范德蒙行列式的推广和应用.doc

目 录

1引言 1
2范德蒙行列式的基本性质 1
2.1范德蒙行列式的证明 1
2.2范德蒙行列式的性质 2
3范德蒙行列式的推广 3
3.1跳行范德蒙行列式 3
3.2合流范德蒙行列式 4
4范德蒙行列式的应用 5
4.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用 5
4.2范德蒙行列式在微积分中的应用 7
4.3范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 9
4.4范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 10
4.5范德蒙行列式在数列拆项中的应用 12
4.6范德蒙行列式在多项式理论中的应用 13
5结 论 15
参考文献 16
致 谢 17

范德蒙行列式的推广和应用
Xxxxxx系本xxxxx班 xxxxxx
指导教师： xxxxxxx

摘 要：范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文通过对阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。
关键词：范德蒙行列式，向量空间理论，线性变换理论，微积分，等差数列拆项。

Application and Popularization of Vandermonde determinant
Xxxxxxxxxxxxxx
Class xxxxx, Mathematics Department
Tutor: xxxxxxxxxxxxx

Abstract：Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,descryibes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.
Key words: Vandermonde determinant,theory of vector spaces,linear transformation theory,infinitesimal calculus.
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..
1引言
行列式是由解线性方程组产生的一种算式，其定义域为数域上的的矩阵的全体构成的集合，取值为一个标量，写作或 . 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广，或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式，是一类很重要的行列式。
范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算，有利于行列式的计算。范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上。
2 范德蒙行列式的基本性质
我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法，形如行列式
（1）
称为阶的范德蒙（）行列式。
接下来我们证明，对任意的，阶范德蒙行列式的结果为.
2.1 范德蒙行列式的证明
用数学归纳法证明范德蒙德行列式，我们对作归纳法：
（1）当时，结果是对的。
（2）假设对于级的范德蒙行列式结论成立，现在来看级的情况。在

中，第行减去第行的倍，第行减去第行的倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的倍，有

=

2.2 范德蒙行列式的性质
利用行列式的性质容易推得：
若将范德蒙行列式逆时针旋转,可得

若将范德蒙行列顺时针旋转，可得

若将范德蒙行列式旋转，可得

3 范德蒙行列式的推广
3.1 跳行范德蒙行列式
跳行范德蒙行列式为如下形式：
，
为了计算该行列式，构造多项式如下：

.
该行列式中第行、第列元素的代数余子式为
，
由式可得的系数为
，
其中是中个数的一个排列，表示所有阶排列的和。
比较的系数可得；。
特别的，当并取时，即可得范德蒙行列式。
3.2 合流范德蒙行列式
给定个互不相等的数和正整数，记
，，
我们称如下形式的阶行列式：
（2）
为合流范德蒙行列式，当,且时，是通常的范德蒙行列式。
定理1：阶合流范德蒙行列式.
证明:设维向量满足比较上式（2）边的系数，可知，且或有
（3）
，
构造阶矩阵,其中是第个分量为1、其余分量为0的维列向量，则是下三角矩阵。
由式可得，其中 ，
于是，有；利用上述递推公式，可得.
4 范德蒙行列式的应用
4.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用
若第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且中含有由个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将的第行（列）乘以-1加到第行（列），消除一些分行（列），即可化成范德蒙行列式。
例 1 计算

解：将的第一行的倍加到第二行得：

再将上式得第二行的倍加到第三行得：

再将上式的第三行的倍加到第四行得：

即为范德蒙行列式。
所以 ，
例 2 计算

当中至少有两个相等，则；
当各不相等时，因为行列互换行列式不变，所以

构造线性方程组
由于方程组的系数行列式
故方程组有唯一解，这里为中第列用常数代替所得行列式。
所以，再作元实次方程：

由知为方程的个不同的根，由根与系数可知：

所以
.
4.2 范德蒙行列式在微积分中的应用
例3 在上连续，在内存在2阶导数，证明： 上有，这里。特别的，存在，使.
证： 在上构造函数，为范德蒙行列式， 则在上连续，在内存在2阶导数。
因，
故有中值定理，存在，使，故再运用一次中值定理，存在，使，即
=0
展开行列式即得：

特别的，取，则有相应的，使上式成立，即

化简即得

例4设函数在附近存在连续的阶导数，并且有，若为一组两两互异的实数，证明，存在唯一的一组实数，使得当时，是高阶的无穷小。
证明：由题设条件可得：在处带有皮亚诺型余项的马克劳林展开式：，，当时，若为高阶的无穷小。则
，
这是以为未知数的线性方程组，其系数行列式为：

故上述方程组有唯一解，即存在唯一一组实数，使得当时，是高阶的无穷小。
4.3 范德蒙行列式在向量空间理论中的应用
在向量空间理论中，我们会经常遇到需要用范德蒙行列式转化的问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论。
例5 设是数域上的维向量空间，任给正整数，则在中存个向量，其中任取个向量都线性无关。
证明：因为所以只须在中考虑就行了，取

令 ,；
则 是范德蒙行列式，
因为，所以线性无关。
例 6 设是数域上的维向量空间，则的有限个真子空间不能覆盖
证明：当时，显然成立。
当时，
令是的一个基，设，其中，为中元素之集合。
令，为单位向量。则易证是双射，从而S中有无穷多个不同的元素。设为的真子空间，则中的元素在中的个数小于，否则，若

则由，知系数行列式为非零的范德蒙行列式，故有，进而矛盾.从而中只有有限多个元素在中，而S中有无穷多个元素，所以存在，但，即V的有限个真子空间不能覆盖其自身。
4.4范德蒙行列式在线性变换理论中的应用
在高等代数的学习中，线性变换一直是一个重点，也是难点，题目的变化也比较多，在有些题目中，我们可以巧妙的运用范德蒙行列式来解决这类题目。
例 7 设数域上的维向量空间的线性变换有个互异的特征值
，
则与可交换的的线性变换都是:
（1）的线性组合，这里的为恒等变换；
（2） 线性无关的充要条件为
这里，
证明：设是与可交换的线性变换，且，
则是的不变子空间,令且
,则由以下方程组

因为方程组的系数行列式是范德蒙行列式，且，所以方程组有唯一解，故是的线性组合。
（2）充分性
因为
所以

并且
，
所以 是可逆矩阵，又因为是的一组基线性无关。
必要性
设是分别属于的特征向量，则构成的一个基，因而有. 若,则是的属于的特征向量，故结论成立。
若存在，使,不妨设全不为零，，因而有，则

利用范德蒙行列式可知有一个阶子式不为零，所以，从而,又因为线性无关，所以线性无关，矛盾，从而.
4.5范德蒙行列式在数列拆项中的应用
设是等差数列，公差，则当时，有
；
将此拆项公式推广之后，我们会发现拆项公式与范德蒙行列式有着密切的关系。
设是等差数列中任意个数,公差，
因为 ，所以：

其中是关于的阶范德蒙行列式，分别是关于的2阶范德蒙行列式。
一般的，因为
，
所以
.
故我们猜想上式拆成项和时，也与阶范德蒙行列式和阶范德蒙行列式产生关联。
定理5 设是等差数列中任意个数，公差，则

即时结论也成立；故由归纳原理知，结论对任意正整数都成立。
4.6范德蒙行列式在多项式理论中的应用
在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助。
例8 证明: 一个次多项式至多有个互异根。
证明：不妨设，如果 ，有个互异的零点，则有,；即
，
这个关于的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式

因此方程组只有零解，即，这个矛盾表明，至多有n个互异根。
例 9 证明：对平面上个点，其中互不相等,则必存在唯一的一个次数不超过的多项式通过该个点，即。
证明：设，要使，即满足关于的线性方程组：
，
而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：

当互不相等时该行列式不为零，由Cramer定理知方程组有唯一解，即对平面上个点，其中互不相等，则必存在唯一的一个次数不超过的多项式通过该个点。
结 论
行列式在数学的各个领域及其他学科中都有着广泛的应用，并且行列式还有着悠久的历史。自1545年，卡当给出了两个一次方程组的解法，到1683年日本数学家关孝和首次引进了行列式的概念开始，再到1771年，范德蒙德不仅把行列式应用于解线性方程组，而且对行列式理论本身进行了开创性研究，人们逐渐对行列式进行更深的研究，第一个给出行列式系统理论的是伟大数学家柯西。而范德蒙行列式是一类特殊的行列式，它有着独特的形式及其简明的计算结果，所以范德蒙行列式不仅在数学领域中占据着重要地位，而且在各个领域中也有着广泛的应用，范德蒙行列式不仅在行列式理论中有着重要的应用，而且在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中都有广泛的应用。
本文先介绍了行列式的性质及其在计算中的应用，进而给出了范德蒙行列式的证明过程、性质、以及在行列式计算的应用，比如在我们运用范德蒙行列式进行计算或者变换时，有些行列式经过简单变形后便可应用范德蒙行列式，但是有些行列式则需要经过增加一行一列才可以应用范德蒙行列式的相关性质进行计算， 我们还介绍了范德蒙行列式在多项式理论、解线性方程组中的应用。范德蒙德行列式的结论计算并不复杂,难的是如何将给定的行列式化成范式的标准形式。最后介绍了范德蒙行列式的两种推广形式，让我们进一步了解范德蒙行列式，方便我们将行列式化为标准的范德蒙行列式。这就需要我们在学习中不断总结，不断探索关于范德蒙行列式的规律，只有熟能生巧，才能更好的掌握范德蒙行列式的相关知识。

参考文献
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科学版）, 2010,20(1):84-85.
[5] 裴礼文. 数学分析中的经典问题与方法北京[M]. 高等教育出版社, 1998,
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[6] 毛纲源. 线性代数解题方法技巧归纳[M]. 华中科技大学出版社, 2000.
[7] 李建武. 杨辉三角与数列拆项[J]. 中学数学教学参考, 2012, (11).
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[10] 庞金彪，鹿琳. 范德蒙行列式的推广及其在教学中的应用[J]. 数学通报，
1992，(11) :39~42.

致 谢
历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最中心的感谢！
感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。
感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多你问素材，还在论文的撰写和排版灯过程中提供热情的帮助。
由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！

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