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两个重要极限的推广与应用

两个重要极限的推广与应用

摘要：极限在数学分析中占有很重要的地位，不但是一个基本的数学概念，而且也是数学分析的基石。两个重要极限又是极限中的重点和难点，所以对于我们数学专业的学生尤其的重要。我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能够熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。当然这部分内容学习起来有一定的难度，为了帮助同学们更容易掌握这部分内容，本文将结合实例对其进行深入分析，来探究两个重要极限的基本形式及其推广与应用。
关键词： 重要极限 推广形式 应用
Two important limits of popularization and application

Abstract: Limit in the mathematical analysis occupies a very important position, but a basic math concepts, but also the cornerstone of mathematical analysis. Two important limit and limit the key and difficult point for us, so mathematics majors is especially important We should not only remember two important limit and extending forms, but also can skilled using these formulae in solving the problems of the limit. Of course this section study up has the certain difficulty, in order to help the classmates much easier to master this section, the paper will be combined with its further analysis, to explore the basic form of two important limit its popularization and application. Keywords:Important limit Extended form application

极限在数学分析中占有很重要的位置，它贯穿了整个数学分析的内容，是积分和微分的基石，也是一个基本概念，而利用两个重要极限和来求极限是极限内容中的重点和难点。运用两个重要极限解某一类极限问题时不仅可以简化极限计算的步骤，节约时间，而且过程清晰明了，使人易懂。对于数学专业的学生，更应该熟练掌握这部分内容，并且能够灵活运用它。为了使大家更容易掌握这部分内容，本文将运用多个实例来对两个重要极限及其推广形式进行一些分析、归纳和探讨。
1.两个重要极限的基本形式及其推广形式
1.1 (1)
运用这个极限时我们一定要注意以下几个方面：
①分数线上面的x要与分数线下面的x要保持一致。
②公式中的x一般要趋近于0,并且要符合型的未定式。
③式子中的x不但可以表示一个未知数，而且可以代表一个式子。
④通过数学中的变量替换，我们知道当时可以推广为 (2)
⑤这一重要极限我们可以记做，其中代表一个未知量。
1.2 (3)
或 (4)
同样，在应用这个重要极限时我们也要注意几个方面：
①同（1）式中的x一样，此处的x可以表示一个未知数x，也可以表示一个式子。
②当时有 (5) 或当时有 (6)
③由②中可以看出此处的x可以趋近于0，也可以趋近于，但必须与（3）和（4）中保持一致。
④由（3）（4）（5）（6）我们可以看出公式中括号内加号后面的部分与括号外的幂次互为倒数，并且基本形式与推广形式都可以转化为这种类型的极限问题。
⑤类比于，这一重要极限我们可以记做，其中代表一个未知量。
2. 求极限时两个重要极限的具体应用
2.1 及其推广公式的应用
例1 求
分析：由公式（1）我们可以直接得到
解：
=5
例2 求
分析：观察题目我们看出，由于当x0时有3x0，如果我们把分母中的x变成3x就可以运用公式（2）来解这道题目，因此
解：
=
=
=3
例3 求
分析：在解这道题时我们要先利用三角函数把tanx转化为sinx,然后再把分子和分母都转化为公式中的形式，再利用上面给出的公式，这样就可以解决这道题目。
解：

例4 求
分析：观察题目我们可以看到，题中有，我们可以利用三角函数公式将其先转换成，然后再利用上面的推广公式就可以很顺利的解决这道题目了。
解：
=
=

例5 求
分析：通过观察可以看出，把分子上的未知数转化到分母上可以凑成推广公式的形式，再利用其就可以计算出该题。
解：

2.2 或及其推广公式的应用
例6求
分析：观察可以看出，先做一下等价变形，然后再利用基本形式就可以计算出答案。
解：

例8求
分析：通过观察我们可以看出，先运用三角函数的二倍角公式把分子和分母都转化为正弦函数，然后再把分子和分母分别凑成推广形式，再利用公式即可解出这道题。
解：
=

例7 求
分析：在解这道题时，我们要注意括号中1之后的符号是正号还是负号
解：

例8求
分析：通过题目我们可以观察出这道题可以转化为的形式，然后我们利用分离系数将其等价变形为我们熟知的求极限的形式，再利用上面的公式即可解决问题。
解：

例9求
分析：通过观察我们可以看出，该道题可以转化为的形式，我们利用分离系数把其转化为上面给出的形式，然后再利用公式即可解出。
解：

例10 求
分析：通过题目我们可以观察出这道题可以转化为的形式，然后我们利用分离系数将其等价变形为我们熟知的求极限的形式，再利用上面的公式即可解决问题。
解：
=
=
=
=
小结：通过以上的例题我们可以看出，在利用两个重要极限来计算极限的时候，我们经常运用的是其推广形式，这就要求我们在学习这部分内容时不仅要记住最基本的形式，而且要真正理解这两个重要极限的内涵，熟练运用其推广形式，不能只是死记硬背，生搬硬套，而是要能够做到举一反三，熟练掌握。
3. 微分学中两个重要极限的运用
极限在微分学中的应用很广泛，其中导数的定义就是由极限来定义的，而两个重要极限更是在推导一些重要极限的必备工具，比如说关于三角函数和幂函数导数的推导。
3.1
推导过程：由导数的定义我们可以知道

3.2
推导过程：由导数定义得

3.3
推导过程：由导数定义得

以上几个实例说明了运用两个重要极限可以推导一些基本导数公式，而且有时候求导数时必须用两个重要极限，比如说等用其他的方法就很难求出，可见两个重要极限的用处之广泛。
当然，两个重要极限的应用并不仅仅只有这些，比如在经济学中还有很广泛的应用，其实数学知识不在于举多少应用例子，关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值。

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