241抛物线及其标准方程.pptx

抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程生生活活中中存存在在着着各各种种形形式式的的抛抛物物线线我们对抛物线已有了哪些认识？我们对抛物线已有了哪些认识？yxo 二次函数是开口向上或向下的抛物线。二次函数是开口向上或向下的抛物线。问题探究：问题探究：当当|MF|=|MH|，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？探探究究？可以发现可以发现,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中,始终始终|MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等.点点M生成的轨迹是生成的轨迹是曲线曲线C的形状的形状.(如图如图)MFle=1我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线.MFle=1 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d抛物线的定义抛物线的定义:想一想想一想 在抛物线定义中，若去掉条件在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点不经过点F F”，点的轨迹还是抛物线吗？，点的轨迹还是抛物线吗？注：注：当直线当直线l经过点经过点F时，点的轨迹是过定点时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直且垂直于定直线线l的一条直线；的一条直线；l不经过点不经过点F时，点的轨迹是抛物线时，点的轨迹是抛物线注：定义可归结为注：定义可归结为“一动三定一动三定”：一个动点：一个动点M，一个定点，一个定点F（抛物线的焦点），一条定直线（抛物线的焦点），一条定直线l（抛物线的准线），一个（抛物线的准线），一个定值（点定值（点M与点与点F到定直线到定直线l的距离之比为的距离之比为1）.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练2、椭圆、双曲线的第二定义MM与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点点M的轨迹的轨迹当当 时，时点点M的轨迹是的轨迹是椭圆椭圆；当当_时，时，点点M的轨迹是的轨迹是双曲线双曲线0e1 当当_时，时，点点M的轨迹是的轨迹是抛物线抛物线e=1 H HM MF Fl如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？想想一一想想探索研究推出方程求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤FL抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：M.F.设|FK|=p(p0),M(x,y)由抛物线定义知：|MF|=d即：.，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.说明：焦点到准线的距离，焦点到准线的距离，简称焦准距，故简称焦准距，故p0.x它所表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是（），它的准线方程是 .yoLFp的几何意义几何意义:已知抛物线的标准方程，已知抛物线的标准方程，求其焦点坐标和准线方程求其焦点坐标和准线方程.标准方程焦点坐标准线方程巩固练习巩固练习1 1抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的焦点坐标和准线方程抛物线的焦点坐标和准线方程:关键：确定关键：确定P的值的值.，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.xyoLF一条抛物线，由于它在坐标一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式程还有其它形式.想一想想一想:抛物线的位置及其方程还有没有其它抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式的形式？FlFlFlFl 问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?(1)(2)(3)(4)图图 形形焦点位置焦点位置标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 不同位置的抛物线标准方程不同位置的抛物线标准方程 x轴的轴的正方向正方向 x轴的轴的负方向负方向 y轴的轴的正方向正方向 y轴的轴的负方向负方向y y2 2=2=2pxpxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-（P P0 0）14:25:12寻找：区别与联系一、四种形式标准方程的共同特征1、二次项系数都化成了_ 2、四种形式的方程一次项的系数都含2p1O3、四种抛物线都过_点，且焦点与准线分别位于此点的两侧.焦点到原点的距离为一次项系数的 ，焦点到准线的距离都是p.14:25:211、一次项(X或Y)定焦点2、一次项系数符号定开口方向.正号朝正向，负号朝负向。二、四种形式标准方程的区别寻找：区别与联系抛物线方程左右左右型型标准方程为y2=2px(p0)开口向右:y2=2px(x 0)开口向左:y2=-2px(x 0)标准方程为x2=2py(p0)开口向上:x2=2py(y 0)开口向下:x2=-2py(y0)抛物线的标准方程抛物线的标准方程上下上下型型练习：判断下列抛物线的开口方向、焦点坐标、准线方程.方程方程x2=32yx2=-2yy2=-32xy2=2xy+8x2=0 x+8y2=0开口方向 向上向下向左向右向下向左焦点坐标 F（0,8）F（0,-1/2）F（-8,0）F（1/2,0）F（0,-1/32）F（-1/32，0）准线方程 y=-8y=1/2x=8x=-1/2y=1/32x=1/32是一次项系数的是一次项系数的是一次项是一次项系数的相反数系数的相反数如何确定如何确定各曲线的焦点位置各曲线的焦点位置？抛物线：抛物线：1.看一次项看一次项(X或或Y)定焦点定焦点 2.一次项系数正负定开口一次项系数正负定开口椭圆：看分母大小椭圆：看分母大小双曲线：看符号双曲线：看符号P58P58思考：思考：二次函数二次函数 的图像为什么的图像为什么是抛物线？是抛物线？当当a0时与当时与当a0)与y=ax2(a0)的区别.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练题型一题型一求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点到准线的）焦点到准线的 距离为距离为 ；（2）过点）过点A(2，3)；（3）焦点在直线焦点在直线x x2y2y4 40 0上；上；（4 4）抛物线的焦点是双曲线）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点；的左顶点；（5 5）抛物线的焦点在）抛物线的焦点在x轴，直线轴，直线y=-3y=-3与抛物线交于点与抛物线交于点A A，且，且【例例1】思路探索思路探索 求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论若类型不能确定，应分类讨论课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练oF 例例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星。卫星波束波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线接收天线，经反射聚集，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的到焦点处。已知接收天线的径口径口（直径）为（直径）为4.8m，深度为，深度为0.5m。建立适当的。建立适当的坐标系坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。，求抛物线的标准方程和焦点坐标。xyAB4.8m0.5m题型题型二二抛物线的实际应用抛物线的实际应用课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。与原点重合。设抛物线的标准方程是设抛物线的标准方程是 ,由已知条件由已知条件可得可得,点点A的坐标是的坐标是 所以，所求抛物线的标准方程是所以，所求抛物线的标准方程是 代入方程，得代入方程，得焦点的坐标是焦点的坐标是课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值OyxBA【解析】利用方程利用方程练习1：课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练跟踪训练某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解:以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系设抛物线的方程是x22py(p0)由题意知A(4，5)在抛物线上，课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练跟踪训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练例例3 点点P到点到点F(1，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+2=0 的距离小的距离小 1，求，求点点P的的轨迹方程。轨迹方程。|PF|+1=|x+2|ly.oxPF解（直接法）：解（直接法）：设设 P(x，y)，则，则由已知，得由已知，得另解另解(定义法定义法)：由已知，得由已知，得点点P到点到点F(1，0)的距离等于它到直线的距离等于它到直线 l:x+1=0 的距离的距离.由抛物线定义知：由抛物线定义知：点点P的的轨迹是以轨迹是以F(1，0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线.点P在直线l的左边，则点P到点F的距离必大于P到直线l的距离。题型题型三三与与抛物线有关的轨迹方程抛物线有关的轨迹方程即为点P的轨迹方程.即为点P的轨迹方程.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练变式变式1：点点P到点到点F(1，0)的距离比它的距离比它到到y轴的距离大轴的距离大1，求，求点点P的的轨迹方程轨迹方程。例例3 点点P到点到点F(1，0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+2=0 的距离小的距离小 1，求，求点点P的的轨迹方程。轨迹方程。题型题型三三与与抛物线有关的轨迹方程抛物线有关的轨迹方程1课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练变式方程|xy3|表示的曲线是()A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线解析原方程变形为 ，它表示点M(x，y)与点F(3,1)的距离等于点M到直线xy30的距离.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.D练习：过点A（3,0）且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练跟踪训练若动圆与圆(x2)2y21相外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹是方程为 .分析动圆与定圆相外切，则两圆的圆心距为两圆的半径之和，动圆与直线相切，则动圆圆心到直线的距离等于动圆的半径，设动圆圆心为M，半径为r，动圆与圆(x2)2y21相外切，则点M到定点(2,0)的距离为r1，动圆与直线x1相切，则点M到定直线x1的距离是r，所以点M到定点(2,0)和定直线x2的距离相等，故轨迹为抛物线.答案D 题型题型四四抛物线定义抛物线定义的最值问题的最值问题例4（1）点A(3,2)为定点，点F是抛物线抛物线y24x的的焦点，点焦点，点P在在抛物线抛物线y24x上运动，则当上运动，则当|PA|+|PF|取最小值时，点取最小值时，点P的坐标为的坐标为 .（2）点点P是抛物线是抛物线y24x上的动点，点上的动点，点P在在y轴上的射影点是点轴上的射影点是点M，点点A(4,a)，则当则当|a|4时，时，|PA|+|PM|的的最小值为最小值为 .（3）已知点点P是抛物线是抛物线y24x上的动点，上的动点，F(1,0),A(4,5),B(4,3),则则|PA|+|PF|的的最小值为最小值为 ，|PB|-|PF|的的最大值最大值为为 ，|PB|-|PF|的的最最小值小值为为 .（4）已知直线）已知直线l的方程为的方程为x-y+4=0,在在抛物线抛物线y24x上有一动点上有一动点P到到y轴的距离为轴的距离为d1，到直线，到直线l的距离为的距离为d2,则则d1+d2的最小值为的最小值为 .（5）抛物线抛物线y2x和圆和圆C:(x-3)2+y2=1上最近两点间的距离为上最近两点间的距离为 .课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练 题型题型五五抛物线的综合应用抛物线的综合应用例例5 定定长为长为3的线段的线段AB的端点的端点A,B在抛物线在抛物线y2x上移动，求上移动，求AB中点到中点到y轴距离的最小值，并求出此时轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标中点的坐标.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练,（四）课堂小结（四）课堂小结平面内与一个定点平面内与一个定点F的距离和一条定直线的距离和一条定直线l 的距离的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。相等的点的轨迹叫做抛物线。一个定义：两类问题：三项注意：四种形式：求抛物线标准方程；求抛物线标准方程；已知方程求焦点坐标和准线方程。已知方程求焦点坐标和准线方程。定义的前提条件：直线定义的前提条件：直线l 不经过点不经过点F;p的几何意义：焦点到准线的距离；的几何意义：焦点到准线的距离；标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。的抛物线。抛物线的标准方程有四种：抛物线的标准方程有四种：y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)活页规范训练课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练1若抛物线y28x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ()A(8，8)B(8，8)C(8，8)D(8，8)解析设P(xP，yP)，点P到焦点的距离等于它到准线x2的距离，xP8，yP8，故选C.答案C课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_解析由抛物线的方程得 ，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.答案6课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练3、抛物线、抛物线 y2=4x 上上一点与焦点的距离等于一点与焦点的距离等于5,则则该点到准线的距离该点到准线的距离为为_ _,该点坐标为该点坐标为_.5课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练4、抛物线上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练5已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ()A2 B3 C.D.解析直线l2：x1为抛物线y24x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x3y60的距离，即dmin 2，故选择A.答案A课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练6已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为_解析由抛物线方程y22px(p0)，得其准线方程为x ，又圆的方程为(x3)2y216，圆心为(3，0)，半径为4.依题意，得3()4，解得p2.答案2课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动活页规范训练活页规范训练7已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程解法一设动点M(x，y)，设M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6.圆心M的轨迹方程是y212x.