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第五讲 超静定结构设计理论
一、荷载平衡法概述
（一）荷载平衡法的基本概念
1、什么叫荷载平衡法？

图5.1 简支梁的受力状态
若，则为自平衡体系，构件为轴心受力构件没有反拱和挠度
我们称图5.1（a）为平衡状态，5.1（b）为不平衡状态。
注意：为了达到荷载平衡，简支梁两端的预应力筋中心必须通过截面重心，即偏心距必须为零，否则该端部弯矩将干挠梁的平衡，使梁仍处于受弯状态。
荷载平衡法就是选用一个预加力和它的曲线，使所产生的反向等效荷载正好与外荷载相等，即平衡掉外荷载。这种方法叫荷载平衡法。
2、荷载平衡法的优点：
①由于预加应力会对连续梁产生次弯矩，使得这种梁的分析变得比较麻烦。而荷载平衡法有如分析非预应力结构一样，避开了次弯矩问题。大大简化了预应力连续梁的分析。
②它为板、壳体、框架设计提供了一条特别简便的途径。
3、如何选择线?
线就是指预应力筋的截面几何重心线。从图5.2可知：
若要平衡掉均布外荷载，则线需布置成抛物线；
若要平衡掉集中外荷载，则线需布置成折线；
若要平衡掉均布＋集中外荷载，则线需布置成抛物线＋折线，依此类推。

图5.2 预应力筋线的选择
（二）荷载平衡法的设计步骤

图5.3 预应力混凝土连续梁
以图5.3为例，设计步骤如下：
1、首先按经验选择试算截面尺寸，由截面跨高比确定截面高度连续梁＝12~22，而截面高度与宽度之比2~2.5。
2、选定需要被平衡的荷载值

式中，选大了，易形成反拱，选小了，易挠曲。因此，我们一般取活载的准永久荷载，这样取值将使结构长期处于水平状态而不会产生挠度或反拱。
3、选定预应力筋束形和偏心距
根据荷载特点选定抛物线、折线等束形，在中间支座处的偏心距和跨中截面的矢高要尽量大，端支座偏心距应为零。如有悬臂边跨，则端部预应力筋线的斜率应为零，如图5.3或5.4所示。

图5.4 悬臂梁的线的布置
4、根据每跨需要被平衡掉的荷载求出各跨要求的预应力（初始张拉力），取各跨中求得的最大预加力作为整根连续梁的预加力。调整各跨的垂度使满足与被平衡荷载的关系。
5、计算未被平衡掉的荷载引起的不平衡弯矩，将梁当作非预应力连续梁按线性分析方法进行计算。
6、核算关键截面的应力：，若求得的顶、底纤维应力都不超过许可限值，设计可进行下去，否则要加大或改变截面。
7、修正图中理论束形，使中间支座处预应力筋的锐角弯折改为反向相接的平缓曲线，并核算这种修正给弯矩带来的影响。这种修改都将引起次弯矩，但这种弯矩对板的影响不大，可以忽略；对梁的影响有可能比较大。
二、线性变换和吻合束
（一）线性变换
1、概述
前面分析连续梁时，混凝土截面、预应力筋的面积、位置和预加力的大小都是已知或假定的，仅需计算混凝土的应力。
但对这种梁的设计，问题要复杂设多。设计主要是一种试算过程，其任务是求得最佳的尺寸和配筋。
线性变换的目的是通过线性变换，求得能满足要求条件的理论的吻合或非吻合束。
2、线性变换的概念

图5.5 线性变换

图5.5为一四跨连续梁，从图中可以看出：
在预加力单独作用下，预应力连续梁任一跨内反映压力中心线的C线和该跨内预应力筋的线具有相同的形态。C线系由线绕一端转动某一角度而得。
线性变换的意义：当预应力连续梁的线在各中间支座处的位置被移动而不改变该线（C线）在每一跨内的原有形态（包括曲率或弯折）时，称之为线性变换。这样，C线就可以说线的一条线性变换。它的理由是：引起C线与线性偏离的次弯矩，在任何两个相邻支座之间是线性变化的。
在连续梁中，任何线都可以线性变换到其它位置，但不改变原来C线的位置。也就是说，线的线性变换并不影响截面混凝土内的应力。
应该说明的是，尽管C线和综合弯矩均保持不变，但由预加力引起的主弯矩，次反力和次弯矩都是随线的线性变换而变化的。
3、线性变换定理
为了说明线性变换定理，先举两个例题分析来说明。
【例题1】已知一两跨等跨连续梁，跨度为10m，预应力筋线为两段抛物线，跨中垂度均为225mm，两端支座和中间支座的偏心矩为0，如图5.6（a）所示，预加力为800kN。试分析在预加力作用下连续梁的主弯矩、次弯矩、次内力及压力作用线（C线）位置。

图5.6 例题1图
解：设预应力连续梁的抛物线方程为：，则有：
，联立求解得：，，
则预应力连续梁的抛物线方程为： ，于是，，则

主弯矩如图5.6（b）所示，由主弯矩图可以求得等效荷载如下：
，将等效荷载反作用在连续梁上，得综合弯矩如下：

综合弯矩图如图5.6（c）所示，则次弯矩，次弯矩图如图5.6（d）所示，次内力图如图5.6（e）所示，预加力引起的压力作用线（C线）如图5.6（f）所示。
【例题2】如图5.7（a）所示，连续梁抛物线预应力筋的垂度也是225mm，但线与支座B截面的偏心矩为225mm。其它条件均与例题1相同，试分析在预加力作用下连续梁的主弯矩、次弯矩次内力及压力作用线（C线）位置。

图5.7 例题2图
解：设预应力连续梁的抛物线方程为：，则有：
，联立求解得：， ，c=0
则预应力连续梁的抛物线方程为： ，于是，
，则有：

主弯矩如图5.7（b）所示，由主弯矩图可以求得等效荷载如下：
，将等效荷载反作用在连续梁上，得综合弯矩如下：

综合弯矩图如图5.7（c）所示，则次弯矩，次弯矩图如图5.7（d）所示，次内力图如图5.7（e）所示，预加力引起的压力作用线（C线）如图5.7（f）所示。
通过分析比较前面两道例题，就不难得到下述线性变换定理。
线性变换定理：在连续梁中，任何线都可以线性变换到其它位置，但不改变原来C线的位置。这也就是说线的线性变换并不影响截面混凝土内的应力。
注意：
①从以上两道例题可以看出，尽管C线和综合弯矩均保持不变，但由预加力引起的主弯矩、次反力和和次弯矩都是随线的线性变换而变化的。
②为什么的线性变换不会改变预加力引起的C线？
从等效荷载的观点来看，这个理由是显而易见的。上述两根连续梁每跨的线的形状都是一样的，抛物线的垂度（矢高）均为225mm，它们的等效反向荷载并不因线的微小转动而改变，均为14.4kN/m。既然等效荷载相同，对梁产生的综合弯矩也必然相等，尽管主弯矩与次弯矩可以不相等，因此，预加力引起C线不会因线的微小转动而改变。
③线若端部有偏心，则将产生端弯矩，它将影响连续梁所有各跨的弯矩，并改变所有各跨的C线位置。

图5.8 线不能有端部偏心
若线端部有偏心，就在梁端存在端弯矩，这时等效荷载法不能直接应用。
④可以通过调整预应力筋的线的位置，以确保混凝土保护层厚度，从而使结构的耐久性得到保证。

图5.8 线的位置要确保混凝土的保护层厚度
（二）吻合束
1、吻合束的定义：凡预应力产生的C线能与线相重合的预应力束都叫做吻合束。换言之，吻合束不产生次弯矩。

图5.9 吻合束示意图
2、吻合束的特性
①不产生外部反力和次弯矩，为轴心受压梁；
②不经济，没有实用意义；
③简支梁中的每一根预应力束都是吻合的
④对于连续梁，吻合束具有非唯一性，一般有很多条吻合束可供选择；
⑤C线本身就一条吻合束的线。

图5.10 线与C线的关系
任一连续梁的C线都是它的线的一条线性变换，如图5.10所示，采用这条线的任何线性变换，都将产生同样的一条C线。显然采用C线作线的预应力束亦将产生同样一条C线。
⑥任一外荷载组合产生的实际弯矩图，按一定比例绘制，也都是该连续梁吻合束的一个位置。
因为荷载对预应力连续梁引起的任何弯矩图都是以支座无位移为基础求得的。按该弯矩图布置的线将产生相似的弯矩图形，该线也不会使支座产生位移。亦即不会引起支座次反力，因此它是一根吻合束。
⑦吻合束除了对连续梁的分析较容易外，对结构性能好处不多，在实际工程中很少有采用吻合束的必要。
（三）非吻合束
1、非吻合束的定义
在连续梁中，预加力一般都将引起外部反力与次弯矩，造成C线与线偏离，这种预应力筋束称之为非吻合束。

图5.11 非吻合束示意图
2、非吻合束的特性
①非吻合束引起的C线就是一条吻合束的线。
②实际工程中一般采用非吻合束。
（四）工程应用
良好的线位置的实际选择，取决于设到一条理想的C线以满足各种实际要求。
一般来说，要求在支座截面尽可能放设高些，而在跨中截面则尽量放得低一些，以充分发挥钢材的强度和提高截面的抗弯能力。
三、预应力筋的实际曲线
以一两跨等跨连续梁（如图5.12所示）为例来说明预应力筋理想曲线和实际曲线的误差分析，预应力筋的理想曲线如图5.12（a）所示，预应力筋的实际曲线如图5.12（b）所示。

（a）理想布置的曲线；（b）实际布置的曲线；（c）由实际曲线引起的等效竖向荷载
图5.12 预应力筋的理论布置和实际布置的比较
实际布置曲线图5.12（b）在跨中处为两段抛物线于控制点处互相连接，并有共同的水平切线。从跨中到中间支座采用两段曲率反向的抛物线，它们的反弯点（有“×”处）定在距中间支座处。

图5.13 线反弯点处的垂度计算
图5.13中所示的两段抛物线相衔接的反弯点，位于线上中间处最高点与跨中处最低点这两个控制点的连接线上。在实际结构中反弯点离开预应力筋最高点的位置通常都在1/8～1/12跨长范围内变动。因此反弯点的典型位置通常取用。
上述三段抛物线都是抛物线的一半，由这些抛物线预应力筋引起的反向等效荷载为：
第一段：
第二段：
第三段：
计算结果表明：按实际预应力筋布置得到的综合弯矩MB为＋245.1kN/m，和按理想预应力筋布置方案（等效反向荷载为21.1kN/m）得出的MB＝263.8kN/m相比只差7%，误差不大。
林同炎认为：按复杂的实际情况求得的弯矩值，与按理想预应力布置所得的弯矩值的误差，这类梁一般在7.5左右。所以采用简单的理想曲线布置进行荷载平衡分析是可行的。