钢筋混凝土环形贮液容器的固有频率.pdf

第 2 7卷第 3期 2 0 1 0年 9月 华中科技大学学报( 城市科学版) J o f H U S T ( U r b a n S c i e n c e E d i t i o n ) V0 1 2 7 No 3 Se p 2 01 0 钢筋 混凝土环 形贮 液容器 的固有频率 徐杏华 ( 孝感学院城市建设学 院 ， 湖北孝感4 3 2 0 0 0 ) 摘要： 本文研究了钢筋混凝土圆环形贮液器的固有频率， 并给出了精确计算公式， 结果可 由计算机解出。研 究表明， 容器内液体对简体振动的影响， 等效于在内外筒体上分别附着一不同的广义分布质量。 关键 词 ： 钢筋混 凝土 ； 贮 液容 器 ； 振动 ； 固有频率 中图分 类号 ： T U 3 7 5 文献标识码 ： A 文章 编号 ： 1 6 7 2 - 7 0 3 7 ( 2 0 1 0 ) 0 3 - 0 0 3 5 - 0 4 对金属贮 液容器 与液体耦联振动的研究 ， 已 有不少工作 。但对钢筋混凝土环形贮液容器的振 动问题 ， 到 目前为止 ， 尚未见到有关报导。 钢筋混凝土容器 ( 图 1 ) ， 可以用来盛装 各种 各样的液体， 如 石油、 汽油、 水等 ， 它不仅经久 耐 用 ， 而且造价低 ； 特别是在地震频发地区 ， 只要容 器振动问题解决 了， 就可 以放心建造 使用 。本文 对这类贮液容器与液体耦联弯曲振动的固有频率 作 了精确研究 。 ( a ) ( b) 图 1 钢筋砼环形贮液器结构模型 图 2贮液器的计算模 型 1 贮液器内液体的运动 设内筒的内外半径分别为 r 0 和 r 0 ， 外筒的内 外半径分别为 R 。 和 R 。 ， 容器 内液体深度为 ， 环 体沿 Y方向作梁式振动 ， 建立图 1 ( b ) 所示柱坐标 来描述液体的运动。 设液体理想、 不可压缩 、 无旋 ， 因而存在速度 势函数 ( r ， O , z ， t ) ， 满足 v 2 = 0 ( 1 ) 式中， v 2 为 L a p l a s e 算子。 忽略表面波的作用 ， 满足以下边界条件： I ： 0 ， ( 2 ) a z I z：0 I： ： = O ， ( 3 ) = ，1 ： c o s ， ( 4 ) a r l ， ： a 、 科：R = c os ( 5 )o O t ar l，： 。 、 式中， Y 。 = Y ( z ， t ) ， Y 2=Y 2 ( = ， t ) 分别是 内外筒体 沿 Y方向的位移。 设 = R( r ) 0 ( ) Z( ： )于( ) ， Y =Y ( ) T ( ) ， Y 2 = ( z ) T ( t ) ， 用分离变量法解式( 1 ) ， 可得 ( A L( mr )+B K n ( m r ) ( C s i n n 0+D c o s n O ) ( E s i n r n z + F c o s ir r ) )T( ) ( 6 ) 式中， A、 B、 C 、 D、 E、 F均为待定系数， ， ( m r ) 和 K ( mr ) 分别是 n阶第一类 和第 二类修正 B e s s e l 函 数 。 根据边界条件式( 2 )( 5 ) ， 可得 收稿 日期 ： 2 0 1 0 - 0 5 - O 4 作者简介 ： 徐杏华 ( 1 9 6 6 一 ) ， 男 ， 湖北孝感人 ， 副教授 ， 硕 士， 研究方 向为 固体力学 ( E m a i l ： x x h 8 9 0 7 1 2 6 c o m) 3 6 华 中 科 技 大 学 学 报( 城市科学版) 2 0 1 0年 f =于 ( ) ( A ， 1 ( m r ) + B , K 1 ( m r ) ) c o s z c o s 日 l ： 1 ( z ) =( A ， 。 ( r 0 ) + 扁( r 0 ) ) c o s m I 【 ( )=( A 。 J ( ) + B ( R o )c o s m ( 7 ) 式中， j = d l l ，盔 = d K l = 。 利用三角 函数的正交性可得 上 Y l ( ) c 。 s m ,z d z = h A ( m ro)+B ( m r o) ( 8 ) 上 y 2 ( ) c 。 s m s z 出 争 A ( m 。 ) + 霞 。 ( m R 。 ) ( 9 ) 由以 E 二式 可得 = A = 。 ( m R 。 ) c 一 ( m r o ) G 2 ( 1 0 ) B ， = J 。 ( t o ) G 2 一 i l m R 。 ) G ( 1 1 ) h i ( r 0 ) 扁 ( ) 一 扁 ( r 0 ) J ( ) G = ( z ) c 。 s z 出 = ( z ) c 。 s m ， z ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 因而得 = 于 ( ) g Z l t , ( ,n , a C 一 毫 ( r 0 ) ， ( r ) + J=J i ( m , ro ) C 一 ( ) ( r ) c 。 s z c o s O ( 1 5 ) 2 内外简体振动方程 由式 ( 1 5 )可得沿 内外简体单 位高度在 ， ， 方 向的合力 ： 在内简体 ， 有 一 P ： r o c o = - p r o o f ( ) 矗( m , R o ) C 。 一 扁( r a ) ， 1 ( m r ) +I ， 1 ( m r 0 ) G 2 一， l ( m R 0 ) G 1 J K ( m r 0 ) C O $ r t z ( 1 6 ) 在外筒体 ， 有 = p广 孰 = 一 p 民 1 r ( ) 。 ( ) G 一 K l ( m s ro ) G ， ( R ) + J ， m ro ) c 一 J ( 民 ) G K( m s R o ) c O S m s Z( 1 7 ) 式中， P是容器内液体密度。 由此可得 0h 段内筒体的弯曲振动方程为 0 4 y l p F1 o z Y -A jr=，0 (18) 式中， = 盯 ( 蠢一 ) 是内 简体的 截面 面积，P 。 为密 度， E 为弹性模量， = IT L r 04 ) 为其截面惯性 矩。 将式( 1 6 )代人上式， 可得 掣 ) = ( 尺 G + G 2s ) c o s rt tsz ( 1 9 ) 式中 R 。 =p r o ， ( ) K( r 0 ) 霞 。 ( R o ) f l ( m ro ) ( 2 0 ) R 2 I=p r 0 K 。 ( R o ) K( i n r o )一 m r 0 ) ， 1 m ro) 式( 1 9 )可写成 E。 _ ， d 4 L ( z一) 一 z p F 。 + m ( z ) y l ( z ) d ( 2 1 ) =0( 2 2 ) 式中 m ( )= 1 ( +吃 ) c 。 s = ( 2 3) 从式( 2 2 ) 可以看出， 液体对 0一h段内筒体振 动的影响， 相当于在内筒上附着一广义质量 m 。 ( z ) 。 0h段外筒体的弯曲自振方程为 - ， 2 0 4 y 2 + 1 1 、 ( 2 4 ) -，2 = 丁 ： 一 P + l ( 2 4 ) f ，： 式中， =耵 ( 一 ) 是外简体的截面积 p ： 为其 密度， E 2 为 其弹I生 模量， J 2 = 孚( 一 碟) 为 其截面 惯性矩 。 将式( 1 7 ) 代入上式， 可得 第 3期 徐杏华 ： 钢筋混凝土环形贮液容器的固有频率 3 7 E ft2： Go 2 Y 2 ( )： 一 C 0 ( P G + P 2 , G ) c o s m , z =1 式中 P 。 =p r o K 1 ( ms ) ， ( m s )一 ， ( 风 ) ( ) =p ro ， ( r n $ r o ) ( m s JR 0 )一 ( r 0 ) ， 。m RO ) 式( 2 5 )可写成 茎 ( 4 + P 2 4 ) co s ， p ： ( 一 ) 。 ( m 一 ) 厂 “ f 2 5 ) 式( 3 0 )的通解为 ( )=D1 c o s k 1 + D 2 s i n k 1 -4 - D 3 c h k 1 - I- s h k l z ( 3 6 ) 式 ( 3 1 )的通解为 f 2 6 ) y 2 )= C 1 t c O S k l Z 4 -C 2 s i n l z+C 3 c + C 4 s h k 1 z ( 3 7 ) 综合以上分析可得内外简体的位移函数分别 ( 2 7 ) 为 车 一 p ： + ( ) ( ) ： o ( 2 8 ) 式中 ) ( P “ G 】 s +G G ) c o s ( 2 9 ) 从式 ( 2 8 )可以看出， 液体对 0h段外筒体振 动的影 响， 相当于在外筒上 附着一广义分布质量 ， ( ) 。 容易得到， hH段内简体的振动方程为 E1 ， 。 d 4 Y 丁 1 ( z ) 一 。F 1 )：0 ( 3 o ) hH段外筒体的振动方程为 - ， 2 d 4 y 2 丁 ( z 一) 一 2 p 2 y 2 ， ( z )：0 ( 3 1 ) 3 容器振型函数及 固有频率 由微分方程理论， 可知式( 2 2 )的齐次通解为 y 1 1=D I c o s k 1 z+ s i n k l z+D s c h k 1 z+ D 4 s h k 1 ( 3 2 ) 式中， ( =l ， 2 ， 3 ， 4 ) 为待定常数， = 2 。 式( 2 2 )的非齐次特解为 ： = ( ) 3 ， 同样可得式 ( 2 8 )的齐次通解为 1=C l c o s k 2 +C s i n k 2 +C s c h k 2 z+c 4 s h k 2 z ( 3 4 ) 式中， c ( =1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 为待定常数， = 。 式( 2 8 )的非齐次特解为 ： = ： )+E l , 2 ( ) o z ( 3 8 ) L Y l ( z )h z 矗 ：_ ， ( z ) + ，z ( ) 0 ( 3 9 ) L y 2 ( )h z H 将式( 3 8 )代入式( 1 3 ) ， 可得 G1 =D1 I 1 - I- D2 ， +D3 厶 +D4 厶 + ( R 1 G 1 +R G 2 ) ( 4 0 ) 将式( 3 8 )代人式( 1 4 ) ， 可得 G 2 =C 1 I 1 +C 2 4 - C 3 ， 3 - I- C 4 厶 + h k j 2 P 2 ( m 4 一k ： ) ( P h G 1 +P G 2 。 ) ( 4 1 ) 以上两式中 = s 出= 考 3 8 华 中 科 技 大 学 学 报( 城市科学版) 2 0 1 0年 也均是 D 。 和 C ( i =1 ， 2 ， 3 ， 4 ) 的线性函数 。 Y I ( ) 与 Y 1 ( ) 以及 ( ) 与 l ， 2 ( z ) 的联接 条件分别为 吼 礼 ，警 z= h 一- d 2 y 1 I d 2 I d 3 f d 3 f 出 I ： 一出 l ： 出 I ： ： 一出 。I ： I ，警 z=h = ： d 2 l d y 2 l d y 2 I d y 2 l 出 J ： 一出 J ： ： 出 。 J ； ： 一出 J ： 三 ， 。-o 0 一 巩 d Y l d z = d 2 I d 2 y 2 E lJ 1 ， 2 L ， L L ( 4 6 ) 两端其它可能条件就不一一列举 了。 由内外简体的联接条件式( 4 3 ) 和( 4 4 ) 以及 边界条件式( 4 5 ) 和( 4 6 ) 共可得到 l 6个关于 C 、 C 、 D ( i ：1 ， 2， 3 ， 4 ) 的齐次线性代数方程组 ， 令系数行列式之值为零 ， 则可得关于 固有频率 的 非线性代数方程 ， 利用非线性代数方程的求根法 ， 就可得 及相应的各常数 C 、 C D 、 D ( i =1 4 ) 的相对比值 ， 再将 及各相应常数代 回式 ( 3 8 ) 和( 3 9 ) ， 即得内外简体的振型函数。 4 结语 ( 1 )液体对内外筒体弯曲 自由振动 的影响， 等效于在内外简体上分别附着不同的广义分布质 量 ， 因而贮液容器 的自由振动频率 比无液时的自 振频率低。 ( 2 )本文求出的振型函数及固有频率的计算 公式是精确的， 虽然数学形式较为复杂 ， 但利用计 算机求解是很方便的。 参考文献 I 居荣初， 曾心传弹性结构与液体耦联振动理论 M 北京： 地震出版社 ， 1 9 8 3 2 张悉德部分埋入水中悬臂 圆柱体的弯 曲振动 J 应用数学与力学， 1 9 8 2 ， 3 ( 4 ) ： 5 3 7 - 5 4 6 3 梁昆淼数学物理方程 M 北京： 人 民教育出版 社 ， 1 9 7 9 Na t ur a l Fr e q u e n c y o f An nu l a r Cy l i n dr i c a l Re i n f o r c e d Co n c r e t e Ta n k Pa r t i a l l y Fi l l e d Li q u i d xu Xi n g h u a ( S c h o o l o f U r b a n C o n s t r u c t i o n ， X i a o g a n U n i v e r s i t y ， X i a o g a n 4 3 2 0 0 0 ，C h i n a ) Ab s t r a c t ：T h i s p a p e r s t u d i e d t h e n a t u r a l f r e q u e n c y o f t h e a B n u l a r c y l i n d r i c a l r e i n f o r c e d c o n c r e t e t a n k p a r t i a l l y fi l l e d l i q u i d， a n d g a v e a n a c c u r a t e f o r mu l a and 8 0 me r e s u l t s c a n b e o b t a i n e d b y me ans o f c o mp u t e r Th e a n a 1 y s i s s h o ws tha t t h e e ffe c t o f the l i q u i d o n t h e c y l i n d e r v i br a t i o n i n the t a n k i s e q u i v a l e n t t o d i ffe r e n t g e ne r ali z e d d i s t r i b u t i v e n l a s s e s a t t a c h e d t o i n ne r a n d o u t e r c y l i n d e rs r e s p e c t i v e Ke y wo r d s：r e i nfo r c e d c o n c r e t e；t a n k p a r tia l l y fil l e d l i q ui d；v i b r a t i o n；n a t u r a l f r e q ue nc y