x=0得y=t+，点L的坐标为（0，t+），
S△OPL＝
所以S（t）＝

附加题（计入总分，每题5分，但总分不超过100分）：
1.已知长方形的四个顶点、、和，一质点从的中点沿与夹角为的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）.设的坐标为.若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【解析】用特例法，取，则、、、分别为、、、的中点，此时.依题意，包含的选项（A）（B）（D）应排除，故选（C）.

2. 在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，求△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数为 。
图7—2
【解析】法1：由y=10－x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－x（0≤x≤15，x∈N）所有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.
法2：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16×11=176.因此所求△AOB内部和边上的整点共有=91（个）

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