一种基于分数阶的非线性积分滑模控制算法_王飞.pdf

收稿日期：20220614一种基于分数阶的非线性积分滑模控制算法王飞，周爱美，王宇霄（浙江广厦建设职业技术大学，浙江金华322100）摘要：滑模变结构控制由于控制对象复杂，被控对象存在时空滞后和延迟性，使得滑模系统的滑模面常常不能准确地工作在理想滑模面上，引起系统抖震，制约了滑模变结构控制的实际应用。针对这一问题，在非线性积分滑模控制思想的基础上，引入了分数阶的概念，设计了一种基于分数阶的非线性积分滑模控制算法及其改进型，通过理论证明和抖震分析，基于分数阶的非线性积分滑模面可以表现出较好的控制性能，特别是减少抖震方面。最后，仿真算例验证了所提的非线性积分滑模控制方法的有效性。关键词：分数阶；非线性积分；滑模算法中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：10099492(2023)03017304A Nonlinear Integral Sliding Mode Control Algorithm Based on Fractional OrderWang Fei，Zhou Aimei，Wang Yuxiao（Zhejiang Guangsha Vocational and Technical University of Construction,Jinhua,Zhejiang 322100,China）Abstract:Due to the complexity of the control object and the time-space lag and delay of the controlled object,the sliding mode surface of thesliding mode system often cannot work accurately on the ideal sliding mode surface,causing system chattering and restricting the practicalapplication of the sliding mode variable structure control.To solve the problem,based on the idea of nonlinear integral sliding mode control,theconcept of fractional order was introduced,and a nonlinear integral sliding mode control algorithm based on fractional order and its improvedform were designed.Through theoretical proof and buffeting analysis,the nonlinear integral sliding mode surface based on fractional order canshow better control performance,especially in reducing buffeting.The simulation example verifies the effectiveness of the proposed nonlinearintegral sliding mode control method.Key words:fractional order;nonlinear integrator;sliding mode control2023年03月第52卷第03期Mar.2023Vol.52No.03机电工程技术MECHANICAL&ELECTRICAL ENGINEERING TECHNOLOGYDOI:10.3969/j.issn.1009-9492.2023.03.035王飞，周爱美，王宇霄.一种基于分数阶的非线性积分滑模控制算法 J.机电工程技术，2023，52（03）：173-176.0引言现代控制理论理论的重要分支之一滑模变结构控制的研究最早要追溯到 20世纪 50年代末 60年代初，前联学者的研究让控制理论从经典控制理论发展到现代控制理论阶段1。和经典控制理论相比，滑模变结构控制可以分析的控制对象更加丰富，涵盖离散系统、分布系统、非线性系统等，另外，和经典控制不同的是，滑模变结构控制系统对系统的扰动和参数变化具有鲁棒性2；从20世纪80年代开始，随着计算机技术、电子技术等快速发展，滑模变结构控制由于其设计方法简单，易于实现从理论阶段走向了大规模实践阶段3，并被大量应用于航空航天、机器人等被控对象。尽管滑模变结构控制的理论研究取得了重大进展，但是由于控制对象的复杂性，特别是被控对象存在的时空滞后和延迟性，使得滑模系统的滑模面常常不能准确地工作在理想滑模面上，这就会引起系统存在抖震问题，从而大大制约了滑模变结构控制的实际应用4。针对这一现象，学者从两个方面进行了研究，首先就是将智能控制理论比如模糊控制等和滑模变结构控制相融合，张碧陶5对相关研究成果进行了总结，并提出了可以消除抖震并具有完全鲁棒性的滑模控制系统；另一种思路是采用准滑模控制的方法消除抖震，但是这种方法在一定程度上牺牲了控制系统的鲁棒性，面对这种情况，学者进一步优化改进滑模面，李鹏6采用一种新的饱和函数设计了一种带有非线性积分的滑模面。本文在这两种思路的基础上，以一类不确定非线性系统为例，将带有非线性积分项的滑模面和分数阶微积分理论相结合，设计了一种基于分数阶的非线性积分滑模控制算法，可以在有效消除传统滑模变结构控制系统中的抖震问题的同时，改善控制系统的暂态性能。1一类典型的二阶非线性系统以如下一类典型的二阶非线性系统为研究对象：x?1=x2x?2=f(x,t)+u+dt（1）y=x1（2）其中：x=x1,x2T R2,u R,y R。分别是系统状态、控制输入和系统输出。173对系统（1）、（2）有如下假设：f(x,t)是不确定的有 界 函 数，其 估 计 函 数 为f?(x,t)，f(x,t)=f(x,t)-f?(x,t)且满足|f(x,t)F(x,t)d(t)是外部有界干扰，满足|d(t)D(t)，定义系统跟踪误差为e=y-yr，其中yr是参考信号，控制系统设计的要求就是y精确跟踪参考信号yr。2非线性积分的滑模控制律设计对于典型的非线性系统（1）、（2），设计滑模控制系统和准滑模控制系统，相关的研究成果如图1所示。其中，一般滑模面设计 一 般 形 式 可 以 表 示为7-8：S=e?+kpe（3）其中，kp0，且为实数。这一控制律的设计可以使被控对象具有一定的鲁棒性，基本满足精确跟踪要求。在式（3）中引入跟踪误差的积分项0ted，构成传统积分滑模面7-8：S=e?+kpe+ki0ted（4）其中，kp 0,ki 0，为实数。这一控制律的设计和传统滑模控制律相比，可以使稳态误差有效减少。在式（4）的基础上，可以设计一种全程积分滑模面9：S=e?+kpe+ki0ted-e?(0)-kpe(0)（5）式（5）的设计可以让系统的初态就满足滑模面达到条件。式（4）和式（5）的滑模面由于引入了积分项，会存在误差较大而导致系统暂态性能不佳甚至系统不稳定的情况。当执行器饱和时，还会产生积分Windup效应。为解决这一问题，在式（4）的基础上设计了一种非线性积分滑模面如下6：S=e?+kpe+ki?=g(e)（6）其中，kp 0,ki 0，为实数；g(e)是一类非线性饱和函数，这种函数的设计思路如下：假设有势能函数G(e)，则有：G(e)=|22()1-cos()2 e|e 0为可调参数。对G(e)求导数，就可以得到非线性函数g(e)：g(e)=|sin()e2|e 0；若e=0，则G(e)=0和g(e)=0。（2）G(e)是连续二次可微的，当|e 01R()=00t(dt)-R()0，则Dt表示分数阶导数。分数阶微积分定义有许多种，其中典型的有Caputo定义。Caputo分数阶导数的Laplace变换为：L 0Dtf(t)=0e-st0Dtf(t)dt=sF(s)-k=0n-1s-k-1fk(0)（10）利用Grunwald-Letnikov定义方法求解分数阶微积分的数值方法为：Dtf(t)=limh 0h-j=0t-h(-1)j()jf(t-jh)h-j=0t-hjf(t-jh)（11）分数阶微积分理论目前已经被广泛应用于控制系统设计中，比如分数阶PID控制器，其微分方程为：u(t)=kp+kiD-e(t)+kdDue(t)（12）式中：kp、ki和kd分别对应PID的比例、积分与微分增益系数；e为输出误差。相对传统PID控制器而言，分数阶PID控制器具有许多优点：一是增加了调节自由度；二是其微分项也具有积分的功能，这种记忆功能确保了历史信息对现在和未来的影响；三是该控制器本身也是一个滤波器，能够提高控制精度和系统的稳定性。图1准滑模控制律设计优化思路2023年03月机 电 工 程 技 术第52卷第03期1743.2基于分数阶的非线性积分滑模面和控制律设计在式（6）设计的一种非线性积分滑模面基础上，加以改进，设计了一种基于分数阶的非线性积分滑模面，即：S=0Drte+kpe+ki?=g(e)（13）其中，0Drte为对e的分数阶微分。根据计算1r 0；u为边界层厚度，则滑模变量S可以在有限时间内到达边界层。3.3稳定性分析（1）条件1这里基于李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论分析滑模逼近条件。备选Lyapunov函数V=12S2，则有：V?=SS?=S(0Dr+1te+kpe?+kig(e)=S(0Dr-1te?+kpe?+kig(e)=S(0Dr-1t(f(x,t)+u+d(t)-y?r)+S(kpe?+kig(e)=S(0Dr-1t(f(x,t)+ueq+d(t)-y?r)-0Dr-1t(c(x,t)sgn(S/)+S(kpe?+kig(e)=S(0Dr-1t(f(x,t)+ueq+d(t)-y?r)-0Dr-1t(c(x,t)sgn(S/)+S(kpe?+kig(e)=S(0Dr-1t(f(x,t)-f?(x,t)-kpe?-kig(e)+d(t)-0Dr-1t(c(x,t)sgn(S/)+S(kpe?+kig(e)|S(-0Dr-1t(f(x,t)+dt-(F(x,t)+D(t)+)|S(kpe?+kig(e)-|S0Dr-1t(kpe?+kig(e)上式，如果有：(kpe?+kig(e)0Dr-1t(kpe?+kig(e)（15）则V?0，符合 Lyapunov 稳定性原理，那么系统状态可以从任意初态到达切换面，并且到达时间有限。（2）条件2分数阶滑模面存在条件分析。当控制系统处入滑模态时，系统状态满足下式，则有：0Drte(t)=-kpe(t)-ki（16）可以利用分数阶系统稳定性理论分析得出：只要kp 0，则有：arg(-kp)=r2 01r，因此，如果采取分数阶系统，产生的抖震幅值将会在一定程度上减少。图2分数阶与整数阶系统收敛过程比较王飞，周爱美，王宇霄.一种基于分数阶的非线性积分滑模控制算法1753.6基于分数阶的非线性积分滑模控制律等效分析针对式（14）的非线性积分滑模控制律，假设输入受控，那么控制律可以表示为：u=-umaxsat(0Drte+kpe+ki0tg(e)d)umaxuumax)=umaxsat(umaxu(-0Drte)+umaxukp(-e)+umaxuki0tg(-e)d/(umax)（18）则上式控制律可等效为控制受限时的PD（分数阶比例微分）+非线性I（积分）控制。3.7基于分数阶的非线性积分滑模面的进一步改进在式（13）的基础上，可以对这一非线性积分滑模面进行优化，设计一种改进型的非线性积分滑模面，如下：S=0Drte+kpe+ki0Drt=g(e)（19）式中：0Drte、0Drt为对e和的分数阶微分，根据计算，1r2，0r1。根据分数阶系统的理论，由于增加了调解的自由度，可以进一步优化非线性函数g(e)，从而在有效减少抖震的同时，进一步提升控制系统的控制性能。4仿真分析以典型二阶非线性系统为研究对象，通过相应的滑模变结构控制理论设计相应的滑模面，实现变结构控制。比较这几种非线性滑模面的控制性能，假设考虑如下二阶非线性系统：x?1=x2x?2=5.2x1+(1+0.3sin2t)x22+10+u（20）y=x1（21）令：|d D=10.5，f?(x)=5x1+x22，|f(x)=|0.2x1+0.3x22sin2t 0.2|x1+0.3x22=F(x)系统的初始状态为x1(0)=-0.5，x2(0)=-5，参考信号yr=0.5。选择4种滑模面控制性能比较，具体如下。（1）策略1滑模面选择如下：S=e?+4e+40tedt这是一类典型的积分滑模面。（2）策略2滑模面选择如下：S=e?+4e+4?=g(e)这是一种非线性积分滑模面，其中非线性函数g(e)的设计参数=0.05。（3）策略3滑模面选择如下：S=0D1.25te+4e+4?=g(e)这是本文所提出的一种基于分数阶非线性积分滑模面，其中非线性函数g(e)的设计参数=0.05。（4）策略4滑模面选择如下：S=0D1.25te+4e+40D0.75t=g(e)这是本文提出的一种基于分数阶非线性积分滑模控制的改进形式。非线性函数g(e)的设计参数=0.05。以上4种控制律均为“等效控制+切换项”的形式，其中边界层厚度均为u=0.2。仿真步长为0.001 s，仿真结果如图2所示。由仿真结果可知，控制器1、控制器2、控制器3和控制器4都有效消除稳态误差，控制器3和控制器4和控制器1、控制器2相比，其暂态性能更好。5结束语滑模变结构的被控对象存在的时空滞后和延迟性，使得滑模系统的滑模面常常不能准确工作在理想滑模面上，引起系统存在抖震问题。本文主要针对这一问题，在相应研究成果的基础上，对滑模变结构控制进行了一定的优化改进，设计了一种基于分数阶的非线性积分滑模面，通过理论证明和抖震分析，该基于分数阶的非线性积分滑模面表现出较好的控制性能，特别是减少抖震方面，但是对于复杂时延被控对象，这一控制方法仍然存在切换作用，即抖震只是得到一定削弱，并不会被消除。另外，这一控制方法是一种非线性综合方法（PD（分数阶比例微分）+非线性I（积分）控制），因此，在设计控制律时，对被控对象模型具有相当一定的依赖性，也就是说系统的鲁棒性不是很强，这些问题都有待后续的进一步研究。图34种输出的响应曲线（下转第198页）2023年03月机 电 工 程 技 术第52卷第03期176控制系统。本研究结果表明，在加入模糊PID控制之后，仿蚱蜢机器人在跳跃过程中变得更稳定，解决了跳跃机器人腿部运动控制稳定性较低的问题。在提高系统稳定性的同时，系统的操作也更为简便。无控制的 ADAMS 和 MATLAB 联合仿真力矩波动范围较大，峰值较高，容易出现跳跃不稳定的情况。而基于模糊PID的控制系统可以在机器人跳跃过程中使各个关节的驱动力矩呈现周期性的波动，不会出现剧烈震动或突变等情况，整体运行稳定。联合仿真技术为仿蚱蜢机器人的运动控制提供了一个新途径，对于以后的仿生蚱蜢机器人的控制系统建立提供了技术支撑。参考文献：1 莫小娟,葛文杰,赵东来,等.微小型跳跃机器人研究现状综述J.机械工程学报,2019,55(15):109-123.2 Wu Dianhao,Jiang Jingang,Yu Xiaoyang,et al.Hopping robot:current status and future perspectives J.Recent Patents on Mechanical Engineering,2021,14(4):440-455.3 庞云天.基于STM32的单腿跳跃机器人控制系统研究D.杭州:浙江大学,2017.4 刘旭.仿袋鼠机器人运动稳定性控制研究D.北京:北京工业大学,2017.5 郑彬.某跳跃机器人的整体结构及其控制模块分析D.南京:南京理工大学,2017.6 Khakpour Komarsofla Amin,Azadi Yazdi Ehsan,Eghtesad Mohammad.Dynamic modeling and control of a novel one-leggedhopping robot J.Robotica,2021,39(9):1692-1710.7 Ugurlu Barkan,Sariyildiz Emre,Kawasaki Takao,et al.Agile andstable running locomotion control for an untethered and one-legged hopping robotJ.Autonomous Robots,2021,45(6):805-819.8 陈子明,卢杰,邓朋,等.基于弹尾虫运动机制的平衡轮式跳跃机器人的设计J.机械工程学报,2020,56(17):20-28.9 熊勇刚,成威,龚琦,等.仿蚱蜢跳跃机器人腿部结构设计与性能分析J.湖南工业大学学报,2021,35(1):48-55.10 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