数列经典例题集锦.pdf

1数列题目精选精编数列题目精选精编【典型例题典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质1.研究通项的性质例题 1.已知数列na满足1111,3(2)nnnaaan.（1）求32,aa；（2）证明：312nna.解：解：（1）21231,3 14,3413aaa Q.（2）证明：由已知113nnnaa，故)()()(12211aaaaaaannnnnL12131333 12nnna L，所以证得312nna.例题 2.数列 na的前n项和记为11,1,21(1)nnnS aaSn（）求 na的通项公式；（）等差数列 nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT.解：解：（）由121nnaS可得121(2)nnaSn，两式相减得：112,3(2)nnnnnaaa aa n，又21213aS 213aa 故 na是首项为 1，公比为 3 的等比数列 13nna（）设 nb的公比为d，由315T 得，可得12315bbb，可得25b 故可设135,5bd bd，又1231,3,9aaa，由题意可得2(51)(59)(53)dd，解得122,10dd等差数列 nb的各项为正，0d 2d 2(1)3222nn nTnnn例题 3.已知数列 na的前三项与数列 nb的前三项对应相同，且212322.aaa128nnan对任意的*Nn都成立，数列nnbb1是等差数列.求数列 na与 nb的通项公式；是否存在Nk，使得(0,1)kkba，请说明理由.点拨：点拨：（1）2112322.28nnaaaan左边相当于是数列12nna前 n 项和的形式，可以联想到已知nS求na的方法，当2n 时，1nnnSSa.（2）把kkab 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究kkab 的取值情况.2解：解：（1）已知212322aaa12nna8n(n*N）2n 时，212322aaa2128(1)nnan(n*N）得，128nna，求得42nna，在中令1n，可得得4 1182a，所以42nna(nN*）.由题意18b，24b，32b，所以214bb，322bb，数列1nnbb的公差为2)4(2，1nnbb2)1(4n26n，121321()()()nnnbbbbbbbbL(4)(2)(28)n L2714nn(n*N）.（2）kkba2714kk42k，当4k 时，277()()24f kk42k单调递增，且(4)1f，所以4k 时，2()714f kkk421k，又(1)(2)(3)0fff，所以，不存在k*N，使得(0,1)kkba.例题 4.设各项均为正数的数列an和bn满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且 a1=1，b1=2，a2=3，求通项 an，bn 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 解：解：依题意得：2bn+1=an+1+an+2 a2n+1=bnbn+1 an、bn为正数，由得21211,nnnnnnbbabba，代入并同除以1nb得：212nnnbbb，nb为等差数列头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 b1=2，a2=3，29,22122bbba则，2)1(),1(22)229)(1(22nbnnbnn，当 n2 时，2)1(1nnbbannn，又 a1=1，当 n=1 时成立，2)1(nnan头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头2.研究前 n 项和的性质例题 5.已知等比数列na的前n项和为2nnSab，且13a.（1）求a、b的值及数列na的通项公式；3（2）设nnnba，求数列nb的前n项和nT.解：解：（1）2n时，aSSannnn112.而na为等比数列，得aaa1112，又31a，得3a，从而123nna.又123,3aabb Q.（2）13 2nnnnnba，21123(1)3222nnnTL 23111 1231(23 22222nnnnnTL），得2111111(1)232222nnnnTL，111(1)2412(1)13232212nnnnnnnT.例题 6.数列na是首项为 1000，公比为110的等比数列，数列b n满足121(lglglg)kkbaaakL *()Nk，（1）求数列b n的前n项和的最大值；（2）求数列|b|n的前n项和nS.解：解：（1）由题意：410nna，lg4nan，数列lgna是首项为 3，公差为1的等差数列，12(1)lglglg32kk kaaakL，1(1)7322nn nnbnn由100nnbb，得67n，数列b n的前n项和的最大值为67212SS.（2）由（1）当7n 时，0nb，当7n 时，0nb，当7n 时，212731132()244nnnSbbbnnn L当7n 时，12789nnSbbbbbbLL27121132()2144nSbbbnnL22113(7)4411321(7)44nnnnSnnn.例题 7.已知递增的等比数列na满足23428aaa，且32a 是2a，4a的等差中项.（1）求na的通项公式na；（2）若12lognnnbaa，12nnSbbbL求使1230nnSn成立的n的最小值.4解：解：（1）设等比数列的公比为 q（q1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2 或 a1=32，q=12（舍）an=22（n1）=2n（2）12log2nnnnbaan ，Sn=（12+222+323+n2n）2Sn=（122+223+n2n+1），Sn=2+22+23+2nn2n+1=（n1）2n+12，若 Sn+n 2n+130 成立，则 2n+132，故 n4，n 的最小值为 5.例题 8.已知数列na的前 n 项和为 Sn，且11,nnSa成等差数列，*1,1Nna.函数3()logf xx.（I）求数列na的通项公式；（II）设数列 nb满足1(3)()2nnbnf a，记数列 nb的前 n 项和为 Tn，试比较52512312nnT与的大小.解：解：（I）11,nnSaQ成等差数列，121nnSa 当2n 时，121nnSa.得：112()nnnnSSaa，13nnaa，13.nnaa当 n=1 时，由得112221Saa，又11,a 2213,3,aaana是以 1 为首项 3 为公比的等比数列，13.nna（II）xlogxf3，133()loglog 31nnnf aan，11111()(3)()2(1)(3)213nnbnf annnn，1 111111111111()2 24354657213nTnnnnL1 1111()2 2323nn525,122(2)(3)nnn比较52512312nnT与的大小，只需比较2(2)(3)nn与 312 的大小即可.222(2)(3)3122(56 156)2(5150)nnnnnn与2(15)(10)nn*,Nn当*19Nnn与时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT与当10n 时，5252(2)(3)312,;12312nnnnT与当*10Nnn与时，5252(2)(3)312,12312nnnnT与.3.研究生成数列的性质例题 9.（I）已知数列 nc，其中nnnc32，且数列nnpcc1为等比数列，求常数p；5（II）设 na、nb是公比不相等的两个等比数列，nnnbac，证明数列 nc不是等比数列.解：解：（）因为cn+1pcn是等比数列，故有（cn+1pcn）2=（cn+2pcn+1）（cnpcn1），将 cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）2n+3np（2n13n1），即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1（2p）2n1+（3p）3n1，整理得61（2p）（3p）2n3n=0，解得 p=2 或 p=3.（）设an、bn的公比分别为 p、q，pq，cn=an+bn.为证cn不是等比数列只需证22cc1c3.事实上，22c=（a1pb1q）2=21ap221bq22a1b1pq，c1c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）=21ap221bq2a1b1（p2q2）.由于 pq，p2q22pq，又 a1、b1不为零，因此22cc1c3，故cn不是等比数列.例题 10.n2（n4）个正数排成 n 行 n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头已知 a24=1，163,814342aa头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头求 S=a11+a22+a33+ann 头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头解：解：设数列1ka的公差为 d，数列ika（i=1，2，3，n）的公比为 q头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头则1ka=a11+（k1）d，akk=a11+（k1）dqk1头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头依题意得：163)2(81)(1)3(31143311421124qdaaqdaaqdaa，解得：a11=d=q=21头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头又 n2个数都是正数，a11=d=q=21，akk=kk2头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头nnS212132122132L，1432212132122121nnSL，两式相减得：nnnS22121头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头6例题 11.已知函数3()log()f xaxb的图象经过点)1,2(A和)2,5(B，记()*3,.f nnanN（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnnnbbbTabL21,2，若)(ZmmTn，求m的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21npaaanL对一切*Nn均成立的最大实数p.解：解：（1）由题意得2)5(log1)2(log33baba，解得12ba，)12(log)(3xxf *)12(log,1233Nnnann （2）由（1）得nnnb212，nnnnnT2122322523211321L 1132212232252232121nnnnnnnTL 得)21212121(2121n22222222221T211n2n2111nn1n321nLL1n1n1n21n2212321n2.nn2nn23n2321n2213T，设*,232)(Nnnnfn，则由1512132121)32(252232252)()1(1nnnnnnfnfnn得*,232)(Nnnnfn随n的增大而减小n当时，3nT又)(ZmmTn恒成立，3minm （3）由题意得*21)11()11)(11(121Nnaaanpn对L恒成立 记)11()11)(11(121)(21naaannFL，则11n21n2)1n()1n(4)1n(2)3n2)(1n2(2n2)a11()a11)(a11(1n21)a11)(a11()a11)(a11(3n21)n(F)1n(F2n211nn21LL)(),()1(,0)(nFnFnFnF即Q是随n的增大而增大 7)(nF的最小值为332)1(F，332 p，即332maxp.（二）证明等差与等比数列1.转化为等差等比数列.例题 12.数列na中，2,841aa且满足nnnaaa122，*Nn.求数列na的通项公式；设|21nnaaaSL，求nS；设nb=1(12)nna*12(),()NNnnnTbbb nL，是否存在最大的整数m，使得对任意*Nn，均有nT32m成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解：解：（1）由题意，nnnnaaaa112，na为等差数列，设公差为d，由题意得2832dd，82(1)102nann.（2）若50210nn则，|,521nnaaaSnL时21281029,2nnaaannnL6n 时，nnaaaaaaSLL765212555()2940nnSSSSSnn故 40n9nnn9S22n 56nn（3）111 11()(12)2(1)21nnbnan nnnQ，nT1111111111(1)()()()()22233411nnnnL.2(1)nn若32nmT 对任意*Nn成立，即116nmn对任意*Nn成立，*()1NnnnQ的最小值是21，1,162mm的最大整数值是 7.即存在最大整数,7m使对任意*Nn，均有.32nmT 例题 13.已知等比数列 nb与数列na满足3,nanbnN*.（1）判断na是何种数列，并给出证明；（2）若8131 220,aambbbL与.解：解：（1）设 nb的公比为 q，3nanb，qlog1naa3q331na1nan1。所以na是以3log q为公差的等差数列.（2）813,aam所以由等差数列性质可得120813,aaaam123aaa12020()20102aaam1220()101 22033aaambbbLL82.由简单递推关系证明等差等比数列例题 14.已知数列na和 nb满足：11a，22a，0na，1nnnba a（*nN），且 nb是以q为公比的等比数列.（I）证明：22nnaa q；（II）若2122nnncaa，证明：数列 nc是等比数列；（III）求和：1234212111111nnaaaaaaL.解法解法 1：（I）证：证：由1nnbqb，有1221nnnnnnaaaqaa a，*Nnqaa2n2n.（II）证：证：22nnqaa，22221231nnnaaqa qL，2n2222n2n2qa.qaa，22222222212121222(2)5nnnnnnncaaa qa qaa qq.nc是首项为 5，公比为2q的等比数列.（III）解：解：由（II）得2 221111nnqaa，2 22211nnqaa，于是1221321242111111111()()nnnaaaaaaaaaLLL242224221211111111(1)(1)nnaqqqaqqqLL21223111(1)2nqqqL.当1q 时，24221221113111(1)2nnaaaqqqLL32n.当1q 时，24221221113111(1)2nnaaaqqqLL223 1()2 1nqq2222312(1)nnqqq.故212222231211111.(1)nnnnqqaaaqqqL，9解法解法 2：（I）同解法 1（I）.（II）证：证：222*1212221221221222()22Nnnnnnnnnnncaaq aq aqncaaaa，又11225caa，nc是首项为 5，公比为2q的等比数列.（III）由解法 1 中（II）的类似方法得222221212()3nnnnaaaa qq，34212121221234212111nnnnnaaaaaaaaaa aa aaaLL，2222212442123322kkkkkkkaaqqaaqQ，12knL，.2n22n221q.q123a1.a1a1.例题 15.设数列0,1,)1(,其中且项和为的前nnnnaSSna（1）证明：数列na是等比数列；（2）设数列na的公比()qf，数列 nb满足1b，bn=f（bn1）（nN*，n2），求数列nb的通项公式；（3）设1，1(1)nnnCab，求数列nC的前 n 项和n.（1）证明：证明：由11(1)(1)(2)nnnnSaSan相减得：11,(2),1nnnnnaaaana 数列na是等比数列（2）解：解：1nb是首项为112b，公差为 1 的等差数列，12(1)1nnnb.11nbn.（3）解：解：1时11111,(),(1)()22nnnnnnaCanb2111112()3()()222nnTn L 得：nnn21n2112T21所以：114(1()2()22nnnTn.10例题 16.OBC的各个顶点分别为(0,0),(1,0),(0,2)，设1P为线段BC的中点，2P为线段OC 的中点，3P为线段1OP的中点.对每一个正整数3,nn P为线段1nnP P的中点.令nP的坐标为(,)nnxy，1212nnnnayyy.（1）求321,aaa及,()Nnan；（2）证明：41,()4Nnnyyn（3）记444,()Nnnnbyyn，证明：nb是等比数列.（1）解：解：因为 y1=y2=y4=1，y3=12，y5=34，所以 得 a1=a2=a3=2.又由132nnnyyy，对任意的正整数 n 有an+1=12312nnnyyy=112122nnnnyyyy=1212nnnyyy=an 恒成立，且 a1=2，所以an为常数数列，an=2，（n 为正整数）（2）证明：证明：根据1242nnnyyy，及1212nnnyyy=an=2，易证得 yn+4=14ny（3）证明：证明：因为 bn+1=4n48n4yy=（1444ny）（144ny）=14nb，又由 b1=48yy=144yy4=14，所以bn是首项为14，公比为14的等比数列.【模拟试题模拟试题】一、填空题1.在等差数列an中，已知 a1=2，a2+a3=13，则 a4+a5+a6等于=.2.已知数列的通项52nan，则其前n项和nS .3.首项为24 的等差数列，从第 10 项开始为正，则公差d的取值范围是 .4.在等比数列na中，3a和 5a 是二次方程 250 xkx 的两个根，则642aaa的值为 .115.等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100，则 n=.6.等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和为_头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 7.已知两个等差数列na和 nb的前n项和分别为 An和nB，且7453nnAnBn，77ba=，若nnba为正整数，n 的取值个数为_。8.已知数列 na对于任意*pqN，有pqp qaaa，若119a，则36a.9.记数列na所有项的和为)1(S，第二项及以后各项的和为)2(S，第三项及以后各项的和为 L,)3(S，第n项及以后各项的和为)(nS，若2)1(S，1)2(S，(3)1,2SL，()21,2nnSL，则na等于 .10.等差数列na共有21n项，其中奇数项之和为 319，偶数项之和为 290，则其中间项为_.11.等差数列na中，0na，若1m且0121mmmaaa，2138mS，则m的值为 .12.设nS为等差数列na的前n项和.已知6636,324,144(6)nnSSSn，则n等于 .13.已知函数)(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有(2)2(1)f xf x()f x，且(1)2,(3)6ff，则(2005)f_ _.14.三个数cba,成等比数列，且(0)abcm m，则 b 的取值范围是 .15.等差数列na中，前n项和为nS，首项194,0aS.（1）若10nnaS，求n（2）设2nanb，求使不等式122007nbbbL的最小正整数n的值.点拨：在等差数列中dnSann,知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项1a与公差d，把nnSa,分别用首项1a与公差d，表示即可.对于求和公式1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些.例如：已知9109100,0,0,aaaa判断171820,SSS的正负.问题 2 在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.16.等差数列na的前n项和为nS，112a ，393 2S.（I）求数列na的通项na与前n项和为nS；（II）设nnSbn（*Nn），求证：数列nb中任意不同的三项都不可能成为等比数列.17.在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)nnnP x yP xyP xyLL，对一切正整数 n，点12nP位于函数1334yx的图象上，且nP的横坐标构成以52为首项，1为公差的等差数列nx.求点nP的坐标；设抛物线列LL,321ncccc中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线nc的顶点为nP，且过点2(0,1)nDn，设与抛物线nc相切于nD的直线的斜率为nk，求：12231111nnk kk kkkL.设|2,1,|4,1NnnSx xx nnTy yy n，等差数列na的任一项TSan，其中1a是ST中的最大数，10265125a，求na的通项公式.18.已知数列 na满足*111,21()Nnnaaan，（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 na满足12111*444(1)()NnnbbbbnanL（nN*），证明：nb是等差数列.【试题答案试题答案】1.422.(51)2nn3.8(,334.5 55.10136.2107.8.5；5 个解法一：点拨 利用等差数列的求和公式1()2nnaa nS及等差数列的性质“若2,Nmpq m p q，则2qpmaaa”解析：77ba=1131311313()13172()1322aaAbbB解法 2：点拨 利用“若na为等差数列，那么bnanSn2”这个结论，根据条件找出na和nb的通项.解析：可设(745)nAknn，(3)nBkn n，则1(1438)nnnaAAkn，(22)nbkn，则77ba=(14738)17(272)2kk由上面的解法 2 可知nnab=(1438)127(22)1knknn，显然只需使121n为正整数即可，故1,2,3,5,11n，共 5 个.点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.反思：解法 2 中，若是填空题，比例常数 k 可以直接设为 1.8.49.解：()(1)211111222nnnnnnaSS.10.解：依题意，中间项为1na，于是有11(1)319290nnnana解得129na.11.解：由题设得mmmmaaaa2112，而0ma，2ma，又2138mSQ，121()(21)2(21)382(21)22mmaamamm，10m.12.解：661()6()36(324144)216nnnSSSaa，136naa，1()3242nnn aaS.18n。13.解：由(2)()2(1)f xf xf x知函数*()()Nf x x当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，(1),(3),(2005)fffL形成一个首项为 2，公差为 4 的等差数列，(2005)2(1003 1)44010f.14.解：设,bacbqq，则有1,0,1bmbbqmbqqqb Q.14当0q 时，113mqbq，而0b，03mb；当0q时，111mqbq ，即1mb，而0m，0b，则0mb，故,0)(0,3mbm.15.解：（1）由919360Sad，得：1,5ndan，又由(1)10,4(1)(1)4(1)102nnn naSnn .即27300nn，得到10n.（2）由nnb52若n5，则12nbbbL12531bbbL，不合题意故n5，5122(21)31200721nnbbbL即52989n，所以n15，使不等式成立的最小正整数n的值为 1516.解答：（I）由已知得11213393 2aad，2d，故212(2)nnanSn n，.（）由（）得2nnSbnn.假设数列 nb中存在三项,pqrb b b（p q r,互不相等）成等比数列，则2qprbb b.即2(2)(2)(2)qpr.2()(2)20qprqprpqrNQ，2020qprqpr，22()()02prpr prpr，.与pr矛盾.17.解：（1）53(1)(1)22nxnn 1353533,(,3)4424nnnyxnPnn （2）ncQ的对称轴垂直于x轴，且顶点为nP.设nc的方程为：223125(),24nnya x把)1,0(2nDn代入上式，得1a，nc的方程为：22(23)1yxnxn.1532|0nykxn，111111()(21)(23)2 2123nnkknnnn12231111nnk kk kkkL1111111()()()257792123nnL=1 1111()2 5231046nn.（3）|(23),1NSx xnnn，|(125),1NTy ynnn|2(61)3,1Ny ynnn,STTIT 中最大数117a .设na公差为d，则10179(265,125)ad ，由此得*24812,12()9NndaTdm m Q与*24,724()Nndan n 18.（1）解：*121(),NnnaanQ112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列.12.nna 即 21(*)Nnnan.（2）证：1211144.4(1).nnkkkknaQ12(.)42.nnkkknnk 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb ，得112(1)(1),nnnbnbnb即1(1)20,nnnbnb21(1)20.nnnbnb，得 2120,nnnnbnbnb即 2120,nnnbbb*211(),Nnnnnbbbb n nb是等差数列.