1、灰色系统模型灰色系统模型 v研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能，协调功能以及系统各因素之间的关联关系，因果关系进行具体的量化研究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。系统模型的建立，一般要经过思想开发，因素分析，量化，动态化，优化五个步骤。即语言模型，网络模型，量化模型，动态模型，优化模型。v在建模过程中，要不断的将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往返，使整个模型逐步趋于完善。1.GM(1,1)模型模型vG表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。v定义定义1.1设 则称 为GM(1,1)模型的原
2、始形式，其中 为待定参数。v设 其中 则称 为GM(1,1)模型的基本形式。v定理定理1.1 设有非负序列：为 的1-AGO（即一次累加）序列：其中 ；为 的紧邻均 值生成序列：其中 v若 为参数列，且 则GM(1,1)模型 的最小二乘估 计参数列满足v定义定义1.2设 为非负序列，为 的1-AGO（即一次累加）序列，为 的紧邻均值生成序列，则称微分方程 为（，）模型（灰色方程）的 白化方程，也叫影子方程。v定理定理.2设 如定理1.1中所述，其中 ,则v.白化方程 的解（也称时间 响应函数）为v.GM(1,1)模型 的时间响应序列为v.还原值 2.灰色系统预测模型的精度检验灰色系统预测模型的
3、精度检验v预测就是借助于过去的探讨去推测、了解未来。灰色预测就是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统未来状态做出科学定量预测。v定义2.1 设原始数据序列 相应的预测模型模拟序列:残差序列:相对误差序列:v则 v1.对于 ，称，为 点的模拟相 对误差，称 为平均相对误差。v2.称 为平均相对精度，为 点的模拟精度。v3.给定 ，当 成立时，称模型为残差合格模型 v定义定义2.2 设 为原始序列，为相应的模拟序列，为 与 的绝对关联度，若对于给定的 ，有 ，则称模型为关联度合格模型。v定义定义2.3设 为原始序列，为相应的模拟序列，为 与 的残差序列，则 分别为 的
4、均值、方差；分别为残差的均值、方差。v1.称为均方差比值，对于给定 的 ,当 时，称模型为均方差比合格模型。2.称为小误差概率，对 于给定的 ,当 ，称模型为小误差概率合格模型。精度检验等级参照表 指标精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.603.数列预测数列预测v数列预测是对系统变量的未来行为进行预测，灰色系统基本模型GM（1，1）是较常用的数列预测模型。根据实际情况，也可以考虑采用其他灰色模型，在定性分析的基础上，定义适当的算子，对算子作用后的序列
5、建立GM模型，通过精度检验后，即可用于预测。v例1河南省长葛县乡镇企业产值（数据来源于长葛县统计局）。v解：由统计资料查得产值序列为v引入二阶弱化算子 ，令v其中v以及v其中v于是v X的1-AGO序列为v设v按最小二乘法求得参数的 估计值为v得GM（1，1）模型白化方程v其时间响应式为v得模拟序列v残差序列v相对误差序列v平均相对误差v模拟误差 ，精度为一级。v计算 的灰色绝对关联度 ：v从而 v关联度为一级v计算均方差比v所以 ,均方差比值为一级。v计算小误差概率：v所以 ,小误差概率 为一级，故可用v故可用v进行预测。这里给出5个预测值4.作业v某大型企业1997-2000年四年产值资料v试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。年份199719981992000产值（万元）27260295473241135388
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