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高中数学导数及其应用多选题100附答案

一、导数及其应用多选题
1．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极大值 B．函数的值域为
C．有两个不同的零点 D．
【答案】ABD
【分析】
求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数的抽象图像可以判断BCD选项.
【详解】
函数的定义域为，求导，
令，解得：

极大值

所以当时，函数有极大值，故A正确；
对于BCD，令，得，即，当时，，，则
作出函数的抽象图像，如图所示：

由图可知函数的值域为，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数在上单调递减，且，则，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究函数单调性，函数的极值，函数的值域，及求函数零点个数，求函数零点个数常用的方法：
（1）方程法：令，如果能求出解，有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
（3）数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

2．关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为；
B．当时，存在唯一极小值点，且；
C．对任意，在上均存在零点；
D．存在，在上有且只有一个零点.
【答案】ABD
【分析】
当时，，求出，得到在处的切线的点斜式方程，即可判断选项A；求出的解，确定单调区间，进而求出极值点个数，以及极值范围，可判断选项B；令，当时，分离参数可得，设，求出的极值最值，即可判断选项C，D的真假.
【详解】
A.当时，，所以，，，所以在处的切线方程为，故正确；
B. 因为，所以单调递增，又，，又，即，则，所以存在，使得，即 ，则在上，在上，，所以存在唯一极小值点，因为，，所以，，故正确；
C.令，当时，可得，设，则，令，解得当时，当时，，所以当，时， 取得极小值，即取得极小值，又 ，因为在上，递减，所以，所以当，时， 取得极大值，即取得极大值，又 ，所以 ，所以时，，当，即时，在上不存在零点，故C错误；
D. 当，即时，与的图象只有一个交点，所以存在，在上有且只有一个零点，故D正确；
故选：ABD
【点睛】
方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．

3．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】AC
【分析】
利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：

当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

4．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．当时，函数恰有两个零点
C．若为增函数，则 D．当时，函数恰有两个极值点
【答案】ACD
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数的定义域为，
，函数为奇函数，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；
对于C选项，，
由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.
令，则，则，
所以，函数在上为增函数，
当时，，此时，函数为减函数；
当时，，此时，函数为增函数.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，当时，，则.
由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，
因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.
故选ACD.
【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；
（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；
（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；
（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；
（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

5．经研究发现：任意一个三次多项式函数的图象都只有一个对称中心点，其中是的根，是的导数，是的导数.若函数图象的对称点为，且不等式对任意恒成立，则（ ）
A． B． C．的值可能是 D．的值可能是
【答案】ABC
【分析】
求导得，故由题意得，，即，故.进而将问题转化为，由于，故，进而得，即，进而得ABC满足条件.
【详解】
由题意可得，
因为，所以，
所以，
解得，故.
因为，所以等价于.
设，则，
从而在上单调递增.
因为，所以，即，
则（当且仅当时，等号成立），
从而，故.
故选：ABC.
【点睛】
本题解题的关键在于根据题意得，进而将不等式恒成立问题转化为恒成立问题，再结合得，进而得.考查运算求解能力与化归转化思想，是难题.

6．已知函数的图象在点处与点处的切线均平行于轴，则（ ）
A．在上单调递增
B．
C．的取值范围是
D．若，则只有一个零点
【答案】ACD
【分析】
求导，根据题意进行等价转化，得到的取值范围；对于A，利用导数即可得到在上的单调性；对于B，利用根与系数的关系可得；对于C，化简，构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D，将代入，令，可得的单调性，进而求得的极大值小于0，再利用零点存在定理可得解.
【详解】
由题意可知，函数的定义域为，且，
则，是方程的两个不等正根，则，解得，
当时，函数，此时，
所以在上单调递增，故A正确；
因为，是方程的两个不等正根，所以，故B错误；
因为
，
易知函数在上是减函数，
则当时，，
所以的取值范围是，故C正确；
当时，，令，得或，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在取得极大值，且，，
所以只有一个零点，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：
①切点坐标满足原曲线方程；
②切点坐标满足切线方程；
③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.

7．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数，且在上不单调
B．函数是奇函数，且在上不单调递增
C．函数在上单调递增
D．对任意，都有，且
【答案】AD
【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、B、C、D.
【详解】
解：对A，，
定义域为，关于原点对称，
，
是偶函数，其图像关于轴对称，
在上不单调，故A正确；
对B，，
，
是奇函数，
令，
则，
在上单调递增，故B错误；
对C，，且在上单调递增，
又，
时，，
在上单调递减，故C错误；
对D，是偶函数，且在上单调递增，
，且，故D正确.
故选：AD.
【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

8．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.

9．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点
C． D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确.
【详解】
由题意，函数，可得，
令，即，解得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；
由当时，，
因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，
当时，可得，所以函数在上没有零点，
综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；
由函数在上单调递减，可得，
由于，
则，
因为，所以，即，
所以，所以C正确；
由在上恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，即，解得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，

所以当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

10．函数、，下列命题中正确的是（ ）.
A．不等式的解集为
B．函数在上单调递增，在上单调递减
C．若函数有两个极值点，则
D．若时，总有恒成立，则
【答案】AD
【分析】
对A，根据，得到，然后用导数画出其图象判断对B，，当时，，当时，判断；对C，将函数有两个极值点，有两根判断；对D，将问题转化为恒成立，再构造函数，用导数研究单调性.
【详解】
对A，因为，
，
令，得，故在该区间上单调递增；
令，得，故在该区间上单调递减.
又当时，，，
故的图象如下所示：

数形结合可知，的解集为，故正确；
对B，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；

对C，若函数有两个极值点，
即有两个极值点，又，
要满足题意，则需有两根，
也即有两根，也即直线的图象有两个交点.
数形结合则，解得.
故要满足题意，则，故错误；
对D，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数，，对任意的恒成立，
故单调递增，则 恒成立，
也即，在区间恒成立，则，故正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.