有限元基础(I).pdf

2019/5/71第三讲 有限元基础-CAE技术基础有限元分析及应用第1篇：有限元分析的基本原理 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 有限元分析的力学基础有限元分析的力学基础 第三章第三章 有限元分析的数学求解原理有限元分析的数学求解原理 第四章第四章 杆梁结构的有限元分析原理杆梁结构的有限元分析原理 第五章第五章 连续体的有限元分析原理连续体的有限元分析原理弹簧和弹簧系统弹簧和弹簧系统1 有限元法的基本概念有限元方法：Finite Element Method(FEM)有限元分析：Finite Element Analysis(FEA)一般意义上，有限元法是一种求解连续介质、连续场的力学和物理问题的数值方法，是工程分析和科学研究的重要工具。该方法的发展和推广应用与计算机密切相关。7070年代开始有限元软件在大型计算机上应用。年代开始有限元软件在大型计算机上应用。19751975年，年，300300个单元的模型，大约需要个单元的模型，大约需要3030个小时的机时，花费约个小时的机时，花费约3 3万美元。万美元。8080年代以后在工作站、微型计算机上应用，开始有前、后处理系统。年代以后在工作站、微型计算机上应用，开始有前、后处理系统。9090年代以后能够分析大型结构系统、解决复杂问题，在各行业普及。年代以后能够分析大型结构系统、解决复杂问题，在各行业普及。2 有限元法的基本思想单元可以有不同大小，形状和类型，单元可以有不同大小，形状和类型，可以求解复杂的工程和科学问题可以求解复杂的工程和科学问题。连续体连续体分割（离散）分割（离散）有限个、且按一定方式相互结合在一起有限个、且按一定方式相互结合在一起的小单元的组合体（单元之间在节点处的小单元的组合体（单元之间在节点处连接，问题的未知量由未知连续场函数连接，问题的未知量由未知连续场函数转化为未知节点位移）转化为未知节点位移）离散化离散化用该离散结构近似代替原来的连续体。用该离散结构近似代替原来的连续体。先求出各先求出各小单元的力学特性小单元的力学特性，然后求出，然后求出单元组合单元组合体体的力学特性，进而求出各节点位移和各单元应的力学特性，进而求出各节点位移和各单元应力力原问题的近似解。原问题的近似解。1）将结构划分成单元结合体离散化；2）建立单元上各种量之间的关系单元特性分析；3）将单元特性进行集成，获得结构的整体特性和平衡方程整体分析；4）解代数方程组求节点位移，求解单元应力应变；有限元法求解的步骤对于解决实际问题，第1步之前需要建立合理的力学模型，第4步之后需要对计算结果进行分析评估。2 有限元法的基本思想复杂几复杂几何区域何区域具有简单几何形具有简单几何形状状的单元的单元，也叫，也叫有限单元有限单元单元内的材料性质和控制方程通过单元内的材料性质和控制方程通过单元节点的未知量来进行表达单元节点的未知量来进行表达方程组方程组单元集成单元集成边界边界条件条件求解方程组得到该介求解方程组得到该介质行为的近似表达质行为的近似表达3 力学基础回顾 由由固体材料固体材料组成的组成的具有一定形状具有一定形状的物体在一定的物体在一定约束边界约束边界下（外力、下（外力、温度、位移约束等）将产生温度、位移约束等）将产生变形变形，该物体中任意一个位置的材料都，该物体中任意一个位置的材料都将处于复杂的受力状态之中。将处于复杂的受力状态之中。变形体（deformed body）在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做叫做变形体变形体，它它与材料的物理性质与材料的物理性质密切相关。密切相关。从几何形状的复杂程度来考虑，可分为从几何形状的复杂程度来考虑，可分为简单变形体简单变形体和和任意形状变形体任意形状变形体。材料力学、结构力学材料力学、结构力学弹性力学弹性力学 变形（deformation）2019/5/72 基本变量：位移（位移（displacement）、应变（）、应变（strain）、应力（）、应力（stress）在外部力和约束作用下的变形体在外部力和约束作用下的变形体位置的描述位置的描述形状改变的描述形状改变的描述力的描述力的描述材料的描述材料的描述 基本方程 受力状况的描述：受力状况的描述：平衡方程平衡方程 变形程度的描述：变形程度的描述：几何方程几何方程 材料的描述：材料的描述：物理方程物理方程（应力应变（应力应变关系或本构方程）关系或本构方程）边界条件：位移边界条件、力边界条件位移边界条件、力边界条件三类三类两个边界条件：弹性体的基本假设 物体内的物质物体内的物质连续性连续性假定：假定：物体内的物质物体内的物质均匀性均匀性假定：假定：物体内的物质（力学）特性物体内的物质（力学）特性各向同性各向同性：线弹性线弹性：小小变形变形：简化问题，抓简化问题，抓住问题实质。住问题实质。可采用可采用连续函数来描述对象连续函数来描述对象各个位置材料描述相同各个位置材料描述相同同一位置各个方向特性相同同一位置各个方向特性相同变形可恢复，描述材料性质的方程是线性的变形可恢复，描述材料性质的方程是线性的变形远小于几何尺寸，可忽略高阶小量变形远小于几何尺寸，可忽略高阶小量简单回顾 三大类变量三大类变量 三大类方程三大类方程 两类边界条件两类边界条件 五个简化条件五个简化条件位移、应变、位移、应变、应力应力平衡方程、几何方程、物理方程平衡方程、几何方程、物理方程位移边界条件、力边界条件位移边界条件、力边界条件连续性、均匀性、各向同性、线弹性、小变形连续性、均匀性、各向同性、线弹性、小变形有限元分析的数学求解原理*一般说来，求解方程的途径有两大类：一般说来，求解方程的途径有两大类：直接直接针对原始方程进行求解：针对原始方程进行求解：解析法、半逆解法、有限差分法等；解析法、半逆解法、有限差分法等；间接间接针对原始方程进行求解：针对原始方程进行求解：加权残值法、虚功原理、最小势能原理加权残值法、虚功原理、最小势能原理、变分方法等、变分方法等。求解方法优劣采用以下判断标准求解方法优劣采用以下判断标准：规范性规范性：不需要太多的经验和个人技巧；：不需要太多的经验和个人技巧；适应性适应性：可处理任何复杂的工程实际可处理任何复杂的工程实际问题；问题；可靠性可靠性：计算结果收敛、稳定、满足一定的精度计算结果收敛、稳定、满足一定的精度要求；要求；可行性可行性：计算工作量能和当时的计算条件相匹配。计算工作量能和当时的计算条件相匹配。4 弹簧单元和弹簧系统1一个弹簧单元一个弹簧单元的分析的分析2弹簧系统弹簧系统弹簧单元的刚度矩阵弹簧系统的总刚度矩阵弹簧单元刚度矩阵的特点应用举例如何求解系统的平衡方程弹簧单元的刚度方程弹簧是宏观上最简单的弹性元件。下面以系统中一个弹簧（单元）为研究对象。2个节点：节点位移：节点力：弹簧刚度：ji,jiuu,jiff,k则弹簧力位移之间的关系：kFijuu F弹簧力，拉伸为正弹簧伸长（1 1）弹簧弹簧单元单元分析分析2019/5/73考虑弹簧的特性和力平衡关系有：jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(写成矩阵形式：矩阵符号形式：弹簧单元刚度方程，单元特性jijiuukkkkffkdf（1 1）弹簧弹簧单元单元分析分析刚度方程讨论：1）k 有什么特点？jjjiijiikkkkkjijiuukkkkff上式中：fdk单元节点力向量单元节点位移向量弹簧单元的刚度矩阵对称、奇异、主对角元素恒正2）k 中元素代表什么含义？行、列kkkkk（1 1）弹簧弹簧单元单元分析分析弹簧系统：1）各单元的特性分别为：单元1：单元2：11111111222222223223kkufkkufukkfukkf（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析?单元号单元号节点号节点号2）按两种方法装配系统特性：方法1:按节点列平衡方程分别考虑节点1，2，3的力平衡条件（总节点力与节点外载荷的平衡）：（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析把单元特性代入322233222111221111)(ukukFukukkukFukukF11112222233FfFffFf11111111222222223223kkufkkufukkfukkf将上面的方程写成矩阵形式，有：或（系统的有限元平衡方程）FKDK 弹簧系统的结构总刚度矩阵（总刚）F 整体节点载荷列阵讨论：有哪些特点和性质？KD 整体节点位移列阵系统节点平衡方程节点载荷与节点总节点载荷与节点总内力的平衡内力的平衡（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析总刚度矩阵特征：对称、奇异、稀疏、非零元素呈带状分布1111112222223300kkuFkkkkuFkkuF方法2：单元刚度方程叠加a.将单元刚度方程扩大到整体规模：元素按总体节点序号重新排列，对号入座注意：1、单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系2、扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析1 2121 2 31232 3231 2 31232222223223ukkfukkf12222222233000000ukkufkkuf2019/5/741111112222223300kkuFkkkkuFkkuFb.将上面的矩阵方程叠加，得到：系统总节点力（内力）与节点位移的关系系统特性。c.代入节点平衡条件，得系统节点平衡方程：总刚度矩阵就是单元刚度矩阵扩大后的叠加（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析11112222233FfFffFf111111211222222223300kkufkkkkuffkkuf3)给定载荷和约束条件下的求解设边界条件为：则系统平衡方程为：PFFu3210（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析边界条件边界条件（Boundary ConditionBoundary Condition）位移边界条件位移边界条件 力的边界条件力的边界条件PP该方程展开后分为2个部分：未知量为2个节点位移和支反力32,uu1F解上面方程得：（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析 总结一下，总结一下，上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限上述弹簧系统的分析求解原理和过程就是有限元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理元法求解连续体力学问题时对离散后系统的分析求解原理和过程。和过程。（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析 离散化 单元特性分析-单元刚度矩阵 整体特性分析-总刚度矩阵 引入边界条件，求解例题1：弹簧系统已知条件：求：（a）系统总刚度矩阵（b）节点2，3的位移（c）节点1、4的反力（d）弹簧2中的力（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析解：（a）各单元的刚度矩阵为：（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析2019/5/75应用前面的叠加方法，直接得到弹簧系统的总刚度矩阵：则（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析由前面的做法，可得到弹簧系统的节点平衡方程：（b）先施加位移边界条件将带入平衡方程后，第2，3方程为：041 uu（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析求解得：（c)由第1，4个方程求得支反力(d)弹簧2内力222232()20032200()Fkk uuN（拉力）（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析作业作业：对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵（至少采用单元矩阵扩大相加法）。（2 2）弹簧弹簧系统系统分析分析P2P1本讲总结本讲总结1、弹簧单元刚度方程的建立、弹簧单元刚度方程的建立jiijikukuuukFf)(jiijjkukuuukFf)(jijiuukkkkffkdf 弹簧变形平衡弹簧变形平衡弹簧弹簧系统系统分析分析2、弹簧系统的、弹簧系统的集成集成1 1）列节点平衡方程法）列节点平衡方程法322233222111221111)(ukukFukukkukFukukFFKD单元特性系统节点平衡条件系统平衡方程2222223223ukkfukkf11112222233FfFffFf2019/5/76相相加加KeFKD系统节点平衡方程引入引入系统节点平衡条件2）单元方程扩大相加法）单元方程扩大相加法K11112222233FfFffFf12222222233000000ukkufkkuf111111211222222223300kkufkkkkuffkkuf