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(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)1(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)的全部内容。(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)2知识框架知识框架111111(2)(2)(1)(1)()22()nnnnnnmpqnnnnaq naaa qaad naandnn nSaanadaaaamnpq两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1)11(1)()nnnnmpqaa qaqqqqSna qa aa amnpq等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法一、典型题的技巧解法1、求通项公式1、求通项公式(1)观察法。(2）由递推公式求通项.对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。（1）递推式为 a（1）递推式为 an+1n+1=a=an n+d 及 a+d 及 an+1n+1=qa=qan n（d,q 为常数）（d,q 为常数）例 1、已知an满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。例 1、解 an+1-an=2 为常数 an是首项为 1,公差为 2 的等差数列an=1+2（n1）即 an=2n-1例 2、已知满足，而，求=？na112nnaa12a na(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)3（2）（2）递推式为 a递推式为 an+1n+1=a=an n+f（n）+f（n）例 3、已知中，求.na112a 12141nnaanna解：由已知可知)12)(12(11nnaann)121121(21nn令 n=1,2，（n1),代入得(n-1）个等式累加，即（a2a1)+（a3a2）+（anan-1）2434)1211(211nnnaan说明 只要和 f（1）+f（2）+f(n1）是可求的，就可以由 an+1=an+f（n）以 n=1，2，(n-1）代入，可得n1 个等式累加而求 an.(3)递推式为 a(3)递推式为 an+1n+1=pa=pan n+q（p，q 为常数）+q（p，q 为常数）例 4、中，对于 n1（nN)有，求.na11a 132nnaana解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1)因此数列an+1-an是公比为 3 的等比数列，其首项为 a2a1=(31+2)-1=4an+1an=43n1 an+1=3an+2 3an+2an=43n-1 即 an=23n1-1解法二：上法得 an+1-an是公比为 3 的等比数列，于是有:a2a1=4，a3-a2=43,a4a3=432，,anan1=43n2，把n1 个等式累加得：an=23n1-1（4）递推式为 a（4）递推式为 an+1n+1=p a=p an n+q n(p，q 为常数）+q n(p，q 为常数）(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)4 由上题的解法,得:)(3211nnnnbbbbnnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32(5)递推式为(5)递推式为21nnnapaqa思路：设，可以变形为:21nnnapaqa，211()nnnnaaaa想于是an+1an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。求。na (6）递推式为 S(6）递推式为 Sn n与 a与 an n的关系式的关系式关系；(2）试用 n 表示 an。(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)5)2121()(1211nnnnnnaaSS 11121nnnnaaa nnnaa21211上式两边同乘以 2n+1得 2n+1an+1=2nan+2 则2nan是公差为 2 的等差数列。2nan=2+（n1）2=2n数列求和的常用方法：1、拆项分组法拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和.2、错项相减法错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比,na nb那么叫做差比数列)nna b即把每一项都乘以的公比,向后错一项，再 nbq对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列和（其中11nnaa11nnaa等差）na可裂项为：，111111()nnnnaad aa1111()nnnnaadaa等差数列前 项和的最值问题等差数列前 项和的最值问题：n1、若等差数列的首项，公差，则前项和有 na10a 0d nnS最大值.（)若已知通项,则最大；nanS100nnaa(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)6（）若已知,则当取最靠近的非零自然数2nSpnqnn2qp时最大；nS2、若等差数列的首项，公差，则前项和有 na10a 0d nnS最小值（)若已知通项,则最小；nanS100nnaa（）若已知,则当取最靠近的非零自然数2nSpnqnn2qp时最小；nS数列通项的求法：数列通项的求法：公式法公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已 知（即)求,用 作 差 法用 作 差 法：nS12()naaaf nna。11,(1),(2)nnnSnaSSn已知求，用作商法:用作商法:。12()na aaf nna(1),(1)(),(2)(1)nfnf nanf n已知条件中既有还有,有时先求，再求;有时也可直接nSnanSna求。na若求用累加法用累加法:1()nnaaf nna11221()()()nnnnnaaaaaaa。1a(2)n 已知求，用累乘法用累乘法：1()nnaf nana121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。已知递推关系求，用构造法用构造法（构造等差、等比数列).na特别地特别地，（1）形如（1）形如、（为常数）1nnakab1nnnakab,k b的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列等比数列k后,再求;形如形如的递推数列都可以除以得到na1nnnakaknk一个等差数列后，再求。na（2)形如（2)形如的递推数列都可以用倒数法求通11nnnaakab项。（3）形如（3）形如的递推数列都可以用对数法求通1knnaa项。（7）（理科）数学归纳法数学归纳法。(8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论分奇数项偶数项讨论,qaadaannnn1111或结果可能是分段形式结果可能是分段形式。(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)7数列求和的常用方法：数列求和的常用方法：(1)公式法(1)公式法：等差数列求和公式;等比数列求和公式。（2)分组求和法（2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（3）倒序相加法（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）。n（4）错位相减法错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法).n（5）裂项相消法裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和。常用裂项形式有：；111(1)1n nnn11 11()()n nkk nnk，2211111()1211kkkk；211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn;11(1)!(1)!nnnn2122(1)2(1)11nnnnnnnnn 二、解题方法:二、解题方法:求数列通项公式的常用方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法公式法2、2、nnaS 求由 （时，时，）naSnaSSnnn121113、求差（商）法3、求差（商）法 如：满足aaaannnn121212251122 解:解:naa 1122151411时，naaannn 2121212215212211时，12122得：nna ann21 annnn141221()()练习 数列满足，求aSSaaannnnn111534 （注意到代入得：aSSSSnnnnn1114 又，是等比数列，SSSnnn144(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)8 naSSnnnn23411时，4、叠乘法 4、叠乘法 例如：数列中，求aaaannannnn1131 解:解:aaaaaannaannnn213211122311，又，aann133 5、等差型递推公式 5、等差型递推公式 由，求，用迭加法aaf naaannn110()naafaafaaf nnn22321321时，两边相加，得：()()()aafff nn123()()()aafff nn023()()()练习 数列，求aaaanannnnn111132 （）ann1231 6、等比型递推公式6、等比型递推公式 acad cdccdnn1010、为常数，可转化为等比数列，设axc axnn1 acacxnn 11 令，()cxdxdc11 是首项为，为公比的等比数列adcadccn111 adcadccnn1111 aadccdcnn1111练习 数列满足，求aaaaannnn11934 （）ann84311 7、倒数法 7、倒数法(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)9 例如：，求aaaaannnn11122 由已知得：1221211aaaannnn 11121aann 111121aan为等差数列，公差为 11112121annn ann212数列求和问题的方法2数列求和问题的方法（1）、应用公式法（1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的.135（2n1)=n2【例 8】【例 8】求数列 1,（3+5)，(7+9+10）,(13+15+17+19）,前 n项的和。解 本题实际是求各奇数的和,在数列的前 n 项中,共有 1+2+n=个奇数，)1(21nn最后一个奇数为：1+n(n+1)12=n2+n-121因此所求数列的前 n 项的和为(2）、分解转化法(2）、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】【例 9】求和 S=1（n2-1)+2（n222）+3（n2-32）+n(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)10（n2n2）解 S=n2(1+2+3+n)（13+23+33+n3）（3）、倒序相加法（3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加,然后求和。例 10、求和：12363nnnnnSCCnC例 10、解 0120363nnnnnnSCCCnC Sn=3n2n1（4）、错位相减法（4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、求数列 1，3x,5x2，,(2n-1)xn-1前 n 项的和解 设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)xn1 (2）x=0 时，Sn=1(3）当x0且x1时，在式两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+（2n1）xn,-，得 (1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2xn-1-(2n-1）xn(5)裂项法:把通项公式整理成两项（式多项）差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)11例 12、求和11111 53 75 9(21)(23)nn注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多.注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多.在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用.二、常用数学思想方法二、常用数学思想方法1函数思想1函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13例13】等差数列an 的首项a10，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（lk）问 n 为何值时 Sn最大？此函数以 n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（lk)，d0 故此二次函数的图像开口向下 f（l）=f（k）2方程思想2方程思想【例 14例 14】设等比数列an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比 q。(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)12分析分析 本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知 q1。如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.由此应推出 a1=0与等比数列不符。q1整理得 q3（2q6-q3-1)=0 q0此题还可以作如下思考：S6=S3+q3S3=（1+q3)S3.S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），由 S3+S6=2S9可得 2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=03换元思想3换元思想【例 15例 15】已知 a，b,c 是不为 1 的正数，x，y，zR+,且 求证:a，b，c 顺次成等比数列。证明 证明 依题意令 ax=by=cz=kx=1ogak,y=logbk,z=logckb2=ac a，b,c 成等比数列（a，b,c 均不为 0）数学 5（必修)第二章：数列数学 5（必修)第二章：数列一、选择题一、选择题1数列的通项公式，则该数列的前（）项1数列的通项公式，则该数列的前（）项 na11nnan之和等于。之和等于。9A BC DA BC D989996972在等差数列中，若，则的值2在等差数列中，若，则的值 na4,184SS20191817aaaa(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)13为()为()A BC DA BC D91216173在等比数列中，若，且,则为3在等比数列中，若，且,则为 na62a0122345aaana（）（）A B C D或或A B C D或或62)1(6n226n62)1(6n 226n二、填空题二、填空题1已知数列中，则数列通项1已知数列中，则数列通项 na11a 11nnnnaaaana _。_。2 已 知 数 列 的，则2 已 知 数 列 的，则12nnSn12111098aaaaa=_。=_。3三个不同的实数成等差数列，且成等比数列，则3三个不同的实数成等差数列，且成等比数列，则cba,bca,_._.:a b c 三、解答题三、解答题11已知数列的前项和，求已知数列的前项和，求 nannnS23na22数列数列),60cos1000lg(),.60cos1000lg(),60cos1000lg(,1000lg01020n的前多少项和为最大？的前多少项和为最大？(完整)数列题型及解题方法归纳总结(word 版可编辑修改)143已知数列a的前 n 项和为 S，满足 S=2a-2n(nN N)nnnn(1)求数列a的通项公式 a；nn（2）若数列b 满足 b=log（a+2）,T 为数列nn2nn2nnab的前 n 项和，求证 T;n21